拔尖班抽象代数讲义

1、抽象代数讲义 张起帆 Sept 6, 2011 2 Contents 1代数结构9 第一讲 群的基本知识快速回顾. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.1集合论预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2抽象群与变换群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.3同态基本定

2、理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.4群的生成元、 循环群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.5群的例子和练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 第二讲 更多代数结构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3、. . . . . . . . . . . . . . . .14 1.6环的基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.7典型例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.8基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

4、2群论初步21 第三讲 有限生成abel群的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.1群的扩张. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.2群的直和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 2.3有限生成abel群的结构定理. . . . . . .

5、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 第四讲 有限生成abel群的结构定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.4存在性部分证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.5唯一性部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 2.

6、6例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 第五讲 有限非交换群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.7对称群Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.8Jordan-Holder定理 . . . . . . . .

7、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2.9自同构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 第六讲 群在集合上的作用（一）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 2.10 群作用基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8、. . . . . . .38 2.11 Sylow第一定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 第七讲 群在集合上的作用（二）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2.12 Sylow第二、 第三定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 3 4CONTENTS 2.13 群作用的更多例子.

9、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 3环、 模论初步45 第八讲 环的算术性质（一） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3.1环的基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3.2唯一分解整环， 主理想整环， Eulcilid环 . . . . . . . . . . .

10、 . . . . . . . . . . . . .46 第九讲 环的算术性质（二） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.3Euclid环的数论应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.4追溯历史理想的产生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.5理想的运算 . . . . . . .

11、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.6整环的分式域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 第十讲 环的几何性质（一） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 3.7Gauss定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12、 . . . . . . . . . . . . .53 3.8代数几何简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 第十一讲 环的整性与模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.9代数与几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.10 整性 .

13、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.11 模的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 第十二讲 线性代数模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 3.12 模的基本知识 . . . . . . . . . . . . . .

14、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 3.13 同态基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 3.14 模的直和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 3.15 自由模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15、 . . . . . . . . . . . .63 第十三讲 主理想整环上有限生成模的结构定理的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . .67 3.16 定理证明的唯一性部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 3.17 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 第十四讲 一些代数常识 . . . . . . . . . . . .

16、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 3.18 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 3.19 范畴语言简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4域扩张理论75 第十五讲 分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17、. . . . . . . . . . . . . . .75 4.1域扩张基本常识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 4.2分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 第十六讲何时|Gal(E/F)| = E : F? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.3定理补证.

18、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.4有重根的多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.5有限域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 4.6正规扩张和可分扩张 . . . . . . . . . . . . .

19、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 CONTENTS5 第十七讲Galois理论基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 4.7子域的研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 4.8Galois理论主要定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20、 . .86 第十八讲代数方程的求解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.9方程的根式可解及关于高次方程的Galois定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.10 Galois准则的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 第十九讲域扩张的进一步的理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21、. . . . . .93 4.11 典型的域扩张 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 4.12 迹(Trace)和范(Norm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 4.13 Hilbert定理90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 6CONTENTS 引论

22、 本课程假定学生有初等数论基础， 并知道群环域的一些基本知识。主要内容预计如下： 1. 代数结构。 2. 群论初步。 3. 初等环(ring)、 模（module）论。 4. 域(fi eld)的Galois理论。 5. 较高级的理论以下三部分选一： 交换代数， 同调代数和群表示。 忠告：学习抽象代数或其它抽象的理论时，切勿陷在抽象中，必需了解适当背景，考察大量 例子。逻辑6=数学 7 8CONTENTS Chapter 1 代数结构 第一讲 群的基本知识快速回顾 1.1集合论预备知识 大家都知道集合、 映射、 关系等概念。现介绍一些常用工具： 交换图。下图是关于一些集合与映射的图： A f

23、B y y C g D 我们称这个图表交换， 如果 f = g ， 即A中的元沿着两条路到达D得到同一个元。 运算： 集合S的一个运算是指一个映射f : S S S。 我们常常说一个运算“”是指将(a,b)的像f(a,b)记作a b。记号不是本质， f才是。我们说 运算“”或“f”具有结合律是指对任意a,b,c S， 有(a b) c = a (b c)， 或下图交换： S S S f1 S S 1f y f y S S f S (f 1)(a,b,c) = (f(a,b),c) (1 f)(a,b,c) = (a,f(b,c). 我们说运算“”或“f”具有交换律是指对任意a,b S， 有a

