大学物理习题答案第八章

1、习题解答8-2 在一个容器内盛有理想气体，而容器的两侧分别与沸水和冰相接触(热接触)。显然，当沸水和冰的温度都保持不变时，容器内理想气体的状态也不随时间变化。问这时容器内理想气体的状态是否是平衡态？为什么？解 不是平衡态，因为平衡态的条件有二：一是系统的宏观性质不随时间变化，二是没有外界的影响和作用。题目所说的情况不满足第二条。8-3 氧气瓶的容积是32 dm3 ，压强为130 atm，规定瓶内氧气的压强降至10 atm时，应停止使用并必须充气，以免混入其他气体。今有一病房每天需用1.0 atm的氧气400 dm3 ，问一瓶氧气可用几天？解 当压强为 、体积为 时，瓶内氧气的质量m1为.当压强

2、降至 、体积仍为 时，瓶内氧气的质量m2为.病房每天用压强为 、体积为 的氧气质量dm为.以瓶氧气可用n天：.8-4 在一个容积为10 dm3 的容器中贮有氢气，当温度为7时，压强为50 atm。由于容器漏气，当温度升至17时，压强仍为50 atm，求漏掉氢气的质量。解 漏气前氢气的质量为m1 , 压强为 , 体积为 , 温度为 ，于是m1可以表示为.漏气后氢气的质量为m2, 压强为 , 体积为 , 温度为 , 于是m2可以表示为.所以漏掉氢气的质量为.计算中用到了氢气的摩尔质量 。8-5 气缸中盛有可视为理想气体的某种气体，当温度为t1 = 200 k时，压强和摩尔体积分别为p1 和vm1

3、。如果将气缸加热，使系统中气体的压强和体积同时增大，在此过程中，气体的压强p和摩尔体积vm满足关系p = avm，其中a为常量。(1)求常量a；(2)当摩尔体积增大到2vm1 时，求系统的温度。解 (1) 1 mol理想气体的物态方程可以表示为,当温度为t1 (= 200 k)、压强为p1 和摩尔体积为vm1时，上式应写为. (1)升温过程满足,在温度为t1 时，上式应写为, (2)将式(2)代入式(1)，得. (3)由上式可以解得或.(2)根据式(3)可以得到,取 ，代入上式，得, (4)将式(4)与式(3)联立，可以求得.8-8 证明式(8-9)。解 的平均值 定义为.在以下的证明中用到上

4、面的关系。下面的关系显然是成立的：,.将以上n个式子相加并除以粒子总数n，得,即.证毕。8-9 容器内贮有氧气，如果压强为1.0 atm，温度为27，求：(1)单位体积内的分子数n；(2)分子间的平均距离 ；(3)容器中氧气的密度r；(4)分子的平均平动动能 。解 (1)单位体积内的分子数n.(2)分子间的平均距离.(3)容器中氧气的密度r.(4)分子的平均平动动能 .8-10 容器内盛有1.50 mol氮气，其分子热运动动能的总和为9.63103 j，求容器内氮气的温度。解 设系统内气体的温度为t，分子热运动动能的总和，就是3个平动、2个转动和1个振动自由度上平均动能之和，即,所以.8-11

5、 在一个容积为10.0 dm3 的密封容器内盛有50.0 g氩气，温度为180，容器以200 ms-1 的速率作匀速直线运动，如果容器突然停止，分子定向运动的动能全部转化为热运动动能。问当系统达到平衡态时，容器内氩气的温度和压强各增大多少？解 整体作定向运动的动能，就是全部氩分子共同作定向运动的动能：.全部转变为氩分子热运动动能，气体的温度将升高dt，于是.氩分子是单原子分子，只有3个平动自由度，即i = 3 。代入上式就可以求得dt.根据物态方程,可得.由上式可解得系统压强的增加dp.8-12 分别计算在300 k时1.00 mol氢气和1.00 mol氦气的内能。解 1.00 mol气体的

