圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质

1、圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系20021111组朱家庆指导教师走向长福摘要：圆锥曲线是目前高中解析几何学的重要内容之一，圆锥曲线知识是高中数学的重点和难点，因此成为高考的重点调查内容。 圆锥曲线的主要内容之一是关于越过圆锥曲线焦点的弦和直线的问题，学生在解决这种问题时，经常觉得无法控制。 为了消除这种混乱，在全面研究高中数学教材和要求的基础上，通过分析导出的方法，文章研究和讨论了椭圆焦点三角形的性质、双曲线焦点三角形的性质和圆锥曲线焦点弦的性质，得到了圆锥曲线焦点三角形的5个基本性质，使学生可以更全面、更系统、更深入地理解相关知识，使这些性质成为关键字：圆锥曲线焦点三角形性质对焦o

2、nthepropertiesofconicfocalpointtriangleandfocalpointstringabstract: the cone curve， asannimporttpartofcontofanalicalitygementionpresenthighschool 22222222222222222222222222 andsoitbecomesakeyimentpointin nation.themotimpontcontentocontofconecurveistheproblemconcerningthe stringormitrinficeshicpassin

3、gtheconicofocalpoint.facedwit onthebasisofathoroughstudyofthematicallicationmationmaticallityforhighschoolsandbymeansofanalysisanddeduction lipsefocalpointtriangle thenatureofhyperboliccurvefocalpointtriangleandthenatureofconicfocalpointstring andpostinsotionoffivibut calpointtriangle .这些proptitionc

4、anhelpstudentsfurentheconicknowledgesyst ematicallyandimprove他们的mathematicscontensandapplicatikey words: cone curve； focal point triangle； 属性；属性； focal point1引言圆锥曲线是现在高中分析几何学的重要内容之一，圆锥曲线的知识是高中数学的重点和难点。 圆锥曲线的主要内容之一是关于越过圆锥曲线焦点的弦和直线的问题。 在解决这种问题时，很多学生常常感到无能为力，有些学生计算量很大，因此有必要让有学习数学欲望的学生掌握一定的解题方法和数学思想。 在数

5、学中，我们经常利用性质来讨论问题，因此文章首先讨论圆锥曲线的焦点三角形和焦点弦的性质，然后讨论这些性质的应用。圆锥曲线的焦点三角形和焦点弦具有很多性质，很多教师和专家都在研究。 文献2主要研究椭圆焦点三角形的性质，而文献7主要研究双曲线焦点三角形的性质。 文献2、7都是孤立地研究，看起来缺乏系统性的单一.文献1、10主要围绕焦点三角形的内接圆结合椭圆焦点三角形和双曲线焦点三角形的性质进行了研究，弥补了文献2、7的缺点.文献9主要研究了圆锥曲线焦点弦的几何特征. 在分析研究文献的基础上，文章主要根据高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质、双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了一定

6、的探讨，对其进行系统的总结，进行一定的扩展，使学生更全面和深入地理解，学生利用这些性质解决相关问题的数学素质和应用双圆锥曲线焦点三角形的定义和性质把由圆锥曲线上的一点及其两焦点构成的三角形称为圆锥曲线的焦点三角形1。2.1椭圆焦点三角形的性质以椭圆的两个焦点和椭圆上的任意点(除长轴上的两个端点以外)为顶点，称为椭圆的焦点三角形2。设=，=，=，椭圆的离心率，则具有以下性质性质1:证明：那么，根据馀弦定理，有。整理例1是图：分别是椭圆左、右焦点，点在椭圆上，面积为1的正三角形求出的值.分析：这个问题是以通常的想法开始的，即求出的点的坐标分别在椭圆上解这个方程式就能得到的值。 但是，这与求解二维二

7、次方程式相关，计算量大，非常麻烦。 用性质1解的话，运算就简化了。解：一连接，就有了性质2:证明：从性质1中得到在例2中已知椭圆的两个焦点是椭圆的到任一点，是求出的面积.分析：点的坐标在已知的椭圆上有点，利用这两个条件，列举了关于的两个方程式.求面积的方法，运算量大，过程复杂，需要寻找捷径. 可以直接利用性质2来求解，可以简化运算量解：例3:已知点是椭圆的到任点，而且寻求证据。证明：例4:点是椭圆上的点，点和焦点、成为顶点的三角形的面积等于1，求出点的坐标。分析：求出点的坐标，设定点坐标，使点在已知椭圆上的和面积为1，并排列两个方程式，通过解方程式可以得到点的坐标。 这个问题也可以根据例子3来

