数值分析课后习题

1、6.1方程式5x12x3=-12-x1x2x3=202 x1-3x2x3=3(a )利用雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法，考察求解该方程式的收敛性(b )如果用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该方程式，则要求迭代在xk 1-xk10-4时结束。解： (a )系数矩阵在行的严格对角上占优势，因此雅可比法和高斯塞德尔法收敛。(b )雅可比法的迭代格式为：x1(k1)=-25x2k-15x3k-125 x2(k1)=14x1k-12 x3k5x3(k1)=-15x1k 310 x2k 310取x (0)=(1，1，1 ) t，重复18次要求精度x (18 )=(-3.99999964，2.999

2、99739，1.999999 ) t高斯-塞德尔的迭代形式是x1(k1)=-25x2k-15x3k-125 x2(k1)=14x1k1- 12 x3k5x3(k1)=-15x1k 1310 x2k 1310取x (0)=(1，1，1 ) t，代替8次要求精度。x (8)=(-4.000036，2.9999，2.000003 ) t建立两个方程式(a ) x 10.4 x 20.4 x3=10.4 x1 x 20.8 x3=20.4 x 10.8 x2 x3=3(b ) x12x2- 2x3=1x1 x2 x3=12 x1 x2 x3=1试着考察解决这个方程式的雅科比迭代法和高斯赛德尔迭代法的收

3、敛性。解(a )雅可比法的迭代矩阵bj=d-1 llu=0- 0.4-0.4-0.40-0.8-0.4-0.80I-BJ=(-0.8)(2 0.8-0.32 )由于(BJ)=1.09282031，所以雅可比迭代法不收敛。高斯塞德尔迭代矩阵Bs=(D-L)-1U=0-2202-3002I-Bs=(-2)2，(Bs)=21高斯-赛德尔迭代法不收敛。limkAk=A的命中条件证明对于任何向量x都是limkAkx=Ax。证明所需的条件是limkAk=A，limkxijk=aijAk-A0(k) .对于任意的xAK-ax0 (k)即AkxAx，limkAkx=Ax充分的条件对于任意的xRn设定为AkxA

4、x(k)xi=(0，0，1，0，0 ) t (I=1，2，n )Akxi=(x1ik，x2ik，xnik)TAxi (k)Axi=(a1i、a2i、ani)TPSPS (j=1，2，n； I=1、2、n )即AkA，limkAk=A假设Ax=b，其中a是对称正定的，试试问该方程式的雅可比迭代法是否必定收敛的练习问题2(a )方程式。解并不一定是一定的. 这是因为光谱半径(BJ )不一定小于1关于练习题2(a )、a对称，另外因为1=11，2=0.840，3=a=0.2960，所以a是正常的，但是雅可比迭代法没有收敛。用SOR法解方程式(分别取缓和因子=1.03、=1、=1.1 )。4x1-x2

5、=1，-x1 4x2-x3=4-x2 4x3=-3。为了准确地解x *=12，1，-12T .需要在x*-x(k)510-6处结束迭代，并针对每个值确定迭代次数。解决SOR方法的迭代形式如下x1(k1)=x1k(14-x1k 14 x2k ) x2k1=x2k(114 x1k1- x2k 14 x3k ) x3(k1)=x3k(-3414 x2k1- x3k )如果=1.03并且初始值x (0)=(0，0，0 ) t，则重复5次要求高精度X5=(0.5000035，0.9999989，-0.5000003)T用SOR法解方程式(=0.9 )5 x 12 x2x3=-12-x1x2x3=202 x1-3x2x3=3在xk 1-xk10-4处要求反复结束。SOR迭代的形式如下x1 (k1 )=x1k(-125-x1k-25x2k-15x3k ) x2 k1=x2k(514 x 1k1-x2k-12x3k ) x3 (k1 )=x3k(310-15x1k 1310 x2