平面向量中三点共线

1、平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中a、b、p三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的o，存在唯一的一对实数x,y使得：且。 特别地有：当点p在线段ab上时，当点p在线段ab之外时，典例剖析例1、 已知是的边上的任一点，且满足，则 的最小值是 分析：点p落在的边bc上 b，p,c三点共线 由基本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例2、在abc中，点p是bc上

2、的一点，若，则实数m的值为（ ）ab. c. d. 分析：三点共线，又 ，故选c例3、在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若 m，n，则mn的值为 ：因为o是bc的中点，故连接ao，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：，图4又三点共线，由平面内三点共线定理可得： 变式、直线l过abcd的两条对角线ac与bd的交点o，与ad边交于点n,与ab的延长线交于点m。又知 m，n，则mn= 分析：因为点o两条对角线ac与bd的交点，所以点o为ac的中点 m，n 又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得： 例4、点是的重心，、分别是边、上的动点，且、三

3、点共线设，证明：是定值；证明：因为g是的重心，分析： 又三点共线， 为定值3例5、如图所示,在平行四边形abcd中，,ce与bf相交于g点，记，则_分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点f、g、b以及e,g,c三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得 , ,又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得 ， 由两式可得： pabcmn点评：本题的解法中由两组三点共线（f、g、b以及e,g,c三点在一条直线上）变式2、在三角形abc中,amab=13,anac=14,bn与cm

4、相交于点p，且，试用、表示解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,anac=14, 又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得 amab=13 ， 由两式可得： 练习：1.，点在边上，设，则 （ ） 2、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3,1),b(-1,3),若点c(x, y)满足=+，其中,r且+=1，则x, y所满足的关系式为（ ）a3x+2y-11=0 b(x-1)2+(y-2)2=5 c2x-y=0 dx+2y-5=03.已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是 4、在平行四边形abcd中，o是对角线ac与bd的交点，e是bc边的中点，连接de交ac于点f。已知,则（ ）a bc d5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形abcd中，e、f分别是bc、cd的中点，de交af于h，记、分别为a、b，则()aab babcab dab6、（2008年广东卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ab