9-4[1] 幂级数

1、1,9-4 幂级数,2,一、交错级数及其审敛法,1.定义:,复习,正、负项相间的级数称为交错级数.,2.交错级数审敛法(莱布尼茨定理),则原级数收敛,二、任意项级数及其审敛法,定义:,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,3,定理,1. 绝对收敛和收敛的关系,2. 判断任意项级数敛散性的定理,若,绝对收敛；,发散；,可能收敛，,也可能发散.,4,第四节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛域,三、幂级数的运算,幂级数,第九章,5,一、 函数项级数的概念,1.定义：,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,称式子,记为,即,例如：,级数,级数,定义在 的级数,6,对,若常数项级数,敛点,所

2、有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,2.收敛点与收敛域:,例如 级数,收敛域为(-1,1);,发散域为,说明：,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.,7,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,3.和函数:,(定义域是?),如:,8,二、幂级数及其收敛域,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,1.定义：,

3、9,2.幂级数收敛域的结构：,幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间.,显然，,当x = 0 时，,收敛.,例如 级数,收敛；,发散；,收敛域为,发散域为,时，有和函数,10,定理1,(阿贝尔Abel定理),则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,则它在满足不等式,的一切x处发散.,简记:,收敛,发散,发散,11,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,12,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .

4、,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,13,几何说明,绝对收敛,发散,发散,说明:,因此 , 阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征,14,推论,不是仅在x=0一点收敛，,也不是在,整个数轴上都收敛，,则必有一个完全确定的正数R存,在，,它具有下列性质：,如果幂级数,幂级数绝对收敛；,幂级数发散；,当x=R与x=-R时，,幂级数可能收敛也可能发散.,绝对收敛,发散,发散,15,定义:,正数R称为幂级数的收敛半径.,绝对收敛,发散,发散,称为幂级数的收敛区间.,称为幂级数的收敛域.,规定,问题:,如何求幂级数的收敛半径?,(1)幂级数只在x=0处收敛时，,收敛域为0;,(

5、2)幂级数对一切x都收敛时，,收敛区间为,16,如果幂级数,的所有系数,3.幂级数收敛半径的求法：,定理2.,是它的相邻两项的系数且满足：,则,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,的收敛半径为,说明:据此定理,17,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,因此级数的收敛半径,18,说明:,1.注意定理的条件：,幂级数,的所有系数,是它的相邻两项的系数,不缺项,存在或为,且,2. 定理的条件是结

6、论的充分条件，不是必要条件.,3. 定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法（或根值法），该法适用于任何函数项级数.,4. 用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数（即不缺项的）,19,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,20,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,21,解:,缺少偶次幂的项,级数绝对收敛,级数发散,例3.,求幂级数,的收敛区间及收敛域.,考虑级数,应用直接法，,级数为,22

7、,级数发散,因为原级数的收敛区间为,所以原级数的收敛域为:,级数为,级数为,级数发散,例3.,求幂级数,的收敛区间及收敛域.,23,例4.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数绝对收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,24,例4.,的收敛半径 .,另解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求 .,级数变为,故收敛半径为,时原级数绝对收敛.,25,例5.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,26

8、,求收敛半径的方法总结:,幂级数中奇偶项齐全,时用公式求R,幂级数中奇偶项不齐全,这时不能用以上公式求R.,应该根据收敛半径的定义用直接法求R.,如：,若级数为,则应用代换法，,令,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,求收敛域的方法:,27,小 结,2.幂级数的概念:,1.函数项级数的概念:,3.幂级数的收敛性:,定理1,(阿贝尔Abel定理),28,思考与练习,1. 已知,处收敛 , 问该级数收敛,半径又是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,故收敛半径为,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,29,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列