6、内能可以表示为.氢气是双原子分子气体，理论上有6个自由度(t = 3, r =2, s = 1)，内能为.而实验表明在室温下氢分子的振动自由度不被激发，所以内能应为.氦气分子是单原子分子，i = t = 3, r = 0, s = 0, 代入内能表达式，得.8-13 将10 g氧气(看作理想气体)从20加热到50，内能增大多少？解 氧气分子是双原子分子，t = 3, r = 2, s = 1, 内能的增加为.8-14 某种三原子分子气体被看作理想气体，试写出分子平均平动动能、平均转动动能和平均振动动能的表达式。解 对于三原子分子，平动自由度t = 3，转动自由度r = 3，振动自由度s = 3

7、。分子的平均平动动能为,分子的平均转动动能为,分子的平均振动动能为.8-16 说明以下各式的物理意义： ； ； ； ； ； 。解 (1) 表示在dv范围内的分子数占分子总数n的比率；(2) = dn 表示在dv范围内的分子数；(3) 表示在v1 v2 速率间隔内的分子数占分子总数n的比率；(4) 表示在v1 v2 速率间隔内的分子数；(5) 表示在v1 v2 速率间隔内的分子对平均速率的贡献；(6) 表示在v1 v2 速率间隔内分子对速率平方平均值的贡献。8-17 求温度为300 k时氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率，并分别阐明这三种速率的物理意义。解 最概然速率,表示系统中在此值附近

8、的速率间隔内的分子所占比率为最大。平均速率,表示系统中分子速率的平均值。方均根速率,表示系统中分子速率平方的平均值的大小。8-18 求速率处于vp与1.01vp之间的气体分子数占总分子数的百分比。解 速率分布函数可以具体写为.将 、 和 代入上式，得,并且.由上式得,所以. (1)当 、 时，,将以上两式代入式(1)，得.8-19 求在标准状态下1.00 cm3 氮气中速率在500 ms-1 到501 ms-1 之间的分子数(可将dv近似地取为1 ms-1 )。解 先求在0时1.00 cm3 中氮气氮气的分子数n：.将 , , 以及 代入上式，得8-20 系统中总共有n个分子，分别求速率高于最

9、概然速率和低于最概然速率的分子数占总分子数的百分数。解 根据题8-18的结果,其中, .分子速率低于最概然速率vp ，对应于 ，所以，速率低于最概然速率的分子数占总分子数的比率可以表示为.为求解上式，令 , ，代入上式，得.上式可用分部积分法求解，为此令 , , 则上式变为,查表得,于是得.即速率低于最概然速率的分子数占总分子数的比率为42.8%，而速率高于最概然速率的分子数占总分子数的比率为1 - 42.8% = 57.2% 。8-21 已知氧的范德瓦耳斯常量b = 31.8310-6 m3 mol-1 ，试估计氧分子的半径。解 我们已经知道范德瓦耳斯常量b大约等于1 mol气体分子自身体积

10、总和的4倍，所以.由上式可以解得氧分子的直径，为.8-22 二氧化碳和氢的范德瓦耳斯常量a分别为3.5910-6 atmm6mol-2 和0.24410-6 atmm6mol-2，求体积为22.4 dm3 的两种气体的内压强pi。解 22.4 dm3正好是在标准状态下的摩尔体积，气体的内压强应表示为.对于二氧化碳：.对于氢：.8-23 已知氧的范德瓦耳斯常量a = 1.3610-6 atmm6mol-2，b = 31.8 10-6 m3 mol-1 ，求(1)压强为100 atm、密度为100 gdm-3 的氧气系统的温度；(2)氧的临界压强pk 和临界温度tk 。解 (1)范德瓦尔斯方程为,

11、用体积v除以上式，得,其中 是气体的密度，为已知量，代入上式得.由上式解出t，得.(2)范德瓦尔斯常量可以表示为, (1). (2)由式(2)得, (3)将式(3)代入式(1)，得.由上式可以解得临界温度.将tk的表达式代入式(3)，得.8-24 一定量的理想气体，分别在体积不变和压强不变的条件下升温，分子的碰撞频率和平均自由程将怎样变化？解 当体积不变时：,由上式可见，在n和v一定的情况下， ，碰撞频率随温度上升而增大。平均自由程可以表示为,可见，在n和v一定的情况下，平均自由程与温度无关。当压强不变时：,上式表明，在压强不变的情况下， ，碰撞频率随温度上升而减小。 平均自由程可以表示为,所