24、b = b a， 或下图交换： S S f % J J J J J J J J J J i / S S f S i(a,b) = (b,a) 9 10CHAPTER 1.代数结构 运算封闭：集S上有运算“” ， 我们常说S的某子集A对“”封闭， 是指对任意a,b A， 都 有a b A。这样A就可以继承S的运算“” 。 等价关系与划分：我们知道给集合X上一个等价关系等同于给X的一个划分，即把X分 解为一些不交子集的并。每个a X在一个子集（即等价类）中， 记为a。记 X/ := x|x X, 称之为X对的商集。有自然投射 : X X/ , x 7 x. 命题1.1.1. 设有集合的映射 : X

25、 Y ， 在X上定义等价关系如下 a b (a) = (b), 则存在唯一映射使得下图交换 X E E E E E E E E E / X/ Y 并且是单射。 命题的证明留作练习。 1.2抽象群与变换群 先介绍群等概念。 群（group） ： 设G是一个集合， G上有一个运算。如果运算满足以下三条性质： 1) 结合律。对任意a,b,c G， 有(a b) c = a (b c) 2) 单位元（或称恒等元） 。存在e G， 使得对任意a G， 有a e = e a = a 3) 逆元。对任意a G， 存在b G， 使得a b = b a = e。称b为a的逆元 称G关于运算构成一个群，或称(G,

26、)是一个群。有时简单地说G是一个群。如果进一步满足对 任意a,b G， 有ab = ba， 称G是一个交换群或abel群。 如果只满足1)， 称G是一个半群； 如果 只满足1)和2)， 称G是一个幺半群。 注：如果将2)和3)分别改为看似较弱的2)和3): 2) 存在左单位元。即存在e G， 使得对任意a G， 有e a = a 3) 左逆元。即对任意a G， 存在b G， 使得b a = e。 那么依然可（推）知G是一个群。推导过程留作练习。群运算最常见是记为加法或乘法。当 记乘法时常省略乘号，间记为ab，自然也有记号an，n为整数（可以为负） 。同样地当群运算记为 加法时， 有记号na。习

27、惯上， 如果记加法， 则表示群为交换群， 单位元记为0。 子群（subgroup） ： 群G的一个子群H是指对（G的）群运算和求逆运算封闭的子集H按继 承的G的运算构成的群。通常记H G 命题1.2.1. 设G是一个群， H是子集， 则H构成子群当且仅当对任意a,b H， 有ab1 H 1.3.同态基本定理11 陪集：对H G和任意g G， 称G的子集gH = gh|h H为一个左陪集（同样可定义右 陪集） 。 命题1.2.2. 设G是一个群，H G，则所有关于H的左陪集构成G的一个划分，且每个左陪集都 与H有相同的基数 以上两个命题的证明都很简单， 留作练习， 作为推论有以下所谓拉格朗日定理

28、 定理1.2.3. 设G是一个有限群， H是子群， 则|H|正处|G|。 变换群（transform group） ：对任意集合X， 可定义S(X) = X到自身的所有双射按映 射的合成形成群， 称为X的全变换群， 它的任意子群称为变换群。 我们将看到抽象群与变换群是一样的。首先应弄清什么叫“一样” 。 群同态：两个群之间的映射 : G G0称为同态，如果保持群运算，即对任意a,b G， 都有(ab) = (a)(b)。 群同构：一个群同态同时是双射时，称为群同构。当存在群G到群G0的同构时，称G同构 于G0。 注： 对群同态 : G G0， 一定有 1) (e) = e0, (a1) = (

29、a)1 2) 的完全像(G)是G0的子群 3) 若是单的， 则G同构于(G) 定理1.2.4. （Caley）任何群都同构于一个变换群。 证明：设G是一个群， 考察变换群S(G)。作映射 : G S(G)，(g)定义为G到自己的左平移映射：x 7 gx。首先由G是群知道(g)的确 在S(G)中， 即是映射。只要证明是单同态即可。 1) 验证是同态。即证明对a,b G， 有(ab) = (a) (b)， 即证明对任意x G有 (ab)(x) = (a) (b)(x) 而上式两端都是abx， 当然相等。 2) 验证是单的， 即由(a) = (b)导出a = b， 而这是显然的， 因为a = (a)

