2018年全国卷3理科数学试题及参考答案

1、2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第1页（共15页）绝密启用前绝密启用前试题类型：新课标试题类型：新课标2018年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案理科数学参考答案注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合|10Axx，0,1,2B，则AB()A0B1C1,2D0,1,2【答案】C【解析】:1Ax，1,2AB【考点】交集212ii()A3iB3iC3iD3i【答案】D【解析】21223iiiii【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第2页（共15页）【答案】A【解析】注意咬合

3、，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图4.若1sin3，则cos2()A89B79C79D89【答案】B【解析】27cos212sin9【考点】余弦的二倍角公式5.522xx的展开式中4x的系数为()A10B20C40D80【答案】C【解析】522xx的第1r项为：521035522rrrrrrCxCxx，故令2r，则10345240rrrCxx【考点】二项式定理俯视方向D.C.B.A.2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案

4、第3页（共15页）6直线20 xy分别与x轴、y轴交于点,AB两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C2,32D22,32【答案】A【解析】2,0,0,2AB，22AB，可设22cos,2sinP，则42sin4222sin2,3242PABd122,62ABPPABPABSABdd注：PABd的范围也可以这样求：设圆心为O，则2,0O，故2,2PABOABOABddd，而4222OABd，2,32PABd【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)7422yxx的图像大致为()【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11

5、OO1111112018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第4页（共15页）【解析】12f，排除A、B；3242212yxxxx，故函数在20,2单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10为成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则p()A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B【解析】由题意得X服从二项分布，即10,Xp，由二项分布性质可得1012.4DXpp，故0.4p或0.6，而64446610104161PxCppPxCpp即2

6、21pp，故0.5p0.6p【考点】二项分布及其方差公式9.ABC的内角,ABC的对边分别为,abc，若ABC的面积为2224abc，则C()A2B3C4D6【答案】C【解析】2221sin24ABCabcSabC，而222cos2abcCab故12cos1sincos242abCabCabC，4C【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为()A123B183C243D5432018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第5页（共15页）【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心，

7、易知OF底面ABC，当,DOF三点共线，即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大.此时：693ABCABCABS等边，在等边ABC中，232333BFBEAB，在RtOFB中，易知2OF，6DF，故max19361833DABCV【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,FF是双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若16PFOP，则C的离心率为()A5B2C3D2【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：byxa，利用点到直线的距离公式可求得2PFb，(此结论可作为二级结论来记忆)，在RtABC中，易得OPa，16

8、PFa，在1POF中，由余弦定理可得：22216cos2acaPOFac，又2cosaPOFc222602acaaacc，故3cea【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OFECBAD2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第6页（共15页）12.设0.2log0.3a，2log0.3b，则()A0ababB0ababC0ababD0abab【答案】B【解析】首先由0.2logyx单调递减可知0.20.20.20log1log0.3log0.21a，同理可知21b，0,0abab，排除C、D其次：利用作商法：0.30.30.311log0.2log2log0.41ababab(注意到0ab

9、)abab【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分13.已知向量1,2a，2,2b，1,c.若/2cab，则_.【答案】12【解析】24,2ab，故24【考点】向量平行的坐标运算14.曲线1xyaxe在点0,1处的切线斜率为2，则_.a【答案】3【解析】1xxyaeaxe，12ka【考点】切线斜率的计算方法15.函数cos36fxx在0,的零点个数为_.【答案】3【解析】0,x，3,3666tx，由cosyt图像可知，当35,222t时cos0t，即fx有三个零点或者：令362xk，则93kx

10、，当0,1,2k时，0,x，故3个零点2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第7页（共15页）【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16.已知点1,1M和抛物线2:4Cyx，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于,AB两点，若90AMB，则_.k【答案】2【解析】(1)常规解法：设直线方程为1xmy，联立214xmyyx可求121244yymyy，由12121212110MBMAyyyyxxxx，可得12m，故2k(2)二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB中点为N，则由二级结论可知NM准线，1NMyy，故22ABNyyy，由点差法可得，42ABkyy进一步可得二级结论：AB

11、Mkyp【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三三.解答题：共解答题：共70分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第1721题为必考题，每个试题考生必须作答题为必考题，每个试题考生必须作答.第第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.(一一)必考题：共必考题：共60分分.17.(12分)等比数列na中，1531,4aaa.(1)求na的通项公式；(2)记nS为na的前n项和.若63mS，求m.【答案】(1)12nna或12nna；(2)6m【解析】(1)25334aaaq，2q，12nna或12nna(2)当2q

