解析几何第一章习题

1、解解 析析 几几 何何 作作 业业 集集 内部资料内部资料 请勿盗印请勿盗印 第一章第一章向量向量与坐标与坐标 1.1向量向量的概念的概念 1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点. 解：解： 2. 设点 o 是正六边形 abcdef 的中心， 在向量oa、ob、oc、od、oe、 of、ab、bc、cd、de、ef 和fa中，哪些向量是相等的？ 解：解： 图 1-1 3. 设在平面上给了

2、一个四边形 abcd，点 k、l、m、n 分别是边 、 、 、 的中点，求证：klnm. 当 abcd 是空间四边形时，这等式是否也成立？ 解：解： af be cd o 图 12 4. 如图 1-3，设 abcd-efgh 是一个平行六面体，在下列各对向 量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量： (1)ab、cd; (2)ae、cg;(3)ac、eg; (4)ad、gf;(5)be、ch. 解：解： 1.2向量向量的加法的加法 1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？ （1）;baba（2）;baba （3）;baba（4）;baba （5）.baba 解：解： 1.3数量乘数量乘

3、向量向量 1、 已知四边形abcd中， caab2， cbacd865，对角线 ac、 bd的 中点分别为e、f，求 ef 解：解： 2、 设 baab5， babc82，)(3 bacd，证明：a、b、d三点共线 解：解： 3、 在四边形abcd中， baab2， babc4， bacd35， 证明abcd 为梯形 解：解： 图 13 6. 设 l、 m、 n 分别是abc 的三边 bc、 ca、 ab 的中点， 证明： 三中线向量al,bm,cn 可 以构成一个三角形. 解：解： 7. 设 l、m、n 是abc 的三边的中点，o 是任意一点，证明 oboa+oc=ol+om+on. 解：解

4、： 8. 如图 1-5，设 m 是平行四边形 abcd 的中心，o 是任意一点，证明 oa+ob+oc+od4om. 证明证明： 9在 平 行 六 面 体abcdefgh（ 参 看 第 一 节 第 4 题 图 ） 中 ， 证 明 agahafac2 证明证明： 图 1-5 11. 用向量法证明，平行四边形的对角线互相平分. 证明证明： 1.4向量向量的线性关系与的线性关系与向量向量的分解的分解 1在平行四边形 abcd 中， （1）设对角线,bbdaac求.,dacdbcab （2）设边 bc 和 cd 的中点 m 和 n，且 qanpam, 求cdbc,。 解：解： 图 1-4 2在平行六面

5、体 abcd-efgh 中，设 , 321 eaeeadeab三个面上对角线向量设为 ,rafqahpac试把向量rqpa写成 321 ,eee的线性组合。 解：解： 3. 设一直线上三点 a, b, p 满足appb(1),o 是空间任意一点，求证： 1 oboa op 证明证明： 4. 在abc中,设, 1 eab 2 eac . (1) 设ed、是边bc三等分点,将向量aead,分解为 21,e e的线性组合; （2）设at是角a的平分线(它与bc交于t点),将at分解为 21,e e的线性组合 解：解： 图 1-7 5在四面体oabc中，设点g是abc的重心（三中线之交点） ，求向量o

6、g对于向量 ocoboa, ,的分解式。 解：解： co p g ab （图 1） 6用向量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点 证明：证明： a nm blc o （图 2） 7已知向量ba,不共线，问bac 2与bad23 是否线性相关？ 解：解： 8. 证明三个向量a 1 e+3 2 e+2 3 e,b 4 1 e6 2 e+2 3 e，c 3 1 e+12 2 e11 3 e共面， 其中a能否用b ,c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. 解解： 1.5标架与坐标标架与坐标 3. 在空间直角坐标系o;kji ,下，求 p(2,3,1)，m(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；

