一阶系统的数学模型.ppt

1、1，3.2.1一阶系统的数学模型，单位脉冲信号和单位阶跃信号的一阶导数，单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。单位脉冲响应和单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.5具有单位加速度响应的线性系统的特性一阶系统，a，3，开环传递函数为：闭环传递函数为：二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它广泛应用于控制工程。在一定条件下，许多高阶系统可以简化为二阶系统。3.3.1典型二阶系统的数学模型a，4，称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡循环频率或固有频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。t被称为二阶系统的时间常数。注：当

2、它们不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。当特征方程有一对共轭虚根时，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应是连续的等幅振荡。当特征方程有一对负实部的共轭复根时，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应是一个衰减振荡过程。当特征方程有一对相等的实根时，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应是一个无振荡过程。当特征方程有一对不相等的实根时，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应是一个无振荡过程。a、6、阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：a、7、3.3.3典型二阶系统的性能指标(阻尼振荡瞬态过程)、最大超调量、2、调节时间：a、8、一个例子是位置伺服

3、系统，其框图如图所示。其中K=4，T=1。试着找出：(1)系统的无阻尼振荡频率Wn；(2)系统的阻尼系数z；(3)系统超调量d%和调节时间ts；(4)如果需要z0.707，如何在不改变时间常数t的情况下改变系统的开环放大系数k。解决方法：系统的闭环传递函数为：a，9，(4)当WN=1/2Z=z0.707时，Kwn2=0.5。可以看出，为了满足二阶工程的最佳参数要求(在本例中，为了增加阻尼系数)，开环放大系数k的值必须减小。3.4.1典型三阶系统的瞬态响应，三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项、共轭复极点构成的振荡分量和实极点构成的衰减指数分量。a，11，如果在闭环系统中有一对共轭极点或最

4、接近虚轴的实极点；极点附近没有零点；其他磁极和虚轴之间的距离是离虚轴最近的磁极之间距离的5倍以上。主导极点：满足以下条件的极点称为主导极点。在y(t)中，主导极点对应项衰减最慢，系数最大，系统的暂态性能指标主要由其决定。具有主导极点的高阶系统可以近似为二阶或一阶系统。3.4.3闭环主导极点，a，12，3.5.2线性控制系统的稳定性-线性系统稳定性的充要条件：系统特征方程的根(即传递函数的极点)都是负实数或具有负实数部分的共轭复数根。换句话说，特征方程的根应该都位于S平面的左半部分。a，13，(1) Hurwitz准则，构造Hurwitz行列式：主对角线上的每一项都是特征方程最后一项系数的第二项

5、系数，并且每一项系数的指数在主对角线以下的每一行中依次增加，在主对角线以上的每一行中依次减少。当.的时候赫尔维茨行列式：3.5.3代数稳定性判据-赫尔维茨稳定性判据，a，14，以四阶系统为例，赫尔维茨判据：稳定性的充要条件是：a，15，线性系统的特征方程为：线性系统稳定的充要条件是：1)方程的所有系数都是正的；2)奇数或偶数阶的所有赫尔维茨行列式都是正的，即奇数0或偶数0。根据Leonard-Chipat准则，如果系统特征方程的系数为负或零(缺失项)，则系统是不稳定的。对于n4线性系统，其稳定性的充要条件也可表示如下：当： n=2时，特征方程的系数严格为正；当n=3时，当2 0 n=4时，特征

6、方程的系数是严格正的，而2 0和2an-1 2an-4/an-3，3.5.3代数稳定性判据赫维茨稳定性判据的另一种形式，伦纳德-查帕特判据，a，16，例2，让线性系统的开环传递函数为：试着判断当系统稳定时k和t应该满足的条件。根据Leonard-Chipat准则K0，T0和，a，17，(2)，routh准则将线性系统的特征方程设置为：Rouse阵列的前两行元素由特征方程的系数组成，第一行由特征方程的第一、第三和第五项系数组成，第二行由特征方程的第二、第四和第六项系数组成。如果特征方程中有缺失项，系数为零。劳斯矩阵如下：3.5.3代数稳定性准则-劳斯稳定性准则，a，18。下列术语的计算公式有：a

7、、19等。可以得到一个，20，routh准则：系统特征方程的实部为正的根的个数等于Rouse数组第一列元素中符号变化的个数。根据这一判据，可以得出线性系统稳定的充要条件是由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号变化。如果劳斯阵列第一列元素的符号改变，改变的次数等于特征方程在S的右半平面的根数，这表明相应的线性系统是不稳定的。老四数组中第一项的系数为零，而其他系数不全为零。因此，无法计算老四数组的下一列。处理方法：用一个小正数替换零项，然后计算Rouse数组中的其他项。如果第一个零(也就是说，它的上项或下项的符号是相反的，它被认为是符号变化。3.5.3代数稳定性准则劳斯稳定性准则的一

8、个特例，以及2。劳斯矩阵的一行系数都为零的情况。它表明特征方程有大小相等、位置完全相反的根。至少出现下列情况之一，如一对大小相等、符号相反的实根，或一对共轭虚根，或两对对称于虚轴的共轭复根。处理方法：最后一行不为零的系数可以形成一个辅助方程，由这个辅助方程求S得到的方程的系数可以代替全部为零的行。通过求解辅助方程，可以得到大小相等、位置完全相反的根。辅助方程应该是偶数。让线性系统的特征方程为：a，22试着判断系统的稳定性。如果routh表的一行的第一列的系数为零，则Routh表不能计算，因此可以用无穷小的正数代替0来计算，然后Routh准则的结论保持不变。系统是不稳定的，因为劳斯表第一列的系数是负的。系统的特征方程是：系统稳定吗？解决方案：劳斯矩阵如下。劳斯矩阵第一列的系数都是正的，所以系统是稳定的。控制系统的稳态误差：定义：当时间趋于无穷大时，误差信号的数值被定义为系统的稳态误差。也就是说，误差信号包括两部分：瞬态分量和稳态分量。因为系统必须是稳定的，当时间趋于无穷大时，瞬态分量将趋于零。因此，控制系统的稳态误差被定义为误差信号的稳态分量。对于稳定系统，稳态误差可以方便地用拉普拉斯变换的终