光电信息物理基础第二章习题答案

1、2.1 已知某一区域中给定瞬间的电流密度)( 333 zyx ezeyexcj ? ? +=+=，其中 c 是 大于零的常量，求：在此瞬间，点（1，-1，2）处电荷密度的时间变化率； 解：由电流连续性方程0 t j + + ? p26 （2.2-8） 所以电荷密度的时间变化率为： )333( )()()( 222 333 zyx z cz y cy x cx z j y j x j j t z y x += = = += = = ? 在点（1，-1，2）处的电荷密度的时间变化率为 -18c 。 2.2 设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于 x 轴。 证明： （1）e ? 与坐标 y，z 无

2、关； （2）若此区域中没有电荷，则 e ? 与坐标 x 无关。 证明： （1）因为任意点的电场强度均平行于 x 轴，这说明电场强度的振动方向沿 x 方 向，电场强度e ? 的表达式可写为),(zyxeee xx ? ? = = 又因为是静电场，为有源无旋场，所以该电场强度的旋度为零。即 0 0 0 = = = = = = = y e e z e e e zyx eee eee zyx eee e x z x y x zyx zyx zyx ? ? ? 所以0= = z ex 并且0= = y ex ， 这就说明分量 ex 与坐标 y， z 无关， 即电场强度e ? 与 坐标 y，z 无关 （2

3、）因为此区域没有电荷，这说明此区域没有电场的源，0= = ，电场的散度也 为零，即0= = + + = = + + = x e z e y e x e e xz y x ? ，所以e ? 与坐标 x 无关。 2.5 从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程 解：微分形式的麦克斯韦方程组 = = = += = = = += d b t b e t d jh ? ? ? ? ? ? 0 ，其中和电流有关的是第一个全电流方程 t d jh += += ? ? 因为矢量的旋度的散度恒为零，即0)(h ? ，所以0= += + t d j ? ? 即 ( () ) t d j t d j += + +

4、= + ? ? ? ? （因为 是对空间坐标求导， t 是对时间求导， 二者相互独立，可以互换） 也就是说 ( () ) 0= += += += + t j t d j ? ? ? ，即电流连续性方程。得证。 2.6 试证明通过电容器的位移电流等于导线中的传导电流 证明：假设平行电容器之间的介质的介电常数为，电容器的面积为 s，电容器 间距为 d。根据图示可知，位移电流 id与传导电流 if方向相同 根据定义位移电流密度为： t e t d jd = = = = ? ? ；因为电场强度 d u e = =，所以 t u d jd = = 。位移电流 fdd i t q t cu t u c t

5、 u d s sji= = = = = = = = = )( d j ? 其中电容器的电容 u q d s c= 2.7 线性各向均匀介质中某点的极化强度 zyx eeep ? ? 53018+=+=，5 .20= = z d，求 这点的e ? 和d ? 解：极化强度d d eep rr rr ? ? ? ) 1 1()1()1( 0 000 = 所以 z r z dp = = 1 1， 1 . 3 1 . 4 1 . 4 1 1 1 5 .20 5 1 1 1 1 = = = = = = = z z r d p 所以电位移矢量 zyx rr r r eeepppppd ? ? 5 .2012

6、38 .731 . 4 1 1 . 3 1 . 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 += += += = =+= += += = = 电场强度()() 12 0 1075. 15 .103 . 6+=+= zyx r eee d e ? ? ? 2.9 有一个内、外半径分别为 a 和 b，介质常数为 的介质球壳，其中有密度为 的均匀电荷，求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。 解：由球对称性可知，电位移矢量的方向沿着球的半径方向方向沿着球的半径方向，大小随着半径 r 的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理 = vs f dvqsdd ? 分段考虑： （1） 若 0 r ，由于电荷均匀分布，则()() 33 3 4 abq= ，qrd= = 2 4* ，所以 ()() ()() 2 33 2 33 2 34 3 4 4r ab r ab r q d = = = = （4） 球壳内的极化电荷密度满足p p ? = （p24 2.1-23） 根据极化强度p ? 和电位移矢量d ? 之间的关系 即eep r ? )1( 00 = （p25 2.1-31） ；ed r ? 0= = （p25