孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.2近自由电子近似.ppt

1、,第二节 近自由电子近似,本节主要内容：,一、 一维情形,二、 三维情形,周期势的选取是影响单电子薛定谔方程解的主要因素，考虑到自由电子费米气体模型的巨大成就，人们把晶体电子看成是在一个弱的周期性起伏的势场中运动，称为近自由电子近似，也称为弱周期场近似。,它的基本思想是假定周期势场的空间变化十分微弱，用势能的平均值V0 作为周期势V(r) 的零级近似，把V(r) 的周期性起伏部分V =V(r)-V0作为微扰来处理，这就是近自由电子近似的方法。,这样第一章得到的自由电子气体的结果就是零级近似解，而微扰近似解就是近自由电子近似的结果，可采用量子力学中标准的微扰论方法来处理。下面我们首先考虑最简单的

2、一维情形，然后推广到三维。,1. 一维非简并微扰,一、一维情形,设一维晶体的长度为L=Na, N为原胞数目，a为原胞的长度,一维周期势为V(x),将一维周期势V(x)作傅里叶展开：,对于上述一维晶格来说，其倒格矢为,所以,周期势场可写成,可以取V0=0。,其中,傅里叶展开系数：,V是周期性起伏的微扰势 。,由于势能是实数,可得关系式：,按照微扰理论,周期场中单电子的能量本征值和波函数可以写成：,取V0=0后，薛定谔方程可写成,式中： 是对应周期势为零时的波函数和能量本征值，称为零级近似解；上角标(1)，(2)，等是微扰修正的级数。,所以有：,且满足,零级近似解 是对应周期势为零时的波函数和能量

3、本征值.显然,对应的就是第一章自由电子费米气体的本征函数和能量本征值,只是这里是一维情形.,计入微扰后波函数的一级修正为:,计入微扰后能量本征值的一级和二级修正为：,波函数的一级修正为:,式中求和号上的一撇表示不包含k=k/一项。,利用零级近似波函数可得：,由于,能量的一级修正为零，所以必须取到二级修正,由傅氏展开系数不为零的条件，可知,上式对应的恰好和周期微扰势的傅氏展开系数一致,也就是说，只有 时，,才不为零。,从而，计入微扰后的能量二级修正和波函数的一级修正为,从而，能量的二级近似解和波函数的一级近似解分别为:,令,分析：对 ,当x改变a的任意整数倍时,其值不变，因而 ,这表明考虑了弱周

4、期场近似后,计算到一级修正,波函数已从平面波过渡到了布洛赫波。,则有,上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：,由于周期势是微扰，所以Vn很小，导致各散射波的振幅很小。从而一级近似的布洛赫波函数和自由电子的平面波相差无几。,然而,当,已足够大,这时散射波不能再忽略.,时,振幅,也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能再忽略。,此外，由非简并微扰的能量表达式可知，能量的一级修正为零；二级修正中的分子是微扰势的傅里叶展开系数的平方，也非常小；所以，在一般情况下近自由电子近似下的能量和自由电

5、子的能量相差不多，可近似由自由电子的能量描述。,(1).一般情况下 ,亦即: ,此时,由于 很小(弱周期势),导致 很小,所以, 与 相差不大。可认为： 亦即 时，,(2).当 时， 趋于无穷大,此时,简单的微扰展开不再适用，需用简并微扰的方法来处理。,按照布里渊区的取法，它们恰好位于布里渊区的边界处，或布拉格平面上。,下面我们采用简并微扰处理布里渊区的边界处的问题，此时，将导致出现能隙(禁带),并可由布拉格反射加以解释。,此时，两个状态的波矢分别为:,2. 一维简并微扰,按照微扰理论,在原来的零级近似波函数k态中,要掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数k/ 态.,两态之间的能量相差愈小,掺入

6、的部分愈大.,当位于布里渊区边界的地方k = -n/a，k/ = n/a， 两态之间零级近似的能量相等。,对于k = -n/a的状态，最主要的影响是掺入了和它能量相等的的k/ = n/a状态，其它的掺入状态都可以忽略。此时波函数可写成这两个简并态的线性组合,得到,将上式分别左乘,将波函数代入薛定谔方程,利用:,这是一个齐次线性方程组,要使A,B有非零解,必须满足：,则：,利用,由此求得,令自由电子在布里渊区边界的动能为,其中：,则有：,因而弱周期势使得电子在布里渊区边界出现两个能级,由于 代表自由电子在 状态的动能。,所以,弱周期势使得原本在布里渊区边界准连续的电子能量分开了.出现了两个能级,

7、两个能级之间出现了能隙，即原来准连续的抛物线变成了分段准连续，形成了能带。,是关于k的抛物线形式.(1)、(2)两式表明具有抛物线形式的自由电子的能级在 (n0,n为整数)处断开,此处为布里渊区边界,亦为布拉格平面。,弱周期势使得电子在布里渊区边界出现两个能级,如图所示,在弱周期势场作用下，电子的能级形成了能带，显然(1)式相当于能隙之上的能带底部，而(2)式则相当于能隙之下的能带顶部。( 对于同一k值),在能带底部附近 ，能量随波矢k的变化关系是偏离抛物线向上弯曲，并垂直于布里渊区界面；而在能带顶部附近 ，则是偏离抛物线向下弯曲，并垂直于布里渊区界面。从而在布里渊区边界出现电子不允许取值的能

