随机过程习题与答案

1、 西 南 交 通 大 学 本科生考试试卷本科生考试试卷 b 课程名称 随 机 过 程 随 机 过 程 二零零三年二零零四年第一学期 考试日期 班级 学号 姓名 成绩 一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时 来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时 间也是随机的若令为t时刻的队长)(tx即正在被服务的顾客和等待服 务的顾客的总数目y(t)为t时刻来到的顾客所需等待时间 ),(,),(tttytttx是随机过程吗为什么 二试写出随机过程 ),( ) sin()(+=ttatx 的任意两个样本函数并画出其图形 1 若a是在(上均匀分布的随机变量) 1

2、, 1 在(0, 2)上服从均匀分布 而为常数 2若a服从上均匀分布) 1 , 1(服从(0, 2)上均匀分布而为常数 三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为 6 的一个泊松过程每 位顾客订阅 1 年2 年3 年的概率分别为 0.20.30.5彼此如何订阅是 相互独立的每订阅一年店主即获利 5 元设y(t)是0, t)时段内店主 从订阅中所获得总收入试求 1)(tye即0, t)时段内总收入的平均收入 2)(tyd 四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出cc ,且对于任意的t 电路中电流x(t)具有概率分布 2 1 2 1 )( i p cctx 因电流的发送有一个任意的持续时间

3、 电流变换符号的时间是随机的 设x(t) 在0, t)内变量的次数n(t)为强度的泊松过程试讨论的平稳 性 0),(ttx 五若每隔一分钟观察噪声电压以x(n)表示第n分钟观察噪声电压所得结果 则x(n)为一随机变量1),(nnx为一随机过程此过程是马氏过程吗为 什么 六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有n格质点以概率p顺时针游动一 格以概率逆时针移动一格pq=1试用马氏链描述游动过程并确定状 态空间及转移概率矩阵 七设一齐次马氏链的概率转移图如下图0),(nnx且已知其初始分布为 3 1 )0(= ixp3 , 2 , 1=i 1 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 试求 1 二步转

4、移概率矩阵 2 3)3(, 2) 1 (=xxp2)5(,=x 参考解答 一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时 来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时 间也是随机的若令)(tx为时刻的队长t即正在被服务的顾客和等待服 务的顾客的总数目y(t)为t时刻来到的顾客所需等待时间 ),(,),(ttytttx是随机过程吗t为什么 解答解答 若令 x(t)为 t 时刻的队长,则固定 t 时, x(t)为一随机变量,其可能取值为 0,1,2, 其参数空间为表示 t 时刻的状态,故状态空间 为因此为一随机过程 0|=ttt,ntx=)( , 2 , 1 ,

5、 0l=e, 0),(ttx 若令y(t)为t时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t时, y(t) 为一随机 变量,其可能取值为即其参数空间为为 t 时刻的状态, 故状态空间为因此亦为一随机过程 0t, 0|=ttt,stx=)( 0|=sse,0),(tty 二试写出. (1) 若 a 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数, 解答 ( )sin()()x tattr=+的任意两个样本函数 , ( )xt 2() x t 图 1 取 1 2 a= 得随机过程的两个样 本函数图形如图 1 1 1 (sin(xt=+ 2 ) 2 1 ( )sin() 2 t x tt= + (2)若 服为常从(

6、0, 2 ),ua 数 解答 ( ) 1 2 , = 2 ( )sin()cos() 2 sin()sin() x tatat xtatat =+= =+= 取 三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程 2 2 图 2 每为 6 位顾客订阅 1 年2 年3 年的概率分别为 0.20.30.5彼此如何订阅是 相互独立的每订阅一年店主即获利 5 元设y(t0t)时段内)是, 店主 从订阅中所获得总收入试求 1)(tye即0, )时段内总收入的平均收入t 2)(tyd 解答(1) 法一 设 n(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅 j 年的顾客数 ( ) j n t 123 ( )(

7、)( )( )( )n tn tn tn tn t=+且 (6 ) t 故由已知 123 23 23 23 ( )3 ),( )(2 ),( )( ) ( )0, ) ( )10( )15( ) ( )( )10( )15( ) 531021550 ( )2( )100( )225( ) 25 3100 2225500 nttnttntt y tt tntnt ey ttentent tttt dy ttdntdnt tttt + =+ =+= =+ =+= 1 1 1 服从服从服从 均为泊松过程 记为内店主的总收入则 y( t ) =5n 5en 5dn 法二 设店主从第 n 个订阅者处获利

8、 x(n)则 5 10 15 x(n) pk 1/2 1/3 1/6 x(n)相互独且 立 ex(n)=50/6, dx(n)=500/6 ( ) ( )( ) n t y tx n=总获利 1 0 0 22 1( ) ( ( )/( ) ( ( )/( ) ( ) 5050 ( )( )50 66 (2)( )( ( )( ) ( ( )( ) /( ) 500 ( )500 6 n k k ey te e y tn t e y tn tk p n tk kp n tke n tt dy te y tey te e y tey tn t en tt = = = = = = = = 四在电报信

