数值分析题库及答案

1、模型模拟试卷(一)首先，填空(每个小问题3分，共30分)1.三个不同节点的高斯求积公式的代数精度为次等。2.如果为，则为。=_ _ _ _ _。3.如果y=f(x)的平均差(差商)是已知的，则平均差=。4.众所周知，牛顿-柯特斯求积公式的系数是：然后=。5.求解初值问题的改进欧拉方法是序方法。6.求解线性代数方程的高斯-塞德尔迭代公式，如果采用，那么。7.求方程根的牛顿迭代公式是。8.它是以整数点为节点的拉格朗日插值基函数=。9.求解方程的简单迭代格式收敛的充要条件是。10.设，则三次牛顿插值多项式为，其误差估计公式为。第二，综合题(每题10分，共60分)1.找到一个不超过4次的多项式来满足：

2、嘿。2.构造代数精度最高的求积公式，并找出它的代数精度。3.用牛顿法求方程在区间内的根需要。4.使用最小二乘法找到经验公式，以拟合以下数据：1925303819.032.349.073.35.通过矩阵的直接三角分解求解方程。6尝试用数值积分法建立以下数值解公式来求解初值问题,其中。三。证明问题(10分)让我们假设函数的导数对于任何一个都存在，并且迭代格式收敛到任何一个的根。参考答案一、填空1.5；2.8，9；3.4.5.二；6.(0.02，0.22，0.1543)7.8.9.10.第二，综合问题1.差商表：11122151515575720204272152230781其他方法：建立点菜，找出

3、a和b .2.取，以便公式建立准确，并得到：、当，公式是关于；公式为左，公式为右公式的代数精度。3.方程在区间中只有一个根，并且它在区间(2，4)中。建立然后，牛顿迭代公式是,拿着，拿着。4.解方程，其中，解决方案如下：所以。5.解决办法总和可以通过矩阵乘法得到解下三角方程是的。重新求解上三角方程原始方程的解是。6求解初值问题相当于下面的形式，拿着，拿着，它可以用辛普森求积公式得到。第三，证明问题证据会写好的，因为，所以因此，迭代格式收敛到。模型模拟试卷(2)首先，填空(每个小问题3分，共30分)1.如果2.718281和2.718282被用作数字的近似值，它们的有效数字分别有位和位；2.如果

4、，则=_ _ _ _ _ _ _，=。3.对于方程，雅可比迭代法的迭代矩阵为=_ _ _ _ _ _ _。4.如果设置，差商为=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。5.如果已知，条件数为_ _ _ _ _ _ _ _。6.为了使两点的数值求积公式具有最高的代数精度，求积基点应该是=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。7.求解初值问题近似解的梯形公式是8.弦截法求方程根的迭代公式为9.计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算的近似值为，用辛普森公式计算的结果为10.任何非奇

5、异矩阵的条件数=，必须大于或等于第二，综合题(每题10分，共60分)1.证明了方程在区间内只有一个根。如果误差没有超过二分法的近似解，需要多少次迭代？2常微分方程的已知初值问题：尝试用改进的欧拉法计算近似值和步长。3.用矩阵分解求解方程。使用最小二乘法找到一个正式的经验公式，并使其符合以下数据。x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685.让我们建立方程，并尝试研究求解这些方程的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性。6.根据幂法求矩阵最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步得到证明了对于任何事物，序列都是单调递减的，因此迭代过程收敛。参考答案一、填

6、空1.6，7；2.9；3 .4.1，0；5.9；6.7.8.9.0.4268，0.4309；10.1二。综合问题1解决方案，然后，和因此，间隔中只有一个根。用二分法寻找误差不超过的近似解，然后解这个不等式是可以得到的所以迭代14次就足够了。2.解决方案：3解决方案它可以通过矩阵乘法得到，解方程，重新求解方程。4、很容易得到正规方程，解决方案。因此，经验公式是。5种解决方案(1)由于,因此，它是有根的，所以雅可比迭代法是不收敛的。(2)因为因此，采用高斯-赛德尔迭代法进行收敛。6理解，因为，因此，还有。从而获得，第三，证明问题证明：是由于所以对于所有的事，再一次因此，序列是单调递减的并且有一个下