30、(e) = (b)(e) = b。 1.3同态基本定理 正规子群（normal subgroup） ：设G是群，H是子群，称H是G的正规子群，记为H / G， 若对任意a G，均有aH = Ha。当然也可等价地说成对任意a G，均有aHa1= H（甚 至aHa1 H） 。 商群（factor subgroup） ：对G的正规子群H，记G/H = aH|a G。则G/H按运 算(aH)(bH) = abH形成群， 称为G对H的商群， 单位元是H。 注：在验证G/H成为群时， 关键是运算的合理性， 由下列等式给出 xy|x aH,b bH = abH 12CHAPTER 1.代数结构 定理1.3.

31、1. （同态基本定理）设有群同态 : G G0，称Ker := x G|(x) = e0为的核。 则Ker / G， 且有如下交换图 G # G G G G G G G G G G / G/Ker G0 并且是单同态。特别地， 若是满的， 则是同构。 证明：先证Ker / G， 对任意a G,x Ker， 有 (axa1) = (a)(x)(a)1= (a)e0(a)1= e0 从而axa1 Ker，说明Ker / G。再证明由相同像给出的（G上的）等价关系与由陪集给出的 等价关系一致， 即 (x) = (a) xH = aH （细节略去。对比线性方程理论中通解和特解的关系。 ）最后机械地验证

32、的确是同态。 注：同态基本定理有以下常见的加细。 1) 若H / G， 则群同态 : G G0有类似分解图 G ! D D D D D D D D D / G/H G0 当且仅当H Ker， 进一步， 只有在H 1）. 当R为交换环 时， 可定义矩阵A Mn(R)的行列式detA， 且有如下基本结论： 16CHAPTER 1.代数结构 矩阵可逆当且仅当行列式可逆。 R上n阶可逆矩阵形成乘法群， 记为GL(n,R)。 注记 以后会定义一个概念叫代数，然后称Mn(R)为一个R-代数，因为它既是一个环，又是 一个R-线性空间（当R不是域时， 这种说法暂不严格） 。 2 现在给一个非交换的除环的例子，

33、称为Hamilton四元代数，它是实数域的4维线性空间，又是 一个除环， 但不交换 第一种（抽象）定义： 设有i,j,k三个符号， 满足 i2= j2= k2= 1 和 ij = k = ji,jk = i = kj,ki = j = ik, 记H为所有形如a1+ a2i + a2j + a3k, ai R的对象的集合， 在H上定义加法和乘法运算（乘法运 算由上两组关系决定）使之成为环。称H为Hamilton四元代数。可以验证H确实是除环。 第二种（具体）定义： 在矩阵代数M2(C)中取由形如 ab ba ! 的元素组成的R-子空间H，显然它作为R-空间是4维的，也容易验证它是子环（只需检查运

34、算封 闭） 。它的一组自然的基为 10 01 ! , i0 0i ! , 01 10 ! , 0i i0 ! 将第一个矩阵视为1， 其余3个分别视为第一种的i,j,k， 显然满足那几组基本关系。 注记 两种定义的等价性很容易证明，第一种初看起来不易接受，但容易得到唯一性；第二 种的存在性不需担心。实际上在H中与i,j,k具有同等地位的元素很多。H的任意包含R的二维子 空间一定构成一个子域且同构于复数域。对四元代数H上的元，可定义共轭元；利用共轭可定义 从H到R有两个重要映射分别称为迹映射和范映射， 细节见后边的练习。 3 多项式环和幂级数环 设R为交换环， 可按通常运算定义R上的多项式环RX和

35、形式幂级数环RX如下： RX = n X i=1 aiXi|n Z,ai R RX = X i=1 aiXi|ai R 1.7.典型例子17 注意X只是一个字母，与R无关。当然X也是RX和RX中的元素。定义另外两个环：A为R上 序列之集按卷积运算构成的环， B为A的子环， 由那些几乎所有项都为0的序列组成。显然有 A= RX,B = RX, X对应于序列0,1,0,0,.。一个多项式f自然给出R到R的一个多项式函数，但多项式环和多项式 函数环未必同构。多项式环据有如下范性： 设是从交换环R到任一交换环A的同态，则可自由地扩充到RX，只要任取a A， 让(X) = a即可。 这个结论也可简单推广

