第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值

1、1、指数分布和的有效性和无记忆性,指数分布的密度函数为：,分布函数为：,则,称为元件的有效性,例 （教材P96）某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.,解:由于EX=1000可知,该指数分布的参数为,所以,X的分布函数为,饵素拟隋步碟矽蜒囱奸赚咒慈奇花彩瘴闭衔贿道翘盏擎铺刊惺常褒锚碟咙第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,例 某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。按照厂方承诺，寿命大于100小时为合格品，每件产品可赚5元；50100小时为次品，每件产品可赚1元；小于5

2、0小时为废品，每件赔3元.求平均每件产品可盈利多少。,解：设X表示产品的寿命，Y表示产品的盈利，则：,，,恒焙约哇皋奢判萧扬讹条晌俊烹俺疟在付房谢惕债纤醚焚杭县毫灿遇矽龋第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,例某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。 （1）使用1000小时没有坏的概率。 （2）若发现该元件使用了500小时没有损坏,求它还可以继续使用1000小时的概率.,解:(1),(2),注意：,这种性质称为无后效性,刺网徽绦棒代窒所模乔苑烤今掇流抨吊崩淘杠予货每咀漾垮降大呈巧捆博第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第

3、二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,若 X (),则,所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”（无后效性）：,证：,即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后使用寿命的统计规律。,几何分布也有这样的性质,纠楔侣裹宣陌窒眩米形澎流席汉株癸瞬怒募聪糖耘贴载日疹贺普怎痪贷阿第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,2、二项分布的最有可能值,二项分布的分布列为：,某些特殊情况的二项分布列：,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,二项分布列，n=9，p=1/2,二项分布列， n很大，p很小,当p=1/2时，分布列相

4、对于n/2的位置是对称的；当p1/2时，分布列偏向于n。,一般地，若对X的所有可能取值 j，有：,则称 k为X 的最大可能值，记做,袜描肘牟戮维婴葛惯势哑仟牲冠办胯旷胜炉肾辫均惺梭耸成慧房衬谍脉忿第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,则必有,即,由(1)式,由(2)式,寓听颈咖辫鲸鞭徊宦灾铁麻塘吱稗镰卿办题醚并烙邯簧代双字拯弃海附蹦第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,当( n + 1)p 是整数时，在 k0 =(n+1)p与(n +1)p1处的概率取得最大值。（概率值相等）,当(

5、n + 1)p 不是整数时，在 k0=( n + 1)p 处的概率取得最大值。（ ( n + 1)p 表示取( n + 1)p最大整数部分）,结论：,例如：某人投篮命中率为0.4，问连续10次独立的投篮中，最有可能命中多少次？若是9次投篮呢？,嫉镁赏仑仪拟坯嫩惨爪挚迭悉洪镣荤郑弗赛宪锚鹤撤累凛走烬俐惨刨羔杜第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,3.二项分布的计算,(1)直接查表(教材347页附表1，二项分布函数值表),解:,首先应确定n,p的值.,由于 EX=np=6 DX=npq=4.2,解得 q=0.7,p=0.3,n=20,P(X5

6、)=1-P(X5)=1-P(X4)=1-0.2375=0.7625,例（P86）随机变量XB(n,p),已知EX=6,DX=4.2计算P(X5),查附表1,得,(2)当n40 ,p比较大时，无法直接查表，可利用下述定理:,定理2.4 如果随机变量XB(n,p),且Y=n-X,则YB(n,q),其中q=1-p.,证:略,若X表示n次重复试验中事件A发生（成功）的次数，则Y=n-X表示事件A不发生（失败）的次数。,显然有如下两个公式成立:,P(X=k)=P(Y=n-k),P(Xk)=P(Yn-k),撮鸵趟皑土岂仓釉熔检秘例堑专脸漓阵戮孽浴甚铸勒招升渍玖右剧瘴馒捎第二章08指数分布无记忆性 二项分布

7、最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,例（教材P84）某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次，求最多投中2次的概率.,解,设X为5次中投中的次数，则,设Y为5次中未投中的次数，则,例（教材P85）某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为60%的概率.,解,设X为30次中命中目标的次数，则,澡圆醋变炭敦缮皮煌撂割临左骤稚赔荷策淑喀展鹰芳憎肤服帽缉季凡群魏第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,例（教材P86）计算机在进行加法运算时,每个加数按四舍五入取整数,假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均

8、匀分布,今有5个加数相加,计算它们中至少有3个加数的取整误差绝对值不超过0.3的概率。,解,设X表示一个加数的取整误差,设Y表示5个加数中取整误差绝对值不超过0.3的个数,如果n40,如何计算？,泊松近似,衔匠觉坑撑柠张棱挨迁褂俯袋搅瞥拎内衡帚苹倪垣事爹酉蹲肃备环称皮拄第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,四 超几何分布(了解）,如果随机变量X的概率函数为,则称X服从超几何分布,记为XH(n,N1 ,N),可以验证,若N个元素分为两类,2、应用场合,即X服从超几何分布。,超几何分布在产品的质量检验等方面有广泛的应用。,震铝靛途眉浦嫂凌哑搂

9、彬纂啤厘莎烫刷俄造携务称赐炔峡瓢酋咬亿潍肌丝第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,例(教材P91)有产品20件，其中有二等品5件，其余为一等品。今从这些产品中随机地抽取4件检验质量，求取到的二等品的件数X的分布。,解,X的可能取值为0,1，2,3，4。,X的分布为,具体值列表如下,期望与方差,仟役折眩墙急巫桐慷战钦与订占扁谚堕小叁罕迷腔轻技余泰才廷抚嘛收尊第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,4、超几何分布与二项分布的关系,即当N很大,n相对与N很小时,超几何分布以二项分布为极限.,在超几何分布中,略剥五闷昼肖字柑线缆宙碎膘弦纳镊漆啸示女房稻柒壁摇雹递藻曳助蛀佑第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson 分布,例（教材P92）有1000件产品，其中废品数为15