第8章位移法.ppt

1、第八章 位移法(Displacement Method),本章主要内容,8.1 位移法的基本概念 8.2 位移法的基本未知量和基本体系 8.3 位移法方程 8.4 位移法计算连续梁和无侧移刚架 8.5 位移法计算有侧移刚架和排架 8.6 位移法计算对称结构,已有的知识：,（2）静定结构的内力分析和位移计算；,（1）结构组成分析；,等截面单跨超静定梁的力法结果(1),形,形,载,形=形常数,载=载常数,等截面单跨超静定梁的力法结果(2),载,载,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(3),载,载,载,形,载,形,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(4),载,载,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(5),

2、载,载,载,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(6),载,载,载,形,等截面单跨超静定梁的力法结果(7),载,载,载,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(8),载,载,载,载,2,等截面单跨超静定梁的力法结果(9),载,载,载,等截面单跨超静定梁的力法结果(10),回顾力法的思路：,（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；,（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；,（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。,核心是化未知为已知,在线性小变形条件下，由叠加原理可得,单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下,其中：,称杆件的线

3、刚度。,为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为固端弯矩。,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation,同理，另两类杆的转角位移方程为,A端固定B端铰支,A端固定B端定向,对于梁式杆，其杆的轴向、切向变形可忽略不计，只考虑弯曲变形，且弯曲变形为微小变形。即，受弯直杆变形后其两端的距离保持不变受弯直杆的轴向刚度条件。,8.1 位移法的基本概念,力法与位移法的主要区别在于所选用的基本未知量不同，力法把多余未知力选作基本未知量，而位移法把结点位移选作基本未知量。我们仍然遵循从已知到未知的思想来解决问题。力法是利用已知的静定结构，过渡到未知的超静

4、定结构。位移法则不同，它是利用单跨超静定梁的计算成果，再过渡到超静定结构的，是“拆开和联结”。具体处理有两种方法：,平衡方程法和典型方程方法。,8-1-1 平衡方程法,用一个实例来说明位移法的概念。,图8-1a所示为一二次超静定结构。,(图8-1a),从表5-1结果(或转角位移方程)可以想到，如果以结点Z1作基本未知量，先求出位移Z1，根据结点位移协调，可得到杆件AB、BC的杆端位移，进而可求得结构的内力。,下面我们具体来实现这个想法。,1. 确定基本未知量结点独立位移Z1。,2. “拆开”。,这一“拆开”工作可采用增加约束使结构不产生结点独立位移来实现，如图所示8-1c,图8-1,完成了“拆

5、开”过程后，就可根据表5-1或转角位移方程得到各杆件(单元)的杆端内力与杆端位移、荷载的关系。,3. “联结”。,所谓“联结”就是要实现单跨超静定梁的组合应与原结构的受力、变形一致。,假设结点B转动任意大小的角度，即Z1无论取何数值，这时虽然汇交于结点B的各杆端仍有相同的转角，结构的变形保持协调，但相应的各杆端产生的弯矩值就不一定满足结点B的力矩平衡条件，从而造成不符合结构实际的变形和受力情况。因此，应根据结点B的力矩平衡条件来确定角位移Z1。,结点B的力矩平衡条件，图6-2为,将杆端弯矩值代入上式后，得,这个用以求解结点独立位移的平衡条件，称为位移法方程。,所以,图8-2,结点B的转角Z1求

6、得后，再代回转角位移方程(即原杆端弯矩的表达式中)可求得各杆的杆端弯矩为,图8-3,最后弯矩图，如图8-3所示,位移法思路小结：位移法的思想主要有两点：,第一，将结构拆开，分析各根杆件的受力情况，用杆端位移表示各杆件的杆端力；,第二，将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调条件和平衡条件，建立求解结点位移的方程。求出结点位移后，再利用转角位移方程求出杆端力，进而绘制内力图。,平衡方程法力学概念非常清楚，但不能象力法那样以统一的形式给出位移法方程。我们将讨论位移法的第二种思想 典型方程法。,8-1-2 典型方程法,1. 力法的基本未知量 多余未知力。,2. 力法的基本结构和基本体系。,3. 力法的