36、到多元多项式环。关于幂级数环有如下基本性质： P i=1aiX i RX可逆当且仅当a0可逆。 练习 一 证明H和M2(R)都满足如下性质： (1)是4维R-代数， 且中心为R,即与全体元都可换的元为R中元。 (2)每一个包含R的二维子空间一定构成一个交换子环且H的这种子空间同构于复数域， M2(R)的 这种子空间可能同构于复数域， 也可能同构于一种有零因子的环（想想看是什么） 。 (3) 存在一个到自身的共轭映射和两个到R的映射，分别称为迹映射和范映射。具体定义如 下： 对H = R + Ri + Rj + Rk, 定义共轭为 a + bi + cj + dk = a bi cj dk, 它

37、有基本性质 x + y = x + y,xy = yx x = x x R 定义迹映射T和范映射N为 T(x) = x + x,N(x) = xx, 有基本性质 T(x + y) = T(x) + T(y),N(xy) = N(x)N(y) 当H被看作M2(C)的子代数时， 共轭， 迹和范分别是矩阵的伴随， 迹和行列式；对M2(R)， 直接定 义共轭， 迹和范分别是矩阵的伴随， 迹和行列式；对A为H或M2(R)， 可统一定义共轭， 迹和范如 下： 若 R， 则 = ,T() = 2T(),N() = 2; 若 6 R， 记f(X) = X2 a1X + a2为在R上的极小多项式， T() =

38、a1,N() = a2, = a1 18CHAPTER 1.代数结构 (4) 利用H的范映射完成前面的关于4平方和的恒等式。 二 给出由 10 01 ! 和 01 10 ! 张成的R-线性空间作为域与复数域的同构并证明恒等式 cossin sincos !n = cosnsinn sinncosn ! 你能否用矩阵重新定义复数。 三 描述满足关系A2= 1的所有实2阶矩阵。 四若域F有一个子域为实数域R（或称F是R的扩域） ，且F作为R-空间是有限维的，则维数 只能是1 或2。 1.8基本定理 与群类似， 有同态基本定理如下： 定理1.8.1. 设有环同态 : A B，核为Ker，则对A的理想

39、I Ker和自然同态 : A A/I， 可按唯一方式作如下分解 A ! B B B B B B B B / A/I B 当I = Ker时， 是单的。特别地， 如果是满的， 则有同构 : A/Ker= B. 还有所谓第二同态基本定理 定理1.8.2. 第二同态基本定理 群版本：设有群的满同态 : G G0， 则 A 7 (A),B 7 1(B) 给出G的包含Ker的子加群和G0的子加群之间的一对（互逆的）一一对应， 并且正规子群对应正 规子群。进一步， 我们有 G/A= G0/B 1.8.基本定理19 环版本: 设有环的满同态 : R R0， 则 I 7 (I),J 7 1(J) 给出R的包含

40、Ker的理想和B的理想之间的一对（互逆的）一一对应。进一步， 我们有 A/I = B/J 证明：我们只证群版本， 环版本完全一样证。由于是满的， 故简单的集合论告诉我们 (1(B) = B 我们只需证 1(A) = A 进一步简化到证明 1(A) A (因反包含关系是平凡的) 任取x 1(A)，则(x) (A)，即有a A，使得(x) = (a)，故x aKer aA = A。 此外当B正规时， 对合成映射 G G0 G0/B 用同态基本定理可知A（正好是核）也正规， 且有同构关系；若已知A正规， 自然同态 G/Ker G/A 和同构G/Ker= G0给出同态 G0 G/A 其核正好是B， 最

41、后再用同态基本定理即可。 然后有两个基本同构定理： 定理1.8.3. 1 设G是群， H和K都是G的正规子群， 且K H， 则 G/K = (G/H)/(K/H) 2 设G是群， H / G， K 1，取素数p|m，则a m p的阶 是p， 它生成一个p阶子群， 必然是非平凡的（正规）子群， 与G是单群矛盾。 现在给出可解群的另一常见刻画。 交换子 群G的交换子是G的由所有a,b := aba1b1,a,b G生成的子群，记为G(1)。它由下列 性质刻画 1) G(1)/ G 2) G/G(1)是abel的 3) 任何满足H / G, G/Habel的H， 必有G(1) G 注: 3)可改为G