7、界，所以迭代过程收敛。模型模拟试卷(3)首先，填空(每个小问题3分，共30分)1.如果是真值的近似值，则有有效数字，相对误差限于；2.如果用二分法计算区间1，2中方程的根，并且要求精确到小数点后第三位，则有必要分成几个时代。3.n节点高斯求积公式的代数精度是第二个。4.假设如果迭代格式局部收敛到，则的值范围为5.让线性方程有唯一的解。在不考虑系数矩阵扰动的情况下，如果方程右端项的扰动是相对误差，则可以保证解的相对误差。6.给定一个线性方程组，求解该线性方程组的雅可比迭代公式为，高斯-塞德尔迭代公式为7.插值求积公式的求积系数之和为8.数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差为9.给定函数

8、，用这个函数表作为牛顿插值多项式，那么插值多项式的系数为10.假设，为了使它可分解为具有正对角元素的下三角矩阵，的值范围为。第二，综合题(每题10分，共60分)1.牛顿法用于在区间内寻找方程的根。2.有一个方程组，在这个方程组中，我们知道它有一个解。如果在右端有一个小扰动，试着估计由它引起的解的相对误差。3.尝试用辛普森公式计算积分的近似值并估计截断误差。4.让函数在区间0，3中有四阶连续导数，尝试埃尔米特插值，找到一个不大于3的多项式，满足它，并写出误差估计公式。5.给出了用经典雅可比方法得到的特征值的第一次迭代运算。6.用梯形法求解初值问题，证明了它的近似解是，并收敛于当时原初值问题的精确

9、解。三。证明问题(10分)如果有不同的真正根，证明它。参考答案一、填空1.3，2.10；3.4.5.6.7.8.9.-2.4；10 .二。综合问题1.这个方程在区间中只有一个根，它在区间(2，4)中。建立然后，牛顿迭代公式是,拿着，拿着。2.根据公式，该解决方案具有3.截断误差为4.多项式可以在给定条件下通过插值来确定，(问题的含义可以设置为确定待定函数作为辅助函数：然后在上表面有一个四阶导数，在上表面至少有五个零点(双零点)，并重复应用罗尔定理直到至少有一个零点，从而得到。因此，误差估计公式为。5.首先，因为，所以有，然后，6.梯形公式是，从，到，因此，它是用上述梯形公式的步长计算得到的，所

10、以有，所以。第三，证明问题它证明了有一个不同的真实根，所以记住，那么，从差商和导数的关系。模型模拟试卷(4)首先，填空(每个小问题3分，共30分)1.为了减少运算次数，公式应该重写为，以减少影响当迭代过程线性收敛时，则迭代过程是平方收敛的。4.如果是，有5.当用列主成分消去法求解线性方程组时，主成分取在k-第一消去步骤中增广矩阵的第K列，因此。6.如果函数已知，则二次牛顿插值多项式=，=，7.要解这个方程，如果它可以表达，用简单的迭代方法找到根，然后满足，近似的根序列必须收敛。8.点插值数值积分公式的代数精度至少为次，且最高不超过次。9.写出初值问题的上层欧拉计算格式10.求解初值问题的梯形方

11、法是阶方法第二，综合题(每题10分，共60分)1.证明方程在区间1，2中有唯一的根x*，并使用牛顿迭代法求出x*(精确到小数点后3位)。2.用列主成分消去法求解线性方程：3.给定数据x=0，1，2，3和相应的函数值y=1，3，2，4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。4.设置一个矩阵，用“归一化”的方法，根据模数求出其最大特征值和相应的特征向量(注：迭代4次)5.用改进的欧拉法求解初值问题。6.给定数据，找到一个最小二乘拟合多项式。三。证明问题(10分)假设线性方程组为，(1)证明了雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法可以同时收敛或发散；(2)当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案一、填空1.2.6，6；3.4.5.6.2，1；7.8.9.10.2。二。综合问题1.根据牛顿迭代公式，取x0=1.2，然后获取或者拿着它。2.因此。3.或者4.拿着，用力量的方法得到，,5.改进的欧拉方法,取并计算得到：计算后：，计算公式为：计算公式为：，计算公式为：计算后：6.设所得到的