自主招生华约数学试题解析

1、自主募集华约问题解析一、选择问题(1)多个z满足|z|1，并且|z|=()解：被转换为实数方程式。 解|z|=2(舍去)。(2)在正四角锥P-ABCD中，m、n分别为PA、PB的中点，侧面和底面形成的二面角的正切为。 异面直线DM和AN所成的角的馀弦为()分析本问题有很多条件，可以使用“解法”，假设问题的一些要素是已知的，则利用这些条件来确定其馀的要素。 在本问题中，假设底面的边的长度是已知的(也可以设定为2 )，则可以利用侧面和底面形成的二面角来确定正四角锥这样的其他要素。 然后使用两种方法：创建坐标系，以及平移一条线和另一条线。解法1 :如图所示，当底面的边的长度为2时，侧面和底面所成的二

2、面角的正切提高了。 如图所示建立坐标系zo.onm德. dc.c乙级联赛甲组联赛pyxA(1，- 1，0 )，b (1，1，0 )，c (-1，1，0 )，D(-1，- 1，0 )，p (0，0 )， 设成角为。解法2 :如图所示，当底面的边的长度为2时，侧面和底面所成的二面角的正切提高了。 直线移动DM和AN一起。 即，m移动到n并且d移动到CD的中点q。 QN=DM=AN。 由于PA=PB=AB=2，所以容易计算QN=AN=、AQ=、等腰三角形AQN的顶角。解法3 :也可以平行移动an和DM。 即，a移动到m，n移动到PN的中点q。 以下简称。nm德. dc.c乙级联赛甲组联赛pq.q(3

3、)过点(-1，1 )的直线l与曲线相接，(-1，1 )不是切线时，直线l的斜率为()这个问题错了，原题不见了，再找一遍吧。(4)的最小值和最大值分别为()分析首先，尽量将简单的结论公式化，沿着两个方向，降级：删除三角函数的平方；去角：原本包含两个角，除去一个。解：答案是b分析主题的条件由三个圆给出，有点头晕。 若进行变换，则能够除去三个圆，已知O1 O2的边o1o2上的点c、O O1、o2的延长线上的点a、b为O1A=O1C、O2B=O2C .解法1 :连接，c在上的话，是吗？解法2 :要选择填补空白栏的问题，可以使用追加条件或取特殊值的特例法，在本问题中，如果假设两个小圆的半径相等，是吗？(

4、6)已知异面直线a、b形成60角。 a是空间的一点，a和a、b都成45度的平面()a只有一个b，两个c，三个d，四个分析知道平面超过a，知道其方向，就能确定该平面。 因为涉及平面的方向，所以也可以考虑其法线，将a、b假定为交叉直线。 因此，得知2条交叉直线a、b为60角，简化了求出空间中的交叉点和a、b都为45角的直线。 答案是四个。(7)已知向量的最小值为()解：由得因此，使用换元法的思想，能考虑x、y z、y - z三个变量、变形、代入答案b(8)AB是通过抛物线y2=4x焦点f的弦，o是坐标原点，c是抛物线十字准线和x轴的交点的正切值是()解法1 :与焦点f (1，0 )、c (-1，0

5、，0 )、AB方程式y=x - 1、抛物线方程式y2=4x联立并求解答案a解法2 :利用图中抛物线的定义，在直角梯形ABCD中求出BAD=45、EFDA、EF=2、AF=AD、BF=BC和aeb。乙级联赛gc.ce德. d甲组联赛f.f的双曲馀弦值。 同样，有，答案a解：然后。 一旦把x看作常数，为了使yz取最大值，在解该一元函数的极值问题时取极大值。(10 )将正11边形用对角线分割成9个三角形，这些对角线在正11边形内不相交的情况()a中存在某个分法，分割的三角形不全是锐角三角形b有一个分法，分出的三角形正好有两个锐角三角形c中存在某种分法，分割的三角形至少有三个尖角三角形d任何一种分割法

6、分割的三角形，都正好有一个锐角三角形解：首先证明分支的三角形中只有一个锐角三角形。 如图所示，如果ABC是锐角三角形，则另一个三角形def (也可以设置在AC的相反侧)的(其边ef有可能与AC重叠)d必定是钝角。 事实上，dADC、四边形ABCD为圆内接四边形，因此ADC=180-B，因此D为钝角。 这样就排除了b、c。f.fe德. d乙级联赛c.c甲组联赛其次，证明分支的三角形中至少有一个锐角三角形。德. d乙级联赛c.c甲组联赛如果假定ABC的B为钝角，且在AC的相反侧一定有另一个顶点，则寻找与AC的相反侧相邻的ACD时D=180-B为锐角，此时也为钝角，如果继续用相同的方法寻找，最后就能

7、找到锐角三角形。 答案是d。二、解答问题解： (I )可以整理(II )从已知，与(I )比较而知。 另外，还有代入，代入，(12 )已知圆柱形杯子的质量为a克，其重心位于圆柱轴的中点(杯子底部的厚度和重量被忽略，杯子直立放置)。 质量b克的水正好装满杯子，装满水的杯子的重心位于圆柱轴的中点。(b=3a时，求出装了一半杯子的水的杯子的重心到杯子底面的距离与杯子的高度之比(II )往杯子里放几克水，装了水的杯子的重心会最低吗？ 为什么？解：请把杯子的高度定为1。(I )此时，杯子的质量：水的质量=2 :3。 杯子的重心位置(我们在位置上是指到杯子底面的距离)，水的重心位置是，所以装杯子一半的杯子

8、的重心位置是(II )装水的杯子重心最低时，重心正好在水面上。 设置x克水。 此时，杯子的质量：水的质量=a :x。 杯子的重心位置，水的重心位置，水面位置，所以可以解开。(13 )已知函数。 令。(I )求数列的通项式(II )证明。解：由(I )先求，再预想。 用数学归纳法证明。 在n=1明显成立时，假定n=k明显成立，则得到证明。(II )证明。 实际上的双曲正切值。 我们注意到了然后(14 )已知双曲线分别为c的左右焦点。 p是c的右枝上的点，并且。(I )求出c的离心率e(ii )设a为c的左顶点，q为第一象限内c上的任意点，询问是否存在常数(0 )，使常数成立。 如果存在的话求的值不存在的话，请说明理由。f.fepF12ap2cf22.2x解：如图所示，利用双曲线的定义，将原题变换为P F1 F2，e变换为PF1上的点，PE=PF2、E F1=2a、F1 F2=2c来求出。PE=Pf