42、到任何abel群的同态可通过G/G(1)分解。因此有下列概念： abel化G/G(1)称为G的abel化， 记为Gab。它是G的最大abel商。 显然G是abel的当且仅当G(1)= 1， 归纳地定义G(n)= G(1)(n1)， 于是有下列命题 命题2.1.2. 群G可解当且仅当存在r满足G(r)= 1 证明：充分性。此时G有现成的次正规列 1 = G(r)/ G(r1)/ / G(1) / G(0) = G 每个商群都是abel的。再证必要性。设有次正规列 1 = Gr/ Gr1/ / G1/ G0= G 使得每个商群都是abel的。由G/G1abel知G(1) G1， G(2)= G(1

43、)(1) G(1) 1 G2， 最后一步用到 了G1/G2abel， 归纳可得G(r) 4。 注：I就是有限交换单群，由命题2.2.1刻画；II将作为本课的大定理之一在以后证明。整个有 限单群分类定理不可能证明， 作为常识， 记住证明过程中的一个关键定理是 奇数阶群可解。 本课程还有一个基本定理是Sylow定理，它主要是说有限群的素数幂阶子群的存在性及进一 步描述。Sylow定理证明的主要工具是群在集合上的作用。当然群在集合上的作用绝不仅仅起这 个作用， 而是非常重要的数学工具（不限于代数） 。 2.2群的直和 有一种自然的由两个群G1,G2构造新的群的方法：做笛卡尔乘积G1 G2，按分量定义

44、运算 得到一个群。这个群称为G1与G2的（外）直和，这里的外指的是从集合上，G1与G2不是G的子 集。但它们分别到G1 G2有单同态： g17 (g1,e2), g27 (e1,g2) 其像G01与G02则分别是它们的“影子” （只要你愿意，可以不区别） ，作为G1 G2的子 群， G01与G02满足以下三条性质： 1) G0i/ G1 G2,i = 1,2 2) G01G02= G1 G2 3) G01 G02=空集。 2)和3)一起给出G1 G2到G01 G02的双射， 1)保证这是同构。我们可以说G1 G2 综上有如下结论： 群G= G1 G2当且仅当存在G的分别同构于G1和G2的子群G

45、01和G02，满足以下三条性 质： 1) G0i/ G,i = 1,2 2) G01G02= G 3) G01 G02=空集。 我们可以说G是G01与G02的（内）直和， 这里的内指的是G01与G02是G的子集。记为 G01 G02 前面的结论实际是说内外直和本质相同， 以后看到 G = G1 G2 24CHAPTER 2.群论初步 可以指内外直和，就看G1与G2是否G的子群。最重要的是迅速翻译内外只和。一般地，两 个群构造新的群用外直和，将一个大群分解为子群的直和用内直和。例如：用外直和可得 群Z/2Z Z/2Z；对用乘法表给出的Klein群G = e,a,b,c，可以取子群G1= e,a,

46、G2= e,b，验 证有内外直和关系 G = G1 G2 = Z/2Z Z/2Z 直和可以由两个群推广到任意有限个群， 细节自己补充。 2.3有限生成abel群的结构定理 定理2.3.1. 对任何有限生成abel群M， 存在唯一的非负整数r， m， 和m个大于1的整数d1|d2|dm， 使得 M = Zr Z/d1Z Z/dmZ 注：若r = 0，则前面部分Zr消失，若m = 0，则后面部分消失。因为这里关心的是分类，所 以有外直和，意味着一个有限生成abel群对应一组数据(r,m,d1,.,dm)。用内直和的语言，就是 存在M中若干（可以是0）个无限阶元1,.,，和若干（可以是0）个阶数有整

47、除关系的有限阶 元1,.,m， 满足 M = Z1 Zr Z1 Zm 定理赏析：如何找出尽可能多（最好是全部）的有限生成abel群?首先想到由一个元生成的， 那就是无限循环群Z和有限循环群Z/nZ，然后想到把有限个循环群做直和。定理告诉我们这样 已经给出了全部， 并且有限群部分还有某种标准表示法使得唯一性成立。 例：Z/3Z Z/5Z= Z/15Z（用孙子定理） Z/45Z Z/75Z= Z/15Z Z/9 25Z（反复用孙子定理） 与循环群类似，我们有：n个元生成的abel群同构于Zn的商，于是研究有限生成abel群的分 类就是分类Zn的商。先对Zn做一些描述。 有限生成的自由abel群。同