8、解决3。解：设点坐标为，有可以代入性质3 :证明：有签名定理也就是说，所以在点p位于长轴上端点时，此时不存在，所以成为4 .性质4:离心率证明：有签名定理已知例5 (2004年福建大学入学考试问题)是椭圆的两个焦点，与椭圆的长轴垂直的直线在两点相交，如果是正三角形，则求出该椭圆的离心率5。分析：因为是正三角形，所以可以从椭圆的第一定义中求出如果用性质4解，则解变得容易.解：取决于已知条件(图)性质5:证明：有签名定理.已知实例6:为椭圆上的一点，且为焦点，且求出椭圆的离心率6。分析：我们知道可以直接利用性质5来解决问题解：从性质5开始简单化2.2双曲线焦点三角形的性质以双曲线的两个焦点和双曲线

9、上的任意点(除了实轴上的两个端点)为顶点的称为双曲线的焦点三角形7。设=，=，=，双曲线的离心率，具有以下性质性质1:证明：那么，根据馀弦定理，有。，得到例1:为双曲线的两个焦点，点位于双曲线上，是满足、求出的面积解：性质2 :证明：从性质1得到.例2:已知点()，()，动点满足.点的纵轴为的情况命令的情况下，求出的值解：从双曲线的第一定义到点p的轨迹方程式例3:的设置点是双曲线的到任点，而且寻求证据：分析：这个问题是基于已知的条件序列方程求解的，计算量大，过程复杂，需要另求解法。 因为和的高度相等，所以可以从面积上解出来。证明：性质3:离心率().证明：有签名定理即又如图4:(2002年上海

10、大学入学考试问题)图所示，作为双曲线的焦点，作为垂直于x轴的直线，以双曲线为点相交，求出双曲线的渐近线方程式。解析：双曲线的渐近线方程式，如果可以求出，可以确定值、渐近线方程式。 在这个问题中，如果难以求出的值，我们可以变形，求出e的值，就可以求出渐近线方程式。 可以利用性质4求e。解：性质4 :(1点在双曲线右枝上时(2)p点在双曲线左枝上的情况证明： (1)p点在双曲线右枝上时，有正弦定理例5:(2005年福建高考问题)是双曲线的两个焦点，以线段为边，边的中点位于双曲线上时，求双曲线的离心率8。解：连接后三圆锥曲线焦点弦的性质性质1:通过椭圆一个焦点的直线与椭圆和点相交，与椭圆长轴上的顶点

11、、点相交与点相交的话证明：如图所示，将椭圆方程式可设置的点的坐标是点，的坐标分别是的方程式是的方程式由得到因为是点、共线，所以简化了将式代入式后因此，点的坐标相同，点的坐标为9也就是说通过性质2:双曲线一个焦点的直线与双曲线相交，两点是双曲线实轴上的顶点，与点相交，与点相交证明与性质1的证明类似，省略性质3:通过抛物线焦点的直线和抛物线相交于两点，抛物线的顶点，交点为抛物线对称轴的平行线相交于点，交点为抛物线对称轴的平行线相交于点证明：假设抛物线方程式为点，他的坐标可以是各自的。因为是三点共线简化、得、又的方程式，的方程式是从得到的点的坐标.相同点的坐标为10。也就是说4总结本文主要在分析研究

12、文献的基础上，结合高中数学课程的要求，系统地总结出具有共同特征的椭圆焦点三角形和双曲线焦点三角形的性质，得到了五个基本性质，用初等方法证明，有机地统一圆锥曲线焦点弦的性质，使学生更加全面和深入地理解，学生利用这些性质解决相关问题参考文献1唐永金.探索圆锥曲线焦点三角形的性质j .数学通报，2000，(9):24252熊光汉.椭圆焦点三角形的一些性质j .数学通报，2004，(5):24253人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上) m，北京：人民教育出版社，20044李迪减.关于椭圆的十个最高值问题j .数学通报，2002，(4):24255任志鸿.十年大学入

13、学考试分类分析和考试策略(数学) m .海南：南方出版社，20056雪金星.中学教材为高二数学(上) m .陕西：陕西人民教育出版社，20037徐希扬.双曲焦点三角形的一些性质j .数学通报，2002，(7):278潘社栋.黄冈新考典十年大学入学考试分类分析和命题倾向m .吉林：延边大学出版社，20059李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣的性质j .数学通报，2001，(5):2310毛美生范慧珍.圆锥曲线的关联性质j .数学通报，2002，(12):2728导师的评论：圆锥曲线是高中解析几何学的重要内容，现行高中教材只介绍了圆锥曲线的基本性质，在解决复杂的圆锥曲线问题上束手无策，但在其他文献中，虽然也讨论了内容，但只停留在解决问题的水平上，系统并没有形成独立的系统。文章通过大量的资料检索、素材积累，根据分析、归纳、搜索，给出了椭圆、双曲线焦点三角形七条性质和圆锥曲线焦点弦三条性质。其中椭圆、双曲线焦点三角形的7个性质是根据文献2、7的几个例题进行分析、整合、升华提出的，提出了严格数学证明的圆锥曲线焦点弦的三个性质是