7、基本方程(用以求解多余未知力的方程) 位移条件。,回忆力法的三个概念,在位移法的典型方程法中，我们仍象力法一样。,1. 位移法的基本未知量,结点的独立位移。,对于8-1a所示的结构，其基本未知量只有一个，即结点B的转角位移。,2. 位移法的基本结构和基本体系,基本结构 在结构上加限制结点位移的相应约束，线位移加链杆，角位移加限制转动的刚臂。,图8-4,和力法一样受基本未知量和外因共同作用的基本结构，称为基本体系，如图8-1a的基本体系如图8-5所示,图8-5,3. 位移法的基本方程,和力法一样，是讨论基本体系和原结构的区别，通过基本体系要与原结构等价来建立位移法方程。,基本体系和原结构有两点区

8、别：原结构在外因下是有结点位移的，而基本结构是无结点位移的；基本结构有附加约束，而原结构是无附加约束的。基本体系是令基本结构发生原结构待求位移Z1，同时受有外因作用。从结点位移方面看基本体系和原结构没有了差别，但是由于待求位移Z1和外因共同作用，附加约束上将产生R1的约束反力。如图8-6所示,图8-6,显然这是和原结构不同的，为了消除这一差别，让基本体系与原结构等价，附加约束上的反力应该等于零，即,R1=0,R1是由原结构的待求位移Z1和外因(荷载)共同作用产生的，按叠加法可写成为,R1= R11 + R1P =0,R11为Z1单独引起的附加约束上的反力，R1P为外因(荷载)单独作用在基本结构

9、上时，在附加约束上产生的反力，更进一步可写为,r11 Z1 + R1P =0,图8-7,与平衡方程法计算的结果相同。,综上所述，典型方程位移法和力法的思路十分相象，我们主要讨论典型方程法。,8.2 位移法的基本未知量和基本体系,用位移法解超静定结构是以结点位移（角位移和线位移）为基本未知量，由位移法方程先求出基本未知量，然后再计算各杆的内力。在计算过程中，把结构各杆转化为单跨超静定梁，利用已导出的刚度方程作为计算基础。,图示刚架中，刚结点 C 和 D 有角位移和线位移。忽略轴向变形和剪切变形的影响，则,选定基本未知量为,在C点和D点加入附加刚臂，在D点加入一根附加链杆，这样得到的无结点位移的结

10、构，称为原结构的基本结构。,基本体系:是基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的超静定杆的综合体。,选定基本结构,（1）每一刚结点加入附加刚臂以控制转 角。因此，附加刚臂的数目等于刚 结点的数目。独立结点角位移个数=刚 结点个数,返 回,基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移,基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能 发生位移的结构.,（2）加入一定数量的附加链杆以阻止各 结点发生线位移。因此，附加链杆的数目等于各结点的独立线位移的数目。把刚结点和固定端变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,

11、位移未知数确定练习,练习,练习,练习,8.3 位移法典型方程和示例,一、连续梁和无侧移刚架的计算,=,-附加刚臂,限制转动的约束,R1=0,R1=r11 Z1+ R1P =0,MP,r11=6i,位移法基本未知数 -结点位移.,位移法的基本结构 -单跨梁系.,位移法的基本方程 -平衡方程.,位移法求解过程: 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图,练习: 作M图,位移法求解过程: 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图,R1