9、号传输中信号是由不同的电流符号给出cc ,且对于任意的t 电路中电流x(t)具有概率分布 2 1 2 1 )( i p cctx 因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的 设x(t)在0, t)内变量的次数n(t)为强度的泊松过程试讨论 0),(ttx的平稳性 解答解答1对于任意的t ex(t)=0 2 += 22 )(ctex 3对于 时 21 tt )()()()()()(),( 2 21 22 21 2 2121 ctxtxpcctxtxpctxtexttrx= )()( 12 2 12 2 奇数偶数=ttnpcttnpc )( 0 12 12 2 0 )( 2 12

10、2 1212 )!12( )( )!2( )( tt k k k tt k e k tt ce k tt c + = + + = + = )( ! )( 12 2)(22)( 0 12 2 1212 ttrcece k tt c x tttt k k = = + = 类似地, 对于时, 有 12 tt )(),( 21 2 21 ttrcttr xx = 因此,合并两式即得, )(),( 12 2 2 2 21 12 ttrcecttr x tt x = 与 无关,可见, t 0),(ttx为宽平稳过程 五 若每隔一分钟观察噪声电压以x(n)表示第n分钟观察噪声电压所得结 果 则x(n)为一随

11、机变量1),(nnx为一随机过程 此过程是马氏过程吗 为什么 解答: 由于第n分钟观察噪声电压所得结果与其它各次观察噪声电压所得结果 互不影响,显然为独立随机序列1),(nnx因此对于任意的正整数 , 的条件联合分布函数为 nnnn m l 21 )(),(,),(),( 21 nxnxnxnx m l )(,)(|)(),|,( 112121mmmn xnxxnxxnxpnnnxxxnxf=lll )(,)( )(,)(,)( 11 11 mm mm xnxxnxp xnxxnxxnxp = l l )( )()( )()( )()()( 11 11 mm mm mm mm xnxp xnx

12、pxnxp xnxpxnxp xnxpxnxpxnxp = = l l ,|,)(|)( )( )(,)( mmmm mm mm nxnxfxnxxnxp xnxp xnxxnxp = = 满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程 六 一质点在圆周上作随机游动圆周上共有n格质点以概率p顺时针游动一 格以概率逆时针移动一格pq=1试用马氏链描述游动过程并确定状 态空间及转移概率矩阵 解答 将 n 个格点 分别记为 1,2,.,n 如图排列 用 x(n)表示 n 时质点的位 置显然它只与 x(n-1)时的位置有关 与 x(n-1)以前的位置无关满足马尔科 夫性,因此为马氏过程1),(nnx其状 态空间

13、为e= 1, 2, . . . . . .,n,参数空间 为1 = nt故 为一马氏 链 1),(nnx 其一步转移概率为 1 n (1)/( ) 1 11 ij pp x kj x ki pji qjiin o =+= = + = 其它 1 (1)/()1) 2 (1)/() 1 1 j n j ppxkjxk pj qjn o ppxkjxkn pj qjn o =+= = = =+= = = 其 它 其 它 七设一齐次马氏链的概率转移图如下图0),(nnx且已知其初始分布为 3 1 )0(= ixp3 , 2 , 1=i 1 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 试求 1二步转移概

14、率矩阵 22)5(,=x3)3(, 2) 1 (=xxp 解答 1 = 001 2/12/10 2/12/10 p = = 2/12/10 4/14/12/1 4/14/12/1 001 2/12/10 2/12/10 001 2/12/10 2/12/10 2 p 22)5(, 3)3(, 2) 1 (=xxxp 3)3(|2)5(2) 1 (|3)3(2) 1 (=xxpxxpxp 24 1 2 1 4 1 0 2 1 2 1 3 1 )0( )2( 31 )2( 232 3 1 =+= = pppp i i i 西 南 交 通 大 学 本科生考试试卷本科生考试试卷 a 课程名称 随 机

15、过 程 随 机 过 程 二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003.1.6 班级 学号 姓名 成绩 一10 分设质点m在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点 上移动质点m的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20 分试写出随机过程 ),( ) sin()(+=ttatx 的任意两个样本函数并画出其图形 1若a是上均匀分布的随机变量) 1 , 1(, 均为常数 2若服从(0, 2)上的均匀分布a, 为常数 三10 分试求随机过程的一维分布函数 , cos)(rttatx=一维概率 密度函数自相关函数与协方差函数其中a服从标准正态分布n(0,1) 四20 分设在0, t)