12、以，在压强不变时， ，平均自由程随温度上升而增大。8-25 设氮分子的有效直径为3.810-10 m，求：(1)在标准状态下的碰撞频率和平均自由程；(2)在温度不变而压强降为2.010-4 pa时，碰撞频率和平均自由程。解 (1)标准状态 、 ，代入碰撞频率和平均自由程的表达式，分别得到,.(2)将 、 代入以上两式，可以分别求得,.也可以这样来处理：,即.将已知各量代入上式，可以求得 。对于平均自由程也可以作同样的处理，即,所以.8-26 当温度为27时，电子管内的真空度为1.010-5 mmhg，残余气体分子的有效直径为3.010-10 m，求：(1)单位体积中的分子数；(2)平均自由程和

13、碰撞频率。解 (1)单位体积中的分子数.(2)平均自由程.碰撞频率为.8-28 由实验测得在标准状态下氦气的黏度为h = 1.8910-5pas，求：(1)平均自由程度；(2)氦原子的有效直径。解 (1)根据公式,只要求出其中的 和 ，代入上式就可以算出平均自由程。,.所以.(2)氦原子的有效直径：根据,可以求得氦原子的有效直径为.8-29 已知氦和氩的原子量分别为4.00和39.95，它们在标准状态下的黏度分别为hhe =1.8910-5pas和har =2.1010-5pas，求：(1)氦和氩的热导率之比 k(he)/k(ar)；(2)氦和氩的扩散系数之比 d(he)/d(ar)。解 (1

14、)因为,所以.式中 是比热， 是摩尔热容，m是摩尔质量，它们之间有如下关系.he和ar都是单原子气体，所以.故有.(2)扩散系数可以表示为.于是有.8-33 组成晶体的原子之间的相互作用势能u(r)可以用式(8-66)表示，并可以描绘成图8-24所示的图线，试证明此式中m n，并说明此结果的物理涵义。解 题目要求证明在下式(1)中，。由书中图8-24(a)可以看到，u (r)存在极小值，此极小值对应于 。也就是说在 处满足下面两个关系：, (2). (3)将式(1)代入式(2)，得,由此解得.(4)由式(3)得,可化为.将式(4)代入上式，得,即.要求上式左边大于零，就必须有.这表明，随原子间

15、距的增大，斥力势要比引力势衰减的更快，也就是说斥力作用与引力作用相比更具有短程性。8-36 在深为h = 2.0 m的水池底部有一个直径为d = 5.010-5 m的气泡，当它等温上升到接近水面时,直径变为多大？已知水的表面张力系数s = 7.310-2 nm-1 。解 设水泡到达水面时的半径为r1，在等温的情况下，应满足,或.式中p1、v1分别是气泡在池底时的内部的压强和体积，p2、v2分别是气泡接近水面时的内部的压强和体积。于是可以列出下面的方程式,简化为.由上式可以解出气泡接近水面时的直径，为.8-37 当把毛细管插入水杯时，毛细管中的水面要上升。若对于某一直径的毛细管，水面上升的高度为

16、h，问当毛细管本身高出杯中水面的高度小于h时，水是否会从毛细管中溢出？为什么？解 不会溢出，因为此时水在毛细管上端虽然仍形成凹球面，不过其曲率半径比原来毛细管本身高出杯中水面的高度大于h时的曲率半径要大一些，因而所产生的附加压强比原来要小一些，只能使水达到毛细管的上端。图8-78-38 如图8-7所示，在半径为r = 3.010-4 m的毛细管中注水，一部分水在管的下部形成一水柱，水柱的下端面的形状可以认为是半径为r = 3.010-3 m的球面的一部分。求管中水柱的高度h。已知水的表面张力系数s = 7.310-2 nm-1 。解 水柱不会落下来，是由于水柱上、下两端形成两个球面，从而产生了附加压强的缘故。水柱下端面施于水柱向上的力fa与水柱上端面施于水柱向下的力fb和水柱自身重量mg相平衡，即, (1)式中的每一项都包含毛细管截面积这个因子，可以约去