48、构于某个Zn的群称为有限生成的自由abel群，n称为群的秩。基。 若群abelG中有元素e1,.,en满足 1) G = Ze1+ + Zen 2) a1e1+ + anen= 0 a1= = an= 0, 则称e1,.,en为G的一组基。 基也可等价地描述为G = Ze1 Zen且每个ei是无限阶。 显然一个群有这样一组基等价于这个同构于Zn。注意：一旦有基， 就会有大量的基， 给一组 基就是给一种同构于Zn的方式。 现在我们有定理证明的方案如下： 1. 证明有限生成abel群同构于有限生成自由abel群的商。 这一步的证明只需同态基本定理， 完全平行于研究循环群的方法。第一步把问题化为分类

49、有 限生成自由abel群的商。 2. 研究有限生成自由abel群的子群的结构， 有下列结论: 2.3.有限生成ABEL群的结构定理25 秩为n的自由abel群的子群一定是秩 n的自由abel群 应注意的是真子群的秩可以为n， 自己举例。这一步的证明需用到下列引理： （钟无倦） 设G是abel群， 若有H 1，且结论对秩 1和 n（只需将M的一组基分成两块即 可） ， 现设G是M的任意子群， 那么G H H， 由归纳假设知 G H是自由的。 此外， G/G H = G + H/H M/H， 再用归纳假设知 G/G H是自由的。 上述两段黑体结合引理知G自由且秩不超过n。 (2)证明若abel群M

50、有一组基e1,.,en， 则M有大量基， 且全部基是： (1,.,n) = (e1,.,en)A,A跑遍GL(n,Z) 首先由e1,.,en是基知任一组元1,.,n必可唯一表为上式，不过只能保证A Mn(Z)。需 要说明 1,.,n是基， 当且仅当A可逆 先证必要性： 由于1,.,n是基， 有矩阵B Mn(Z)使得 (e1,.,en) = (1,.,n)B 故 (e1,.,en) = (e1,.,en)AB 从而AB = In， 即A GL(n,Z)。 再证充分性： 取行向量X Zn， 使得(1,.,n) = 0， 即 (e1,.,en)AX = 0 而e1,.,en是基， 故AX = 0，

51、从而X = 0， 即1,.,n是基。 (3) 设M是秩为n的自由abel群，N M是秩为m的子群，则存在M的一组基e1,.,en， 和N的一组基d1e1,.,dmem， 且有d1|dm. 28CHAPTER 2.群论初步 首先任取M和N的各一组基e01,.,e0n和01,.,0m， 则有整数矩阵A满足 (01,.,0m) = (e01,.,e0n)A 由(2)知只要取矩阵P GL(n,Z),Q GL(m,Z)， 我们可得到M和N的另外各一组基e1,.,en和1,.,m满 足 (e1,.,en) = (e01,.,e0n)P (1,.,m) = (01,.,0m)Q 综合各式有 (1,.,m)

52、= (e1,.,en)P1AQ 我们需要的变成寻找适当可逆矩阵P、Q使得P1AQ成为对角形，且元素有整除关系。这归 结为如下引理： 引理2.4.2. 对任何n m整数矩阵A，存在可逆方阵P、Q使得PAQ成为成为对角形，且元素有 整除关系。 证明：先定义三类初等行（列）变换： (1) 将矩阵的某一行（或列）乘以一个Z的单位， 即1 (2) 将两行（或列）交换 (3) 将某一行（或列）乘以一个元素加到另一行（或列）上 与一般线性代数中一样，做一个初等行（列）变换等于左（右）乘相应的初等矩阵，因此只 需证任意矩阵可经过有限步初等变换化成标准形。在Z中引进偏序:若0 |a| |b|， 我们说a b，

53、再规定0是最大的； 对矩阵A,B， 也可按矩阵的元的最小者定义A B。现分几步完成证明： 第一步。证明若非零矩阵A的某一最小元不整除其它某个元， 则A等价于某一更小的矩阵: 首先， 通过行列交换将A中最小的元移到第一行第一列， 不妨设A = (aij)， a11是最小的。 第一种情形：若有某一ai16 0 (mod a11)，通过带余除法知可做初等行变换得到矩阵(bij)，满 足bi1 1,j 1。于是可 将A变为A0= (a0ij)， 其中a011= a11， a0i1= a01j= 0。由于做这些变换时， 所有元都保持moda11不 变，因此有a011- a0ij。将A0的第i行加到第一行

