多元函数微积分复习题

1、多元函数微积分复习题一、单项选择题 1函数在点处连续是函数在该点可微分的 ( b ) (a) 充分而不必要条件; (b) 必要而不充分条件; (c) 必要而且充分条件; (d) 既不必要也不充分条件. 2设函数在点处连续是函数在该点可偏导的 （ d ) (a) 充分而不必要条件; (b) 必要而不充分条件; (c) 必要而且充分条件; (d) 既不必要也不充分条件.3函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( b ). (a) 充分而不必要条件; (b) 必要而不充分条件; (c) 必要而且充分条件; (d) 既不必要也不充分条件. 4对于二元函数, 下列结论正确的是 ( c ). a. 若

2、, 则必有且有;b. 若在处和都存在, 则在点处可微;c. 若在处和存在且连续, 则在点处可微;d. 若和都存在, 则. .5二元函数在点处满足关系( c ). a. 可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续; b. 可微可导连续; c. 可微可导, 或可微连续, 但可导不一定连续; d. 可导连续, 但可导不一定可微.6.向量，则 （ a ） (a) 3 (b) (c) (d) 25已知三点m（1，2，1），a（2，1，1），b（2，1，2） ，则 = （ c ） (a) -1； (b) 1； (c) 0 ； (d) 2；6已知三点m（0，1，1），a（2，2，1），b（2，1，3） ，

3、则=（ b ） (a) (b) ; (c); (d)-2; 7设为园域 , 化积分为二次积分的正确方法是_d_. a. b. c. d. 8设, 改变积分次序, 则 b a. b. c. d. 9 二次积分 可以写成_. d a. b. c. d. 10 设是由曲面及所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分表示为三次积分， c a b. c d 11设为面内直线段，其方程为， 则 （ c ） （a） （b） （c） 0 （d） 12设为面内直线段，其方程为，则 （ c ）（a） （b） （c） 0 （d） 13设有级数,则是级数收敛的 （ d ） (a) 充分条件； (b) 充分必要条件；

4、(c) 既不充分也不必要条件； (d) 必要条件;14幂级数的收径半径r = （ d ） (a) 3 (b) 0 (c) 2 (d) 1 15幂级数的收敛半径 （ a ） (a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3 16若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为 （ a ） (a) (b) (c) (d) 无法求得 17. 若, 则级数( ) da. 收敛且和为 b. 收敛但和不一定为c. 发散 d. 可能收敛也可能发散18. 若为正项级数, 则( b ) a. 若, 则收敛 b. 若收敛, 则收敛 c. 若, 则也收敛 d. 若发散, 则19. 设幂级数在点处收敛, 则该级数在点处( a )

5、a. 绝对收敛 b. 条件收敛 c. 发散 d. 敛散性不定20. 级数, 则该级数( b ) a. 是发散级数 b. 是绝对收敛级数c. 是条件收敛级数 d. 可能收敛也可能发散二、填空题1设，则 _1_.2设，则 =_0_.3二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 4三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 5柱面坐标下的体积元素 6设积分区域, 且, 则 3 。 7 设由曲线所围成, 则8 设积分区域为, 9设在0， 1上连续，如果，则=_9_.10设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 . 11设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段， 则 012等比级数

6、当 时，等比级数收敛. 13当_时，级数是收敛的.14当_时,级数是绝对收敛的. 15若, 则 , 16若, 则 17设, 则 18设, 则 19. 积分的值等于 , 20. 设为园域, 若, 则 221.设, 其中, 则 三、计算题1. 求过点 且与平面平行的平面方程. 解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为 2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 0 2求经过两点m1（，2）和 m2（3，0，1）的直线方程。 . 解: = (4, 2 , ) 所求直线方程为 3求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1

7、 )为法线向量的平面方程. 解: 所求的平面方程为 即 4设，其中具有二阶连续偏导数，求 解: 5设, 求解: 方程两边对求导得 由此得 6设，其中具有二阶连续偏阶导数，求。 解: , 7设, 求 解: 方程两边同时对求导得 , 8设，其中具有连续的二阶偏导数，求 解: 9设 解: 方程两边对同时求导得 由此得 10计算二重积分, 其中是由直线所围成的闭区域。 解: = 11改变二次积分的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 12计算二重积分, 其中是由直线所围成的闭区域。 解: = 13改变二次积分的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 有 14计算二重积分其中d: 解: = 15改

8、变二次积分的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 16利用格林公式计算曲线积分 i = 其中l为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 i = = = = 12 17利用格林公式计算曲线积分 ,其中l为正向的圆周 . 解：由格林公式 i = = = 18利用格林公式计算曲线积分 i = 其中l为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 i = = = = 18. 19 判别级数的收敛性。 解: 由比值判别法知级数收敛 20求幂级数的收敛区间。 解: ，收敛区间为 21求幂级数的收敛区间。解: , 收敛区间

9、为(-3, 3) 四、解下列各题题1 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解: = 2 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中闭区域为半球体. 解: 在平面内的投影区域为， 用柱面坐标可表示为 3 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。 解: = 4 计算曲线积分，其中是在圆周上由 点o（0，0）到点a（1，1）的一段弧。解: 曲线积分与路径无关， = ( y=x , ) = = - 1 5计算曲线积分，其中是在圆周上由 点o（0，0）到点a（2，0）的一段弧。解： 曲线积分与路径无关， = ( y=0, ) 6 计算曲线积分，其中是在圆周上由 点a

10、（2，0）到点0（0，0）的一段弧。解: 曲线积分与路径无关， = ( y=0 , x由2到0) = . 7 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解: 记 , 则 且 由莱布尼兹定理, 级数收敛 又,而级数发散,由比较判别法可知 级数发散,从而级数为条件收敛 8判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解： 记， 而发散，所以发散 又 且 ， 由莱布尼兹定理知收敛且为条件收敛. 9 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？解: 级数收收敛， 从而级数为绝对收敛. 10 计算, 其中. 11. 计算, 其中 12. 求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积. 五应用题1将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？解. 目标函数：，附加条件： 解方程组：得唯一可能极值点： 故当矩形的边长分别为和时，绕短边旋转所得到园柱体的体积最大，且其体积为2