电动力学 第一章 习题解答

1、陈毅城，华中师范大学-1-1章习题解答第1章习题解答11 11根据算子的微分和向量性质，推导出以下公式：(1)()()()()()？IIIa BBABAAB=(2)2 1()()2？解决方案：拿一个？仅用于矢量？差异？b仅用于矢量？b差速器。by的微分性质：()()()？根据附录(一. 28)的矢量性质，有()()()？英国银行家协会=()()()？Iiaaaa bbababa=省略微分运算符的下标，并获取()()()()()()？让上述公式居中？AB=，得到2 2()()？也就是说，2 1 ()() 2？IAAAAA=或使用向量属性，并只注意括号中的一个？一个差，有211()()()()()

2、22？iiaaaaaa=1 . 21 . 2设u是空间坐标x，y和z的函数，并证明d () d f f uu u=，d () d？二A=uu，d(d)？一个证书：()()()()()(如果你不知道你的身份？=ijk d()DD()DD()d dddd f uuf uuf uuu uxuyuz？=ijk类型？我、j、k？它们是沿x、y和z方向的单位向量。也就是说，d ()() d f uf uu u=陈毅城-2-()()()XYZ Ua Ua u XYZ？I=A d(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)

3、(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d我=你就这样？你好，我是AAAA大学的学生。=Aijk DD dddd dddd YY xxzz AA AaaAuuuuuu uyuzuzuxuxuy？=ijk d d u u？=1.3 1.3让222 () () () rxyyzz=是源点x？在x站点？距离，r？将方向指定为从源点指向场点(1)，以证明以下结果，井将找到源变量的导数(xyz eee xyz=？)和场变量的导数()xyz eee xyz=？关系r rr r=？3 0 r r=？33 0 (0) rr r rr=？(2) R？r。在哪个

4、r？位置矢量解是什么？=eee xyz xxyyzz rrr？=eee？=r xyz rrr r xyz？=eee xyz xxyyzz rrr？=eee？=r so rr r？=r和3 11 0 rrr？华中师范大学陈毅城？=r 2 3 11 rrr？Ii=球面坐标系中的r 222 2222 111111(1)0 RRR rrrr=2 3 1 0 RR？i=r，33 0 rr？i i=rr (2)3 xyz r xyz？i=0 xyz zyxzyx r yzzxxy？=eee 1.4 1.4已知2 0 1 2 EEE？=TI，这里我是单位张量，试着证明0()()EEEEE？证书：证书：2 0

5、 1 () 2 EEE？iiiTI=22 0 11 ()() 22东EEEEEEE？因为我是单位张量，所以有22eee=I，考虑0i=I，上面的公式可以写成201()()2ee EEEE？IiiT=使用向量分析公式1.1(2)的结果：2 1 ()() 2？I=AAAAA上述公式右侧的第二项和第三项可以一起写成()EE？然后0()()EEEEEE？众所周知，电荷系统的偶极矩定义为陈毅城-4-(，)d V p tx t x V=？用电荷守恒定律，0J t=？证明p？变化率是d(，), d，V，p，J，x，t=？根据电荷守恒定律，有dd(，)d(d dd VV p x t xVJ xV tt？I=)

6、由矢量公式()表示。Iii=fff，带d(d()d x VV p J XVx Jx Jv t？SVV x JSJVJV？我？=相同的原因d d d y y V p JV t=，d d d z z V p JV t=如此d d d V p JV t？=1.6 1.6 if m？是一个常数向量，这证明了除了0R？=在点之外，向量3 mR？的旋度等于标量3米。I=梯度的负值，即a？=，r在哪里？是从坐标原点到场点的距离，以及从原点到场点的方向点。证明：证明：通过公式()()()()()？iiii=fggfg ffgf g()()()()？Iii=f gfgfggfgf通知m？它是常数向量和0R吗？3

