第2章1-4-离散时间信号和离散时间系统.ppt

1、第二章 离散时间信号和离散时间系统,The Analysis of the Discrete Time Signal & System,本章习题（第3版课本P87）,2.1, 2.3(2), 2.4, 2.5, 2.7(1)(3)(4) 2.13, 2.14(9)(10), 2.15, 2.19, 2.21(3)(5) 2.23(4), 2.29(2), 2.31, 2.33, 2.35 选做：2.41,内容提要,离散时间信号和离散时间系统的基本概念 序列的表示法和基本类型 用卷积和表示的线性非移变系统 讨论系统的稳定性和因果性问题 线性常系数差分方程 离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应

2、 模拟信号的离散化 讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字序列)的频谱之间的关系 介绍了离散时间信号的取样、抽取和内插等基本概念 讨论Z变换的定义和收敛域、逆 Z变换和Z变换的定理和性质。,2.1 概述,本课程研究的对象是离散信号的分析和处理。 信号：定义为一个载有信息的函数，一般表示为一个或多个自变量的函数。 信号通常分为两大类；连续时间信号和离散时间信号。 如果信号在 整个连续时间集合上都是有定义的，那么这种信号被称为连续时间信号。 定义在离散时间点上的信号称为离散时间信号。,系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的形式。 输入和输出都是连续时间信号的系统被称为连续时间系统； 输入和

3、输出都是离散时间信号 的系统被称为离散时间系统； 输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统； 输入和输出 都是数字信号的系统被称为数字系统。,2. 2离散时间信号数字序列,在离散时间系统中，信号要用 离散时间的数字序列来表示。,（2）图形表示：,（1）数学表示 如果一个序列x的第n个数字表示为，则全部信号序列表示为： （其中n为整数，对于n的非整数点，没有定义。） 注意： 有的书上也表示为Xn，注意n的取值范围。 取样信号和数字信号的区别。,1.离散时间信号的表示,（1）反转： （2）移位：,其中n，为整数（int）。,2.自变量n的变换,说明： 是一个确定的物理量，而 是一种 数学抽象 ,

4、(1)单位取样序列(离散冲激) （Unit-sampling sequence）,3.常见序列,(2)单位阶跃序列 （Unit-step sequence）,说明：,和,和,（3）矩形序列（Rectangle sequence）,在（0,N-1）区间的N个值为1，其它整数点为0；,(4)实指数序列（Real exponential sequence）,当n0，x(n)0时，上式可表示为,图2. 5表示0a1时，anu(n)的图形,(5)复指数序列（Complex exponential sequence）,这里为数字域频率，单位为弧度。当a0时，上式可表示成,式(211)还可写成,(6)正弦型

5、序列（sine sequence）,式中，A为幅度，为数字域频率，为初相， 的单位为弧度。,比较：,其中,是模拟域频率，单位rad/s；,，T为采样周期。,这一特点与模拟正弦信号 截然不同， 越大， 变化越快，其原因是t连续取值，而n只取int。,当 时， 变化最慢(不变化)；当 时， 变化最快。故在DSP中，在主值区间上，将 附近称为数字低频；而将 附近称为数字高频。,在数字域考虑问题时，取数字频率的主值区间： or ， 用于离散时间信号和系统的FT； 用于DFT。,即：正弦序列和复指数序列对 变化以为 周期。,几点说明：,思考：右图所示波形表示什么类型的滤波器？,现在讨论正弦序列的周期性。

6、设,根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期为,（其中N，k为整数）,(1)当 为整数时，正弦序列为周期序列，且最小周期,(2)当 为有理数时，正弦序列为周期序列，且周期大于 , 如,(3)当 为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时正弦序列不是周期序列。,如果对所有n存在一个最小整数N，满足,则称x(n)为周期序列，记为,，最小周期为N。,4.周期序列（Periodic sequence）,5.序列的能量(Energy of sequence ),6.序列的运算,序列的和 序列的积 与数a相乘 序列平移,对于两个序列x(n)和y(n)，有,7.序列的加权表示,由于任意序列

7、皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和，因此，讨论系统的特性时只需讨论系统在单位取样序列作用下的响应即可。,2.3 离散时间系统（Discrete time system）,1.线性非移变系统（Linear shift-invariant systems） 系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即y(n)=Tx(n)。,满足叠加原理的系统称为线性系统。设y1(n)和y2(n)分别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即,若满足,则此系统是线性系统。,例2.1y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。,计算Tax1(n)+bx

