量子力学_参考答案

1、天津大学电子信息工程学院电子科学技术1量子力学和统计物理量子力学和统计物理实践参考答案练习参考答案量子力学通用积分公式量子力学通用积分公式(1)dxex a n ex a dxex axnaxaxn=1)0(n(2)cossin(sin 22 bxbxaba e=axdxxsin 2 ax a ax a x cos)2(sin 2 22(6)ax a x ax a axdxxsincos 1 cos 2=(7ax aa x ax a x axdxxsin)2(cos 2 cos 3 2=) 12(2=nn axn a n dxex请参见：)12(531！)！12(=nnl的阶乘仅取奇数(14)

2、 1 0 12 2！2=n axn a n dxex(15)2 sin 0 2 a dx x ax=(16)=0 222)(2 sin ba ab bxd xxe ax(0a)=0 222)(cos ba bxd xxe ax一维运动粒子为=) 0 (0) 0 () (x xaxex的状态，形式0，球体(1)规格化因子a；(2)粒子的概率密度；(3)粒子最有可能出现吗？解决方案：(1)由波函数规格化且为1) (0 222=dxexdxxx x是积分公式(11) 1 0！=n nax a n dxxe为1 4)2(！2/3 2=a(2 0 222=a ad xexa x解决方案2/3=a (2)

3、粒子概率密度x exxx xp 2234)()(=(3)在极值点的一阶导数为0)=x；/1=x是极值点。极值点的概率密度值0)0(=p；0)(lim=xp x；2 4)/1 (=ep是升序函数，因为p(x)在间隔(0，1/)处的一阶导数大于0。由于间距(1/，)的一阶导数小于0且是减法函数，因此概率密度的最大值为2 4 e，出现在/1=x中。2.一维线性谐振子的状态tix aetx 2 1 2 1 22)，(=(1)正则化系数a；(2)求谐振子坐标x的平均值。(3)求谐振子势能的平均值。天津大学电子信息工程学院电子科学技术4解决方案：(1)积分公式(12) a dxe ax 2 1 0 2=，

4、可用=0 222222 dxeaxeadx xx 2 2 1 2=a 2 a=通过规范化定义1=dxde=a)！12(2=nn axn a n dxex或教材p429附录i，3 4 1=k u 2 4 k=2=k，h=2可替换，0 2 1 4 1 eu=h是谐振子势能的平均值是总能量的一半，能量守恒定律ute=也就是动能的平均值和势能的一半。天津大学电子信息工程学院电子科学与技术5 3将宽度为a的一维无限极地大气井的坐标原点放在势阱的中点=) 2/| (|，)2/| (|，0) (ax xu考试具体求解一定状态的薛定谔方程，使势阱中粒子的波函数为2/|，)由于是无限深的势阱，粒子无法到达井外，

5、因此满足井外2/|，0) (axx=井内波函数满足正常薛定谔方程2/| | |)(2 axx ex=h常识可转化为0)(2)(2=x e x0 (2/2/=ax x x不能为0 2 cos 2 sin 0 2 cos 0 2 sin=ka b ka a a不能为0 2 cos 0 2 sin=ka a天津大学电子信息工程学院电子科学技术6 a和b同时为0。对于0a，l、6、4、2，0 2 sin=n a n k a n 0b，l、5、3、1，0 2 cos=n a n k a n的方程式为=l、6、4、cos )(nx a n a nx a n b x n由规格化条件=1dx nn确定，其中1

6、 sin 2/2/2=a dxx a n a=2/0 2/2/2 2 2 2 cos 1 2 sin aa dxx a n adxx a=2 0 2 22 cos 1 2 a x a n dx a n a=2/0 2/0 2 sin 2 aa x a n aa 1 2 0 2=aa n aa n aa解决方案，aa/2=相同，12/cos 2/2/2 2 cos2) (nx a n a x n粒子的能量l hh，4，3，2，1，22 2 2222=nn a k en天津大学电子科学技术7波函数的两个表达式可以合并为一个表达式l，3，2，1，2 (sin 2) (=) 被解释为l，3，2，1，s

7、in 2)(=nxa n a x n因此，如果使用2 1 a xx=而不是坐标变换将坐标原点移动到势能井中心，就可以直接得到练习结果了。6粒子是三维无限深井=) 2/|，2/|，2/| (|，)2/|，2/|，2/|，2/|，2/| (|，0)，()解决方案：势能不包含时间是稳态问题。在井外，波函数2/|，2/|，2 2/|，2/|，2/|，0)，(czbyaxzyx=在井内，波函数正常状态薛定谔方程2/| 将值0 111 2 2 2 2 2=kz d z y y x dx x k2扩展到三个组件表达式2222 zyx kk=。 自下而上0 111 222 2 2 2 2=zyx kkkz d

8、z d z y dy d y x dx x自下而上配置还需要三向组件。因此，天津大学电子信息工程学院电子科学与技术8 2 2 1 1 z x kz dz dz dz kydy d y kx dxd x=0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2=zkz dykydy d xkx dx d z y x通过函数连续性在边界上的位置为0/() 2/() 2/(=czzbyby axax由方程式和边界条件决定=l l，6，4，2，sin，5，3，1，cos)(nxa n a nxa n a xxx b bb 2=c cc 2=l l，6，4，2，sin 2，5，3，1，cos 2) (nx a nxa n a xxxn天津大学电子信息工程学院电子科学技术9=l，6，) 2，1)，2 (sin2) (=n a x a n a xxxn l，3，2，1)，2(sin 2)(=m b y b m b yyyml，3，2) ，2，1；2，1，2 (sin) 2 (sin) 2 (sin 8)，(=lmn c z c lb y b ma x