7、 0 R R？I=3333()()RRRR阿米姆RRRR？Iii=陈毅城，华中师范大学-5-3333 ()() RRRR mmmm RRRR？iii=那么一个？=1.7 7半径为0 R、电荷为0 q的均匀带电球.试着从球内外电场的表达式中计算电场的发散和旋转，并解释结果的物理意义。解决方案：在带电球体内部：0 1 3 00 4 q Er R？=00 1 33 00000 3 44 qq Er RR？ii=0 1 3 00 0 4 q Er R？=带电球外：0 2 3 0 4 q r E r？=0 2 3 0 0 4 qr E r？ii=0 2 3 0 0 4 qr E r？=从计算结果可以看出

8、，球内外的电场旋度都为零，这表明静电场是非旋转的，因此可以引入电势的概念。球体外没有电荷，场强散度为零。球体内部有电荷，场强散度不为零。可以看出电荷是电场的来源。1.8 1.8根据库仑定律，静电场3 0 1() ()d 4 V x r E xV r？=，这证明了它的散度和旋度都是0(E x？i=，()0E x？=证明：证明：(1) 3 0 1() ()d 4 V x r E xV r？Ii=陈毅城-6-3 0 1 ()d 4 V r xV r？i=2 0 11 ()d 4 V xV r？=因为21 4(xx r )?=，所以00 1() ()() ()d V x E xxxxV？i=(2) 3

9、 0 1() ()d 4 V x r E xV r？=3 0 1 ()d 4 V r xV r？=因为3 0 r r？=，所以()0E x？=.1.9 1.9在无介质的空间中写下麦克斯韦方程。如果所有源电荷符号同时改变，问e？b呢。它将如何改变？如果系统的空间坐标有相反的符号：xxx=？询问电荷密度、电流密度和e？乙？它将如何改变？(c)如果系统时间颠倒：ttt=，q，j？嗯？乙？它将如何改变？在国际单位制下，麦克斯韦方程组是0 E=？I，B，E，t=？=？I，0 2 1E BJ ct=？(a)电荷公共磁轭改为，ee，但是=，ttt=so=，JJJ=？根据蒂伦定律和毕奥-萨伐尔定律，在电荷共轭

10、变换下，电磁场应该有相反的符号： (，) (，)E r tE r t=？(，)(，)B r tB r t=？所以0 E=？I，B，E，t=？陈毅城-7-0B=？I，0 2 1E BJ ct=？(b)空间反射被转换成rrr=？=tt，eee=显然存在着(，)r tr t=？JJJ=？根据电荷守恒定律，我们可以写出变换后不变形的麦克斯韦方程，并模仿(a)来证明，(E，r，te，r，t=？(，)(，)B r tB r t=？(c)时间反向演变被ttt=，=eee=so=，JJ=？在模仿之前能证明什么？(，)(，)B r tB r t=？1.10 1.10半径为0 R、介电常数为0 E的介质球？本文证

11、明了当球以角速度绕0 E运动时，感应表面电荷密度为：0 . 000 . 3cos2 . E。方向旋转，问是否产生磁场？如果没有，这意味着什么？如果是这样，画出磁力线的解：球体中的电场是0.003 2 ee=？因此，电介质的极化强度为0 00 0 3() () 2 PEE=？介质球表面束缚电荷的面积密度为00 0 0 3() ()cos 2 n PE=？我是华中师范大学的陈毅城-8-介质球的总电偶极矩是3300000 04()432 pR=？那是p吗？用0 E？在同一个方向，所以中号球在东经0度左右？方向旋转，会不会引起p？变化，以免产生极化电流，所以它不会激发磁场。1.111.11有一个内部和外部半径分别为1 r和2 r的中空介质球。电介质的介电常数使得静自由电荷F均匀地携带在电介质中，并且(1)获得空间中每个点的电场；(2)可极化体和可极化面电荷分布的求解：以球心为坐标原点，由于介质中的自由电荷密度f和介质的介电常数都是常数，电场分布具有球面对称性。根据高斯定理，DSV=？我？得到1 1