动手操作之动手折叠问题#一类特选

1、动手操作之动手折叠问题中考题目再现：1.(2009北京.12). 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN=; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则AN=（用含有n的式子表示）2.(2007年海淀1模.12)如图,小明将一块边长为的正方形纸片折叠成领带形状，其中=30，B点落在CF边上的处，则的长为 . 类型1：折叠剪纸-先想象结果，再按要求动手操作验证。1.（山东省）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸

2、片沿虚线剪去上方的小三角形 将纸片展开，得到的图形是2.（泰州市）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形4.（重庆市）如上右图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：AGD=112.5；tanAED=2；SAGD=SOGD；四边形AEFG是菱形

3、；BE=2OG.其中正确结论的序号是 .类型2：通过折叠，考察计算- 比较折叠前后的的图形，找到相等的边或角。1.(2009年莆田市)如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处若AE=a、AB=b、BF=C，请写出a、b、c之问的一个等量关系_ 2. （济南市）如下左图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是3.(2009江苏省.26)（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后

4、得到（如图）小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由ACDB图ACDB图FE（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小EDDCFBA图EDCABFGADECBFG图图4.（2009延庆县1模.22） 如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸都是矩形本题中所求边长或面积都用含的代数式表示（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16

5、 开”纸按如下步骤折叠：第一步：将矩形的短边与长边对齐 折叠，点落在上的点处，铺平后 得折痕；第二步：将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕则的值是 .（2）求“2开”纸长与宽的比_.（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长ABCDBCADEGHFFE4开2开8开16开图1图2图3（第22题）a解：（1）1分（2）比值为-2分（3）设，在矩形中，3分同理， ， 解得即 -4分5（茂名市2007年） 如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，轴， B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，折叠后，

6、点O落在点，点C落在点，并且与在同一直线上（1）求折痕AD 所在直线的解析式； （3分）（2）求经过三点O，C的抛物线的解析式；（3分）（3）若的半径为，圆心在（2）的抛物线上运动，与两坐标轴都相切时，求半径的值 （4分）(第25题图)CDOABEO1C1xy(第25题图)CDOABEO1C1xyF答案：（1）由已知得，1分设直线AD的解析式为把A，D坐标代入上式得：，解得：，2分折痕AD所在的直线的解析式是3分（2）过作于点F，由已知得，又DC312，在中， ，而已知4分法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是5分点在抛物线上，为所求6分法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是把

7、O，C1，C的坐标代入上式得:，5分解得，为所求6分（3）设圆心，则当P与两坐标轴都相切时，有7分由，得，解得（舍去），8分由，得解得（舍去），所求P的半径或10分类型3 折痕是折叠前后重合点的所联线段的垂直平分线ABCD1(绵阳市2007年)当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F则AFE =A60 B67.5 C72 D752

8、（09年天津）已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点xyBOA（）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；解：（）如图，折叠后点与点重合，则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，即，解得.点的坐标为.4分（）如图，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即6分由点在边上，有，解析式为所求.当时，随的增大而减小，的取值范围为.7分（）如图，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有.有，得.9分 在中，设，则.由（）的结论，得，解得

9、.点的坐标为.10分 xyBOADC图xyBOBDC图xyBOBDC图3（09崇文区1模）如图，矩形纸片ABCD中，厘米，厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图）；步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图）图 图 图（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“”、“=”、“”）；（II）如图所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（ ， ）；（ii）当PA=6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（ ，

10、）；（iii）当PA=厘米时，在图中用尺规作出MN（不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与MN交于点，点的坐标是（ ， ）备用图 备用图4.(2008通州21)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=60，DB平分ABC，AD=2，翻折梯形ABCD使点B与点D重合. (1)画出翻折图形，并求出折痕的长；(2)若BC=3AD，(1)中的折痕与底边BC的交点为E，求：.答案：正确画出折叠图形(折痕对就给分)1分 在梯形ABCD中， ADBC , DB平分ABC ABC=600 ABD=DBE=ADB=300， AB=AD 当把梯形ABCD翻折使B点与点D重合，则折痕过点A，AE与BC交于点E

11、四边形ABED为菱形 又 AD=2， 折痕AE=2 2分 (2)由(1)知四边形ABED为菱形， AD=AB=BE=DE ,DEC=600 过点D作DFBC于F 3分 EF=DE 设EF=a ,则DE=2a DF=a4分 又 BC=3AD=3BE， EC=2BE=2DE=4a， FC=3a，在RtDFC中DC2=DF2 FC2 DC=2a 5分= 6分O(第24题图)(A)DCDxy5.(2007湖北省咸宁市.24)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB2，AD1。操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上。探究：(1)我

12、们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种？请你画出每种情形的图形；(只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！)(2)当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为ykxb。求b与k的函数关系式；求折痕EF的长(用含k的代数式表示)，并写出k的取值范围。6（2009年抚顺市.23）如图所示，已知：中，（1）尺规作图：作的平分线交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，再展回到原图形，得到四边形试判断四边形的形状，并证明；BCA（第23题图）若，求四边形的周长和的长

13、解：（1）作图正确1分写出结论：射线就是所要求的角平分线2分（2）四边形是菱形3分第23题图CBMDEFGA证明：如图，根据题意，可知是线段的垂直平分线则由（1）可知，是的平分线4分四边形是菱形5分设，则在中，解得 即四边形的周长是207分由可知，四边形是菱形8分解得 即的长是10分7(2009年抚顺市.23)如图所示，已知：中，（1）尺规作图：作的平分线交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，再展回到原图形，得到四边形试判断四边形的形状，并证明；BCA（第23题图）若，求四边形的周长和的长解：（1）作图正确1分写

14、出结论：射线就是所要求的角平分线2分（2）四边形是菱形3分第23题图CBMDEFGA证明：如图，根据题意，可知是线段的垂直平分线则由（1）可知，是的平分线4分四边形是菱形5分设，则在中，解得 即四边形的周长是207分由可知，四边形是菱形8分解得 即的长是10分类型4 已知折痕，画出折叠后的图形，解决问题1现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB4cm，BC6cm，点E是BC的中点实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B（1）请用尺规，在图中作出AEB（保留作图痕迹）；（2）试求B、C两点之间的距离2（2007年日照市.24）如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相

15、等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x()求证：AF=EC；()用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EEBC. （1）求出直线EE分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 xb的值； （2）在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE，直线BE与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？()证明：AB=a，AD=b，BE=x ，S梯形ABEF= S梯形CDFEa(x+AF)=a(EC+b-AF)，2AF=EC+(b-x)又ECb-x，2AF=2EC，即AF=EC；2分 ()（1）当直线EE经过原矩形的顶点D时，如图（一），ECEB，=.由ECb-x，EB=EB=x， DB=DC+CB=2a，得，xb= ；4分当直线EE经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AEBD中，ECEB,点C是DB的中点，CE=(AD+ EB)， 即b-x（bx），xb= 6分(2) 如图（一）， 当直线EE 经过原矩形的顶点D时，BEEF证明：连接BFFDBE, FD=BE，四边形FBED是平行四边形，FBDE， FB=DE,又ECEB