8、2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3， 而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b),(1)线性系统（Linear System）,若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变系统。即如果输入x(n)产生的输出为y(n)，则输入x(n-k)产生的输出为y(n-k)(k为任意整数)。用数学式表示为：若Tx(n)=y(n)，则Tx(n-k)=y(n-k)。,在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。,例2.2证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。,计算Tx(n-k)=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k

9、)。,(2)非移变系统（Shift-invariant System）,一个既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系。,单位取样响应或单位冲激响应：,设x(n)是线性非移变系统的输入，y(n)是对应的输出。 当输入为(n)时，则输出,(3)线性非移变系统,即：对线性非移变系统，输入 和输出 满足卷积关系。,通常把下式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：,离散卷积满足以下运算规律： (1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,离散卷积的计算,计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标

10、轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。,图2.13为：,与,的线性卷积。,计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。,例23已知x(n)和h(n)分别为：,和,试求x(n)和h(n)的线性卷积。,解参看图2. 15，分段考虑如下：,(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10时：,综合以上结果，y(n)可归纳如下：,卷积结

11、果y(n)如图2. 16所示,稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统。,一个线性非移变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应h(n)绝对可和，即,2.系统的稳定性和因果性(Stability & Causality of System),(1)稳定系统(Stable System ),例如,，设,，则有,，所以系统稳定。,充要条件的证明,a.充分性,设,成立，并设x(n)为一个有界输入序列，即,，则,b.必要性,假设系统的单位取样响应不绝对可和，即：,定义一个有界的输入,式中 是h(n)

12、的复共轭,，所以y(0)不是有界的。,因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。即：系统的输出值不取决于输入的将来值，只与的现在值及过去值等有关，与将来值无关。,一个线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是,(2)因果系统(Causal System ),例,是因果系统；,是非因果系统。,结论：系统的“稳定性”和“因果性”与系统的输入x(n)无关，而取决于系统本身的结构 h(n)。,例2. 5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为,讨论其因果性和稳定性。,解(1)因果性,(2)稳定性,因为在n0时，h(n)0，故该系统为非因果系统,3.线性常系数差分方程(Linear Constant-

13、coefficient Difference Equations ),(1)函数序列的差分描述,一个函数序列的一阶向后差分表示为：,二阶向后差分表示为：,引入单位延迟算子D，即Dy(n)=y(n-1)。,二阶向后差分可表示为：,类似地，k阶差分表示为：,线性常系数差分方程的一般形式为：,将上面方程稍加变换后得：,该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。,(2)线性常系数差分方程,线性非移变离散系统，输入和输出满足上述方程； 上述方程描述的系统不一定是因果的，假定（

14、除非另作说明）在一般情况下，上述方程描述一个因果系统。,FIR：Finite Impulse Response(有限冲激响应)； IIR：Infinite Impulse Response(无限冲激响应)；,(3)FIR系统和IIR系统,数字系统的表示方法：差分方程、框图或流图、系统函数H(Z),2.4离散时间信号和系统的频域描述,1.离散时间信号的傅里叶变换,而f(j)的傅里叶反变换定义为：,连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：,类似地，可以把离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为,X(ej)的傅里叶反变换定义为,在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。 X(ej)

15、一般为复数，可用它的实部和虚部表示为,或用幅度和相位表示为,例2.9求下列信号的傅里叶变换,解,离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：,(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。,(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值| X(ej) |在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。,值得注意的是，式(2. 34a)中右边的级数并不总是收敛的，或者说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。,只有当 序列x(n)绝对可和，即,时，式(2. 34a)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。,(1) 序列的傅里叶变换的线性,设,则,(2) 序列的移位,设,则,

16、(3) 序列的调制,设,则,2.离散时间信号的傅里叶变换的性质,(4) 序列的折叠,设,则,(5) 序列乘以n,设,则,(6) 序列的复共轭,设,则,(7) 序列的卷积,设,则,(8) 序列相乘,设,则,(9) 序列的傅里叶变换的对称性,首先定义两个对称序列： 共轭对称序列xe(n)，定义为xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列xo(n)定义为xo(n)=-xo*(-n)，此处上标*表示复共轭。,其中,共轭对称实序列称为偶序列，而共轭反对称实序列称为奇序列。,序列的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即,其中,设复序列x(n)的傅里叶变换为X(ej)，x(n)的实部Rex(n)和虚部jImx(n)的傅里叶变换分别为,序列x(n)的共轭对称分量xe(n)和共轭反对称分量xo(n)的傅里叶变换为,若x(n)为实序列，则这些