12、=0,r11 Z1+ R1P =0,r11=10i,例：用位移法计算连续梁内力EI=常数。,（2）位移法方程,（3）计算,由结点 B 的力矩平衡，可得,（4）计算,（5）求解,（6）作 图,利用叠加公式： ，计算杆端弯矩。,（7）作剪力图,由 AB 杆隔离体得,由 BC 杆隔离体得,单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:,熟记了“形、载 常数”吗？,如何求？,单位弯矩图为,取结点考虑平衡,荷载弯矩图,取结点考虑平衡,位移法典型方程：,最终内力：,请自行作出最终M图,(a)原结构,(b) 基本体系,例1 用位移法刚架的内力图。,二、有侧移刚架的计算,(c),(c1),(c2),(d),(d1),(d

13、2),(e),(e1),(e2),解：,刚架的位移法方程,将,带入上式得到,求出,计算各杆端弯矩：,（左侧受拉）,（右侧受拉）,（下侧受拉）,(f) M图(kNm),例2 用位移法计算图示刚架的内力图。,（1）基本未知量,结点 C 的角位移,结点 C 加上附加约束 1（附加刚臂） 结点 D 加上附加约束 2（附加链杆） 得到基本体系,（2）基本体系,结点 D 的线位移,（3）位移法方程,（4）计算,附加约束 1 发生单位位移,计算各杆端弯矩,由结点 C 的力矩平衡，可得,（4）计算,隔离体 AC:,隔离体 BD:,（4）计算,附加约束 2 发生单位位移,计算各杆端弯矩,由结点 C 的力矩平衡，

14、可得,（4）计算,隔离体 AC:,隔离体 BD:,（5）计算,荷载作用,计算各杆固端弯矩,由结点 C 的力矩平衡，可得,隔离体 AC:,（5）计算,隔离体 BD:,（6）计算,（7）作 图,（8）作 FQ 图和 FN 图,隔离体 AC:,隔离体 CD:,隔离体 BD:,由结点 C 的平衡条件，可得,由结点 D 的平衡条件，可得,返 回,例3:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.,熟记了“形、载 常数”吗？,如何求？,取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数,请自行列方程、求解并叠加作弯矩图,例4:图示等截面连续梁,B支座下沉 ,C支 座下沉0.6 .EI等于常数,作弯矩图.,单位弯矩和

15、支座位移弯矩图的示意图如下:,熟记了“形常数” 吗？,如何求？,单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:,熟记了“形常数” 吗？,40,如何求？,例6.用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,解:,校核平衡条件,例7.作M图,解:,8i,MP,例8.作M图，EI=常数,R1=0,解:,例 1 作对称刚架的 M 图,位移法计算对称结构,对称刚架在对称荷载作用下，取半边结构计算，只有结点 C 的角位移 。,在结点 C 加上附加约束得到基本体系。,（2）位移法方程,（4）计算,荷载作用下，计算杆件固端弯矩。,由结点 C 的力矩平衡，可得,（5）计算,作半边结构的弯矩图，另一半按对称画出。,（6）作 图,返 回,

16、R1=0 r11Z1+R1C=0,解:,由结果可见：支座移动引起的位移与 EI大小无关，内力与EI大小有关,8.5 支座位移及温度改变时的计算,例2.作M图， EI=常数,R1=0,解:,由结果可见：温度变 化引起的位移与EI大 小无关，内力与EI大 小有关,例3. M图， EI=常数, t1t2,同上例,R1t的算:,=,+,同上例,用位移法计算图(a)所示刚架，并作刚架的剪力图、弯矩图。已知，L=6m，q=4kNm。,8.6 直接利用平衡条件建立位移法方程,(a),(b),解：1)确定位移法基本未知量,2),(c),3)建立位移法方程,4)解位移法方程,5)计算杆端弯矩和剪力，绘内力图,力法、位移法对比,力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结构。 作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。 建立力法方程（协调）,位移法 基本未知量：结点独立位移 基本结构：单跨梁系 作单位和外因内力图 由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡）,解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核,解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核,不能解静定结构,可以解静定结构,1.联合法,=,+,FP/2,力法:6个未知量,位移法:6个未知量,部分力法,部分位移法:4个未知量,8.7 联合法与混合法,基本思路 联合法是一个计算简