54、上得到一个新的矩阵(cij),满足c11= a011= a11， 但c011- c0ij， 这就划归第一种情形。 第二步。证明非零矩阵A等价于如下形状的矩阵 a10 0A1 ! , 2.5.唯一性部分29 这里a1 R,A1是n 1阶方阵， 且a1整除A1的所有元。 因为不能有无限长的矩阵列 C1 C2 , 故由第一步的结论知A可化为B = (bij)，它满足：B的最小元整除其它所有元，不妨设b11就是最 小元，它整除任何bij，于是可做（第3类）初等行列变换将B变成第一行和第一列上所有的元都 是0的矩阵， 同样地在变换中所有的元素都保持moda11不变， 故变成了我们需要的形状 通过前两步知

55、对n做归纳可得结论。 练习 1、 设有群的内直和M = M1 M2， 另有N1/ M1,N2/ M2， N = N1N2= N1 N2证明 M/(N1N2)= M1/N1 M2/N2 2、 设有abel群G、 子群H及自然映射 : G G/H。 若有同态 : G/H G满足 = G/H的 恒等映射， 证明 有内直和G = H (G/H)和外直和G= H G/H 3、 设有abel群G和子群H， 若G/H是有限生成的自由abel群， 则 G= H G/H 4、 设有abel群G和有限子集S， 先引进记号 Hom(G,G0) := G到G0的所有群同态 Mor(S,G0) := S到G0的所有映射

56、 从Hom(G,G0)到Mor(S,G0)有自然映射 7 |S。证明 S是G的基 对任意abel群G0， 上述自然映射是双射 如果将S从有限集推广到任意集，则可将基的定义从有限集推广到一般集，从而也有非有限生成 的自由abel群的概念。 5、 写出Z/2Z Z/6Z到复数域的乘法群C的所有同态。 6、 设G是秩为n的自由abel群， 证明： (1) G中n个元若能生成G， 则则是G的基 (2) G到自己的满同态必为同构。 2.5唯一性部分 我们需要证明对任意有限生成abel群M， 当它满足定理的形式 M = Zr Z/d1Z Z/dmZ (1), 30CHAPTER 2.群论初步 时， 各个量

57、r,d1,.,dm都是M的（同构）不变量。先有如下观察： M可写为两个子群的内直和M = M1 M2， M1 = Zr， M2是有限的。并且M2作为M的子群是唯 一的， 它正好是M的有限阶元之集合， 我们记它为Mtor。以下按步骤进行。 1、 将问题简化到有限群的情形。 前面的观察知(1)式意味着 Mtor = Z/d1Z Z/dmZ M/Mtor = Zr （显然，M的同构类决定Mtor和M/Mtor的同构类）两式中后一个意味着r的确是M的（同构）不 变量。前一个则意味着剩下只需证定理对有限群成立。 2、 将问题简化到有限p-群的情形。 若M有限， 设M的阶为n。再设 M = Z/d1Z Z

58、/dmZ (2), 由孙子定理，我们知道每个Z/diZ同构于若干个阶为素数幂（di的素数幂因子）的循环群的直和， 这样M也同构于阶为素数幂（所有di的所有素数幂因子）的循环群的直和，而且di,i = 1,.,m的 素数幂因子的全体（称为di,i = 1,.,m的初等因子）与di的全体可以互相决定，因此我们只需说 明M和(2)式能决定di的全体初等因子即可。设全体初等因子为 pa1,p,.,parp,p,p跑遍n的素因子 则有 M = p|n(Z/pa1,pZ Z/parp,pZ) 写成内直和有 M = p|nMp(3) Mp = Z/pa1,pZ Z/parp,pZ (4) 但上两式意味着： Mp= M的阶为p的幂的元形成的子群。 具体说， 任一x M可唯一表为P p xp,xp Mp， 而x的阶是所有xp的阶之积。 注意Mp是不依赖于分解方法的。 如果能证明Mp和(4)式能决定所有pai,p， 就能说明M和(2)式 能决定所有di。这样我们就将定理归结为了有限p-群的情形。 3、 对有限p-群M证明定理。 2.6.例子31 要证明由有限p-群M和同构 M = Z/pa1Z Z/pamZ,0 bn。现 在把每个量b