12、时，112631mmS，解得6m2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第8页（共15页）当2q时，112633mmS，得2188m无解综上：6m【考点】等比数列通项公式与前n项和公式18.(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)

13、根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min80min之间，而第一组数据集中在80min90min之间，故

14、可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E同理274.7E，21EE，故第二组生产方式效率更高(2)由茎叶图可知，中位数7981802m，且列联表为：2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第9页（共15页）超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由(2)可知222240155106.63520202020K，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在

15、的平面垂直，M是CD上异于,CD的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积的最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)255【解析】(1)ABCDCDMBCDCMBCDMDMBMCADNBMCBCCDMCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABCS恒定，故要使MABCV最大，则MABCd最大，结合图象可知M为弧CD中点时，MABCV最大.此时取CD的中点O，则MODC，故MO面ABCD，故可建立如图所示空间直角坐标系则：0,0,1M，2,1,0A，2,1,0B，0,1,0C，0,1,0DMBC

16、DA2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第10页（共15页）0,2,0,2,1,1ABMA，平面MAB的法向量为11,0,2n，易知平面MCD的法向量为21,0,0n，故1215cos,55nn，面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为255【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆22:143xyC交于,AB两点，线段AB的中点为1,0Mmm.(1)证明：12k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB.证明,FAFPFB成等差数列，并求该数列的公差.【答案】(1)见解析；(2)32128d【解析】(1)点差法：设1122

17、,AxyBxy，则22112222143143xyxy相减化简可得：1212121234yyyyxxxx，34OMABkk(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34mk，易知中点M在椭圆内，21143m，代入可得12k或12k，又0m，0k，综上12kOzyxMBCDA2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第11页（共15页）联立法：设直线方程为ykxn，且1122,AxyBxy，联立22143xyykxn可得，2224384120kxknxn，则122212284341243knxxknxxk，121226243nyykxxnk224143343MMknxknymk，两式相

18、除可得34mk，后续过程和点差法一样(如果用算的话比较麻烦)(2)0FPFAFB，20FPFM，即1,2Pm，214143m，304mm71,4knmk，由(1)得联立后方程为2171404xx，1,2321114x，22121223cacacFAFBxxaxxacaca(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP2FAFBFP故,FAFPFB成等差数列.221212321214cacacdFAFBxxxxacaca32128d【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第12页（共15页）21.(12分)已知函数22

19、ln12fxxaxxx.(1)若0a，证明：当10 x时，0fx；当0 x，0fx；(2)若0 x是fx的极大值点，求a.【答案】(1)见解析；(2)16a【解析】(1)常规方法：当0a时，2ln121fxxxxx，1ln111fxxx21xfxx，当10 x时，0fx；当0 x时，0fxfx在1,0上单调递减，在0,上单调递增，而00f，0fx恒成立，fx单调递增，又00f当10 x时，0fx；当0 x，0fx改进方法：若0a，则22ln122ln12xfxxxxxxx令2ln12xgxxx，则2221401212xgxxxxx所以gx在0,单增，又因为00g故当10 x时，00gxg，即0

20、fx；当0 x时，00gxg，即0fx；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出2x之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2)方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数yfx在0 xx处各阶导数都存在且连续，0 xx是函数的极大值点的一个充要条件为前21n阶导数等于0，第2n阶导数小于022ln12fxxaxxx2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第13页（共15页）2121ln111axfxaxxx，00f22342ln11axaxxfxaxx，00f2326611axaxxafxx0 x是fx的极大值点，0610fa，16a，下证：当16a时，0 x是f

21、x的极大值点，31631xxfxx，所以fx在1,0单增，在0,单减进而有00fxf，从而fx在1,单减，当1,0 x时，00fxf，当0,x时，00fxf从而fx在1,0单增，在0,单减，所以0 x是fx的极大值点.方法二：0 x是fx的极大值点，所以存在0，使得在,00,，00fxf，即22ln120 xaxxx当0,x时，ln10 x，故2222ln122ln1ln1xxxxxxaxxx，当,0 x时，ln10 x，故222ln1ln1xxxaxx即22000022ln11ln1limlimln121ln11ln111limlim42642ln144ln141xxxxxxxxxxaxxxxxxxxxxxxxx(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二二)选考题：共选考题：共10分，请考生在分，请考生在22