8、量段，称为禁带。其禁带宽度，也就是能隙g,也就是说，禁带宽度等于周期势展开式中，波矢为k = 2n/a的傅里叶分量Vn的绝对值的2倍。,以上是布里渊区界面处的结果，事实上，当波矢接近布里渊区界面时，即,式中为小量,其波函数仍可写成,相应的能量为,当=0时：,(1)在k=n/a处(布里渊区边界上）,电子的能量出现能隙,在能隙范围内没有许可的电子态,称为禁带,禁带宽度为 ；,(2)在k=n/a附近,能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线,能带顶部是向下弯曲的抛物线；,(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。,小结：,(4) 在弱周期势的作用下，准连续的能级被能隙隔开，形成一

9、系列的能带(允带).,(5) 在布里渊区边界的地方， 曲线画成水平的,根据弱周期场近似的结果,在布里渊区边界上将出现禁带（或能隙）.下面我们讨论一下能隙出现的物理机制。,3. 能隙产生的物理机制-布拉格反射,我们知道当波矢k落在布拉格平面时,存在一个和它相差一个倒格矢的状态k/ = k+Gn,它们的能量相等.所以满足,显然，上式和布拉格反射条件等价.,我们知道在布里渊区界面上波函数取,A、B满足,其中能量满足,将能量代入A、B的方程得,假定Vn0，则有,因此在布里渊区边界(或布拉格平面)上，相当于沿一个方向行进的平面波，当行进到布拉格平面时，受到无衰减的反射即布拉格反射，然后，向相反方向传播。

10、,能隙的形成来源于这两个波的等量叠加相加或相减，构成两个不同的驻波：,式中波函数已归一化,相应于两种驻波的电子概率密度分别为,两种驻波描述了两种不同的电子状态，使得电子倾向于聚集在晶体中不同的空间区域，具有不同的势能。,比如,我们取n=1,则当x = 0，a，2a，（即离子实位置）时,由上述式子可知,(+)=0；而当x = a/2，3a/2，(即离子实中间位置)时,(+)最大,因而(+)倾向于将电子聚集在相邻离子实的中点处,使其势能高于行波的平均势能.,同理，(-)倾向于将电子聚集在离子实处，使其势能低于行波的平均势能。,也就是说由于布拉格反射产生的两个驻波使电子聚集在不同的区域内，从而使这两

11、个波具有不同的势能，这就是产生能隙的原因.,假如我们把一维原子链的势能函数取为,显然周期势的傅里叶系数,容易计算n=1时两种驻波态的平均势能差为,这正好就是能隙的宽度g .,布拉格反射是晶体中波传播的特征性质，由上面的讨论可知，在电子波矢接近布拉格反射的区域时，弱周期势有明显的作用，导致能隙出现(形成禁带)，因而，准连续的能级分裂成能带，这是晶体中电子结构重要的基本性质，是理解金属、半导体等很多特性的基础。,需要指出的是，当电子的波矢落在布里渊区界面，满足布拉格条件时，是否一定产生能隙还取决于相应的周期势的傅里叶分量是否为零。,比如对于复式晶格，基元中原子数目P 1，周期势可看成P套子格子相应

12、的周期势之和.即：,其中 是基元中第j个原子在一个原胞中的位置矢量.,对子格子的周期势作傅里叶展开：,其中：,若基元由同种原子组成，则j个 均相同，取为 ，则：,第二章中我们曾引入了几何结构因子的概念,对同种原子：,所以对同种原子来说：,这表明，对于复式晶格的某一倒格矢 ，如果几何结构因子为零，则周期势相应的傅里叶分量亦为零，因而，在该布拉格平面处，没有周期势微扰产生的能量间断。,当然，此处的X射线衍射峰会消失，可以此互相检验。,(a)扩展区图:在不同的布里渊区画出不同的能带。,4. 一维近自由电子近似下能带的三种图示法,(b)简约区图:将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简

13、约布里渊区内画出所有的能带）,(c)周期区图:在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Gh的波矢来描述)。,二、三维情况,三维晶体的讨论和一维晶体类似，将三维周期势V(r)作傅里叶展开：,其中Vn是周期势傅里叶展开的第n级系数，n的取值对应三个整数n1、n2、n3。V0是势能的平均值，可以取为零；V是周期性起伏的微扰势,求和号上的一撇表示包含除零以外的所有整数.,按照微扰理论可得,由此可得能量的二级近似解和波函数的一级近似解。,波函数的一级近似解为,能量的二级近似解为,式中，V为晶体体积。波矢,需要用简并微扰。此时应满足布拉格条件，即,如果,上式是k空间中布里渊区边界方程（对应-Gn的垂直平分面）。,对于简并态，亦即在布里渊区边界处其波函数取为,考虑齐次线性方程组有非零解的条件，关于A、B的系数行列式必须为零。,将上式代入薛定谔方程,再分别左乘,然