排列与排列数公式

1、排列与排列数公式,1、掌握排列的概念; 2、正确理解排列的意义； 3、学会判断某些问题是否是排列问题； 4、理解排列数的定义; 5、理解排列数公式的推导思想； 6、掌握排列数、全排列和阶乘公式； 7、正确应用排列数公式。,学习目标:,复习提问：,1.什么是分类计数原理，分步计数原理？,解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有1种走法。,第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有22=4种走法。,由分类计数原理：1+4=5,2.从甲村到乙村有2条旱路，一条水路，从乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共

2、有多少种不同的走法？,答：共有5种不同的走法。,问题引入：,问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?,探索研究 解决这个问题需分2个步骤：,第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；,第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法;,根据分步计数原理，共有32=6种不同的方法.,甲 乙 甲 丙,乙 甲 乙 丙,丙 甲 丙 乙,相应的排法:,我们把上面问题中被选的对象 (同学）叫做元素。,上述问题就是从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，求一共有多

3、少种不同的排列方法。,不同的排列为: ab，ac，ba，bc，ca，cb,问题2:从a、b、c、d这4个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？,解决这个问题，需分3个步骤：,第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；,第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；,第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法.,根据分步计数原理，共有432=24种不同的排法,b,a,c,d,不同排法如下图所示:,所有的排列为：,abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cb

4、d dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb,我们把上面问题中被取的对象 （字母）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从4个不同的元素a、b、 c、d中任取3个，然后按一定的顺 序排成一列，求一共有多少种不同 的排列方法。,一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。,一、排列的定义：,排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”. “一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志,注 意： 1、我们研究的排列问题中，不能有

5、重复元素的排列，也不能重复抽取相同的元素；,4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用上面两题中的方法“树形图”.,2、两个排列相同的充要条件是什么？,1）元素全相同,2）元素排列顺序也完全相同,3、概念中，如果mn，这样的排列只是选一部分元素作排列，叫做选排列；如果m=n，这样的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列；,例1:判断下列几个问题是不是排列问题?,从班级5名团员中选出3人参加下午的团委会；从2、3、5、7、11中任取两个数相除； 20位同学互通话一次； 20位同学互通一封信； 以圆上的10个点为端点作弦； 以圆上的10个点为起点，且过另一点的射线.,例题讲解：,排列问题

6、的有： 、 、 、 ,例2:在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出正、副班长各一人，共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果.,解：选举过程可以分为两个步骤： 第一步，先选出正班长，4人中任何一人都可能当选，有4种选法； 第二步，选出副班长，余下3人中任何一人都可能当选，有3种选法. 根据分步计数原理，不同选法共有：43=12(种). 其选举结果是：,甲乙 甲丙 甲丁 乙甲 乙丙 乙丁 丙甲 丙乙 丙丁 丁甲 丁乙 丁丙,课堂练习：,1:下列问题中属于排列问题的是 . 有10个车站，共需准备多少种车票？ 有10个车站，共有多少种不同的票价？ 平面内有10个点，共可作多少条射线？ 10个同学，每

7、两人互通信一次，通信多少次？ 从10名学生中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方案？,、,2:北京、上海、广州 三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？,不同排法如下图所示:,3: 下列问题是排列问题吗？,（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？,是排列,不是

8、排列,是排列,是排列,不是排列,是排列,1、排列数的定义:,从n个不同的元素中取出m（mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 用符号 表示,问题1:求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数. 记为,问题2:求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数. 记为,二、排列数：,排列和排列数的不同 :,“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数，是一个数 .,思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排列 数 是多少？ 呢？,假定有排好顺序的2个空位，从n个不同元素a1，a2

9、，,an中任意取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。就是说“一个排列”和“一种填法”是一一对应的。所以不同填法的种数就是排列数 .,同理,2、排列数公式的推导:,求 ：从n个不同的元素中取出m个元素的排列数.,假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素a1，a2，,an中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。所以不同填法的种数就是排列数 .,分m步： 第一步：从n个元素中任选一个元素填第一位， 有n种填法；,第二步：从余下的（n-1）个元素中任选一个元 素填

10、第二位，有（n-1）种填法；,第m步：从余下的（n-m+1）个元素中任选一个 元素填第m位，有（n-m+1）种填法；,n,n-1,n-m+1,求,排列数公式：,1、n，mN*，mn；,注：,2、特征：公式右边中第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为n-m+1，共有m个因数相乘.,n个不同元素全部取出的一个 排列，叫做n个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n,3、全排列:,4、阶乘:,正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘。记作,（1）规定,（2）此公式常用于计算器计算或对含有字母的排列数的式子变形或论证。,排列数公式：,点评：排列数公式的推导是“建构”框图填空来解决的，这是一种简单的建模方法； 一般情况下，第一个公式常用于计算，第二个公式常用于化简、证明； 对于“m、nN+ ，mn”这个条件要留意，往往是一些含有未知数的排列数计算、解方程等问题的隐含条件.,例3:计算：,例4:求下列各式中n 的值,（1）,解：,（1）由排列数公式得,整理得,解得,（2）,解：,（2）由排列数公式得,约分得,解得,例5求证：,证明：右边=,即证.,注：n(n-1)!=n! ， (m+3)(m+2)!=(m+3)! ,例6求值：,解：,练习:应用