16、时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=人/ 分的泊松过程试求 1在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率 2第 3 位乘客在 3 分钟内到达售票处的概率 五10 分设),( sin cos)(+=ttbtatx为常数为一 随 机 过程其中a与b是互不相关随机变量且 0)()(=beae 2 )()(=bdad试问此随机过程是否平稳过程为什么 六20 分设在每次试验中事件 a 发生的概率为) 10( pp现将这项试 验独立地重复进行多次以 x(n)表示到第 n 次为止事件 a 发生的次数 1试问是何种随机过程, 2 , 1),(l=nnx 1 2试写出的一维概率分布, 2 , 1),(l

17、=nnx 七10 分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动 一次随机地通过格子也就是说如果有r条通路供离开那么选取其中任 一条通路的概率为 r 1 试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间 和一步转移矩阵 1 2 3 4 6 5 7 8 9 2 参考解答参考解答: 一10 分设质点 m 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数 点上移动质点 m 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答 设y 为第n个单位时刻质点m 所在位置, 而令随机变量 n = 向左移动一个整数单位质点 向右移动一个整数单位质点 m m xi 1 1 l, 2 , 1=i 由于质点 m 的

18、移动是随机的, 故 2 1 11=xpxp 则在时刻 t=n 时, 质点所在的位置为m 1 n ni i yx = =, 易知参数集为状态集为, 因此 1,=nnt, 2, 1, 0l=e ,1 n y n 成为描述上述随机现象的随机过程 二试写出. (1) 若 a 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数, 解答 ( )sin()()x tattr=+的任意两个样本函数 , 1( ) xt 2() x t 图 1 取 1 2 a= 得随机过程的两个样 本函数图形如图 1 1 1 (sin(xt=+ 2 ) 2 1 ( )sin() 2 t x tt= + 见图 1 (2)若 服为常从(0, 2

19、),ua 数 解答 ( ) 1 2 , 2 ( )sin()cos() 2 sin()sin() x tatat xtatat =取 =+= =+= 见图 2 2 2 图 2 3 ( )cos,x tattr =是一常数三 试求随机过程的一维分布函数 一维概率 其中 a 服从标准正态分布 n(0, 1)密度函数 自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t0随机变量x(t )为a的性函数 0 线而a服从标准正态分布 n(0, 1)由概率论知 (tx 0)服从正态分布 0 (0,(cos) )nt 2 故一维率密度函数为概 一维分布函数为 自相关函数为 12 =( ),( )r x tx t

20、2 12 (coscose att) )ttdaa=+ 2 12 coscos(e 因为 所以 自协方差函数 1,0,daea= 12 coscostt= 12121 ( 2 ),( )( ),( )( )( ) xx c x tx tr x tx tmt mt= 0 所以 co 2 tx 2 = ( 因为,( ) x tr mt = )(),(v 1 tx 1 ttcoscos 四设在0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=人/分的泊 松过程试求 1在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率 2第 3 位乘在客3 分钟内到达售票处的概率 解答设 n(t)为0t内到达的乘客数 则

21、 n(t) (1) (3 ) t 77 3 515 (35 (5)7n= )15 ) 7!7! pee = 15 3 3 15 (3)(3)3) ! n k k n pp ne k = = 表第 个乘客到达的时间 () 2 100 00 1 cos t0 cos 2 cos 2 x tt 11 ( , )expf x t= () 2 0 00 1 exp cos t0 cos 2 cos 2 x dx tt 10 11 ( , ) x f x t = (2) 4 15 2 1515 12 15 151 =eee = += 15 2 ) 12 15 151 (1e99996 . 0 5 . 12

22、81 15 = e 五设),( sin cos)(+=ttbtatx为常数为一随机过 程 其中a与b是互不相关随机变量 且 0)()(=beae 2 )()(=bdad 试问此随机过程是否平稳过程为什么 解答1( )cossinex tteateb=0 2 22222 222 (sincos)sin2tt= 2 ( )(cossin2sincos)exte atbtabtt t ea eb =+ + = 3 121122 22 1212 1212 2 21 ( )( )(cossin)(cossin) (coscossinsin (sincoscossin) cos() ex t x te a

23、tbtatbt e attbtt abtttt tt =+ =+ + = 故此随机过程是宽平稳过程 六设在每次试验中事件 a 发生的概率为) 10( pp现将这项试验独立地 重复进行多次以 x(n)表示到第 n 次为止事件 a 发生的次数 1试问, 2 , 1),(l=nnx是何种随机过程 2试写出的一维概率分布, 2 , 1),(l=nnx 解答令l,1=i a y 发生 2 , 0 1 = ai i i 不发生次试验第 次试验第 由题意知它们是相互独 立的此时 x(n)表示为 = = n i i ynx 1 )(l, 2 , 1=n 4321 nnnn 1 因为增量 + = 2 1 1 12 )()( n ni i ynxnx = 表示在第次与第次 之间事件 a 发生的次数 1 n 2 n 增量表示在第次与第次之 间事件 a 发生的次数 += = 4 3 1 12 )()( n ni i ynxnx 3 n 4 n 由于的独立性可知1,iyi( ),1,2x n n =l 是独立增 5 量过程 2 又因为 x(n