借助量子势阱的物理规律求有关级数的和VIP

1、借助量子势阱的物理规律求有关级数的和曹雪利摘 要 总结和分析了量子势阱的变化规律求有关级数的和的方法，结果显示，有些级数的和利用数学的方法计算起来相当繁琐，而利用量子势阱的有关规律可以给级数的求和带来简单的计算方法，也给级数的求和带来另种途径。这种方法也可以使我们对量子势阱的进一步理解，对相关专业的本科生的学习和工作有一定的帮助。关键词 量子势阱 波函数 能级 级数1、 引言量子势阱在量子力学中十分重要，求级数的和在高等数学中也举足轻重。量子势阱的有关知识和求级数的和，相关专业的本科生和学者在学习和工作中都应该熟练的掌握。而利用量子势阱的物理变化来求级数的和，一般的参考文献中尚未涉及。这种方法

2、可以解决一些级数的和，对学过量子力学的本科生来说这种方法简洁、易懂、易学，同时也可以对量子力学的理解会更深刻一些。对于相关专业的学生和学者的学习和工作都会有一定的启示和帮助，同时从另一个方向去求有关级数的和。二、量子势阱的知识系统性介绍图1一维无限深势阱：在一维无限深的势阱中运动的粒子在一定区域内为零，而在此区域外的势能为无穷大如：图1即： 则粒子的能级是： 波函数是： 应该注意，势阱的能级和波函数与势阱的宽度及坐标原点的位置有关。例如：若势阱宽度为到为零，而在此区域外的势能为无穷大（图2）即： 则粒子的能级是 波函数：若势阱的宽度变为的无限深势阱图2则粒子的能级：波函数： 以此可以写出 等有

3、关势阱的能级和波函数。由于能量算符是力学量算符是厄米算符，它的正交归一本征函数对应的本征值则任一的波函数可以按展开为级数：，式中与无关。本征函数这种性质成为完全系。当体系处于波函数所描述的状态时，测量力学量所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的几率是。三、量子势阱的有关规律求有关级数的和例1：一个质量为的粒子被束缚在位于和的两墙中间做一维运动，边界处可等效于无穷大的势垒。假如粒子处于基态，突然将处移动到处。这样计算粒子处于新势阱各几率，和墙移动后粒子的能量平均值来求有关级数的和。当粒子处于的无限深势阱的基态波函数：基态能量是： 当处突然移到处的波函数：则粒子能级的表达式： 根据处于势阱粒子

4、的波函数是完全系则将展开：于是当时, 当时, 当时, 即 那么平均能量表达式是势阱在变化的过程中外界没有对系统做功，整个过程能量守恒。即势阱变化后的平均能量时势阱变化前的能量，于是有整理后可得到：即： ， 其中表示不包含的数。上述的过程是将计算出确切的数，如果计算的过程中带有则有： , 其中表示不包含 的数。利用量子理论得到了这样的一个级数，下面我用数学的方法对上述级数进行验证 ，来说明我们通过势阱的变化做出的级数是正确的。四、数学方法的验证：令： 则：将则代入得：借助函数 将上述函数展开成傅里叶级数计算傅里叶系数如下：所以当时，当时，由于所以由上式可以推得 即： 那么 而 所以。五、利用势阱

5、的不同变化求相关级数的和例2：一个质量为的粒子被束缚在位于和的两墙中间做一维运动，边界处可等效于无穷大的势垒。假如粒子处于基态，突然将处移动到处。这样计算粒子处于新势阱各几率，和墙移动后粒子的能量平均值来求有关级数的和。当粒子处于的无限深势阱的基态波函数：粒子基态能量是： 当处突然移到处的波函数：粒子在新势阱中能量的表达式： 根据势阱的中是完全系则将展开：于是： 当时 有 可得当时： 当时 ， 即； 当时 ， 即 。 故其中表示连加中不包括的数。势阱在变化的过程中外界没有对系统做功，整个过程能量守恒。即势阱变化后的平均能量时势阱变化前的能量， ，于是有：，其中表示连加中不包括的数，整理后可得到

6、： ，其中表示连加中不包括的数。上述的过程是将计算出确切的数，如果计算的过程中带有则有： , 其中表示不包含 的数。例3：一个质量为的粒子被束缚在位于和的两墙中间做一维运动，边界处可等效于无穷大的势垒。假如粒子处于基态，突然将处移动到处。这样计算粒子处于新势阱各几率，和墙移动后粒子的能量平均值来求有关级数的和。这样将利用量子势阱求级数的和的例子引申到一个一般的例子。求解的过程如下：当粒子处于的无限深势阱的基态波函数：基态能量是： 当处突然移到处的波函数：粒子在新势阱中能量的表达式： 根据势阱的有关性质是完全系则将展开：于是 当时 有 可得故：其中即：于是有 ， 其中表示不包括的数。势阱在变化的

7、过程中外界没有对系统做功，整个过程能量守恒。即势阱变化后的平均能量时势阱变化前的能量。，于是可得：，其中表示不包括的数。经整理：, 其中表示不包括的数。通过以上的计算过程我们不仅可以得到特殊级数的和，并且一般的级数只要含有(其中表示不包括的数)的形式的级数我们都可以做出来，这样就从量子势阱的角度为级数的求和带来了另一种途径。六、结束语利用量子势阱求有关级数的和，这种方法在以前的学者的研究中尚未涉及。利用一维无限深势阱的波函数，能级，以及波函数的完全性和势阱在变化的过程中能量守恒这些物理规律经过计算得到了有关级数的和。这种方法不仅给级数的求和带来了新的途径，而且对于理解量子力学也带来了很大的帮助

8、。对于相关专业的学生的学习工作都有一定的启示和帮助。参考文献：1曾谨言.量子力学M .北京：科学出版社，2000.12周世勋. 量子力学教程M. 北京：高等教育出版社, 1979.13周保平, 谢小中, 杜小琴, 兰相平.有关常数项收敛级数的求和问题J.塔里木农垦大学学报，2003.34张昆实. 量子力学中的势阱问题解析 J. 高等函授学报（自然科学报），2005.125钱伯初, 曾谨言.量子力学习题精选与剖析上册 M. 北京：科学出版社,1999.16华东师范大学数学系.数学分析下册第三版 M. 北京：高等教育出版社,2001.67TANG JinWei & YAN YuanHong Equation of state and interaction potential of heliumu