7、(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. 8. 已知向量a,b,c的分量如下： (1)a0, 1, 2，b0, 2, 4，c1, 2, 1； (2)a1, 2, 3，b2, 1, 0，c0, 5, 6. 试判别它们是否共面？能否将c表成a，b的线性组合？若能表示，写出表示式. 解：解： 7已知 a,b,c 三点坐标如下： （1）在标架 21, ;eeo下，.4 , 2,2, 2,1 , 0cba （2）在标架 321 ,;eeeo下，4 , 3 , 2,2, 0 , 1,0 , 1 , 0cba 判别它们是否共线？若共线，写出ab和ac的线性关系式. 解：解： 9. 已知线段 ab

8、 被点 c(2,0,2)和 d(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点 a 与 b 的坐标. 解：解： 1.6向量向量在轴上的射影在轴上的射影 1已知向量ab与单位向量e的夹角为 150，且10ab，求射影向量abe与射影abe， 又如果ee，求射影向量ab e 与射影ab e . 解：解： 1.7两两向量向量的数性积的数性积 1、已知向量ba,互相垂直，向量c与ba,的夹角都是 60，且3, 2, 1cba计算： 22 )2)(4();3).(23)(3();)()(2( ;)(1 (cbacbbabababa 解：解： 2、 计算下列各题. （1）已知, ,a b c 两两垂直,且1,a

9、 2,b 3,c 求rabc 的长和它与, ,a b c 的夹 角. （2）已知2,a 5,b 2 ( , ), 3 a b 3,pab 17 .qab 问系数取何值时 p 与q 垂直？ 解：解： 3、用向量法证明以下各题： (1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosa; (2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. 证明证明： （1） (2) 图 1-11 图 1-12 5已知平行四边形以 a1，2，-1， b1，-2，1为两边 (1)求它的边长和内角(2)求它的两对角线的长和夹角 解：解： 6已知abc的三顶点(0,0,3),a(4,0,0),b(0,8, 3)c，试求：

10、(1)三边长 (2)三内角(3)三中线长(4)角a的角平分线向量ad （中点在bc边上） ， 并求ad 的方向余弦和单位向量 解：解： 1.8两两向量向量的的矢性积矢性积 1.已知1a ,5,b 3.a b 试求:(1) a b (2) 2 () ()abab (3) 2 (2 ) (2 )abba 解：解： 2. 证明： （1）(ab )2a 2b 2，并说明在什么情形下等号成立. （2） 如果a+b +c0 ，那么ab b cca，并说明它的几何意义. 4.已 知 :2, 3,1a ,1, 2,3 ,b 求 与a ,b 都 垂 直, 且 满 足 下列 条 件 的 向 量c : (1) c

11、为单位向量(2)10c d ,其中d 2,1, 7. 5.在 直 角 坐 标 系 内 已 知 三 点(5,1, 1),a(0, 4,3),b(1, 3,7)c, 试 求 : (1)三角形abc的面积(2)三角形abc的三条高的长. 6.已知:2,3,1 ,a 5,6,4b ,试求: (1)以, a b 为边的平行四边形的面积.(2)这平行四边形的两条高的长. 7. 用向量方法证明： （1）三角形的正弦定理 a a sin b b sin c c sin . （2）三角形面积的海伦(heron)公式，即三斜求积公式： 2p(pa)(pb)(pc). 式中 p 2 1 (a+b+c)是三角形的半周

12、长，为三角形的面积. . 1.9三三向量向量的混合积的混合积 1. 设a,b,c为三个非零向量，证明 (3) (a,b,c+a+b) =(a,b,c); (4) (ab,bc,ca) =2(a,b,c). 3u = 11e a+ 21e b+ 31e c, 12e av + 22e b+ 32e c,w = 13e a+ 23e b+ 33e c, 试证明(wvu ,)= 333 222 111 cba cba cba ( 1 e, 2 e, 3 e). 4.已知直角坐标系内向量, ,a b c 的分量,判别这些向量是否共面?如果不共面,求出以它们为 三邻边作成的平行六面体体积. (1)3,4,5a ,1,2,2b ,9