2 有限差分法

1、1第2讲有限差分法FiniteDifferenceMethod2提纲提纲一、有限差分法基本概念二、泊松方程的有限差分格式三、差分方程组求解四、工程应用一、有限差分法基本概念二、泊松方程的有限差分格式三、差分方程组求解四、工程应用第2讲有限差分法有限差分法求解的问题：微分方程、偏微分方程、高阶线性方程、高阶非线性方程，等等.有限差分法求解的问题：微分方程、偏微分方程、高阶线性方程、高阶非线性方程，等等.一、有限差分法基本概念一、有限差分法基本概念差分和微分差分和微分xxfxf)(ddhx一阶差分一阶差分hxfhxfxxf)()()(前向差分前向差分hhxfxfxxf)()()(后向差分后向差分h

2、hxfhxfxxf)2()2()(中心差分精度：中心差分精度：222d)(d!21d)(d)()(xxfhxxfhxfhxf222d)(d!21d)(d)()(xxfhxxfhxfhxf333d)(d!32d)(d2)()(xxfhxxfhhxfhxf一阶精度一阶精度,O(h2)一阶精度一阶精度,O(h2)二阶精度二阶精度,O(h3)一、有限差分法基本概念一、有限差分法基本概念二阶差分二阶差分精度：精度：O(h4)，三阶阶精度，三阶阶精度444222d)(d!42d)(d)(2)()(xxfhxxfhxfhxfhxf22)(xxf2)()(2)(hhxfxfhxfxxfhxfx)()(1)()

3、()()(1hhxfxfhxfhxfx中心差分（前向差分）中心差分（前向差分）一、有限差分法基本概念一、有限差分法基本概念偏微分的差分例题偏微分的差分例题求求hyxfyhxfxxffx),(),()(0000前向差分的中心差分逼近前向差分的中心差分逼近),(),(),(2222yxfyxxyxx),(2221,1,2,1,1iijiijjijiijjiyxfyx),(jiijyx解：令解：令),(,1jijiyhx),(1,hyxjiji一、有限差分法基本概念一、有限差分法基本概念得：得：有限差分法求解问题的步骤有限差分法求解问题的步骤第一步：将求解场域离散化第一步：将求解场域离散化第二步，写

4、出场域内偏微分方程及其边界上（包括场域内不同介质分界面上的差分格式）第二步，写出场域内偏微分方程及其边界上（包括场域内不同介质分界面上的差分格式）第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组一、有限差分法基本概念一、有限差分法基本概念泊松方程：泊松方程：f2二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。第二类边界条件：已知整个边界上的位函数的法向导数，即已知导体表面上的面电荷密度，又叫Neuma

5、nn（诺埃曼）问题。第二类边界条件：已知整个边界上的位函数的法向导数，即已知导体表面上的面电荷密度，又叫Neumann（诺埃曼）问题。第三类边界条件：已知一部分边界上的位函数，另一部分边界上的位函数的法向导数。又叫混合型边值问题，或拉宾问题。第三类边界条件：已知一部分边界上的位函数，另一部分边界上的位函数的法向导数。又叫混合型边值问题，或拉宾问题。)(|pgC)(pgnCfyx2222（1）场域离散化场域离散化xyoCD1h2h3h4h一阶偏导数的差分格式（一阶偏导数的差分格式（P.23）二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式)(2)(3310 xxhOhxxhhh31二阶精度二

6、阶精度,O(h3)二阶偏导数的差分格式（二阶偏导数的差分格式（P.23-23）)(2)(22301022xxhOhx一阶精度一阶精度,O(h2)(2)(22402022yyhOhy泊松方程的差分格式泊松方程的差分格式二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式02402230122fhhyx在任意一点上在任意一点上jijijijiyjijijixfhh,1,1,2,1,12)2(1)2(1泊松方程的五点差分格式当泊松方程的五点差分格式当hx=hy时时jijijijijijifh,2,1,1,1,14拉普拉斯方程的差分格式拉普拉斯方程的差分格式04,1,1,1,1jijijijiji柱坐

7、标系中拉普拉斯方程的差分格式，式（柱坐标系中拉普拉斯方程的差分格式，式（2.40）作业作业（2）（）（3）介质分界面上的差分格式介质分界面上的差分格式(P.25)式（式（2.43）二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式角点介质分界面上的差分格式，式（角点介质分界面上的差分格式，式（2.44）介质与导体分界面的差分格式介质与导体分界面的差分格式？第一类边界条件的差分格式第一类边界条件的差分格式P.27第二、第三类边界条件的差分格式第二、第三类边界条件的差分格式P.28有源区域和无源区域分界面上的差分格式有源区域和无源区域分界面上的差分格式二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限

8、差分格式A区区虚构点虚构点利用边界条件：，利用边界条件：，2ab02B区区04204321aaaaaah0404321bbbbb4422,baba)()(3131bbbaaa若若0214203421hbabbbba则则与泊松方程的五点差分格式相似由以上四式得：与泊松方程的五点差分格式相似由以上四式得：0)42()42(042120423bbbbbaabbaah二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式（4）其他形式网格情况其他形式网格情况二、泊松方程的有限差分格式二、泊松方程的有限差分格式正三角形六点式正三角形六点式六边形三点式六边形三点式正方形九点式正方形九点式0132465013

9、20132457680)3(3403212h三、差分方程组求解三、差分方程组求解P.32直接求解线性方程组结点直接求解线性方程组结点N500迭代法求解线性方程组迭代法求解线性方程组高斯高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组赛德尔迭代法求解线性方程组超松弛迭代法求解线性方程组超松弛迭代法求解线性方程组return四、工程应用四、工程应用P.34有限差分法求解问题的步骤有限差分法求解问题的步骤有限差分法求解问题的流程图有限差分法求解问题的流程图1,Nji|,1,NjiNjiNji四、工程应用四、工程应用举例举例四、工程应用四、工程应用91324576844个网格，个网格，9个内结点，个内结点，16个边界

10、点内点差分方程个边界点内点差分方程0421261226h点点1：042211335h点点2：0429841820h点点9：举例举例四、工程应用四、工程应用差分方程组差分方程组/410001000141010000014100000001410001010141010100014100000001410000100141001000014220182212242221522172141621322612987654321hhhhhhhh差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性和稳定性简化分析：以一个自变量的单步迭代法为例简化分析：以一个自变量的单步迭代法为例),(1hyxhyynnnn其截断误差

11、其截断误差),()(1hyxhyyhdnnnnn00,hhbxa由误差的泰勒展开式，如果：由误差的泰勒展开式，如果：1|)(|KnDhhd0,0为整数且KD则称为则称为K阶方法。（阶方法。（5）（）（6）（）（7）收敛性收敛性若迭代公式中（x,y,h)在定义域内连续，并且关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件：若迭代公式中（x,y,h)在定义域内连续，并且关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件：|),(),(|zyLhzxhyx若截断误差满足式（若截断误差满足式（7），则单步法迭代公式的误差估计式为：在具体计算时步骤中出现的误差对结果的影响（），则单步法迭代公式的误差估计式为：在具体计算时步骤中出现的误差对结果的影响（8）0,)(|)(|0|,)(|1|)(|00)()(111LhabDyayLyayeLeDhyxyKabLabLKnnn稳定性稳定性作业作