理论力学_12.动量矩定理.ppt

1、,第八章 动量矩定理,理论力学,动力学,质点、质点系,动量定理：,动量的改变外力（外力系主矢）,若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。,质心的运动外力（外力系主矢）,质心运动定理：,动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。,81 质点系的动量矩 82 动量矩定理 动量矩守恒 83 刚体定轴转动微分方程 84 质点系相对质心的动量矩定 理刚体平面运动微分方程 习题课,第八章 动量矩定理,动力学,8-1质点系的动量矩,一动量矩的概念 质点对点O的动量矩： 矢量 质点对轴 z 的动

2、量矩： 代数量,正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正,质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：,二质点系的动量矩 质系对点O动量矩： 质系对轴z 动量矩：,动力学,kg2/s。,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱,三质点系的动量矩的计算,如果质点系的运动是比较复杂的一般运动，则按以下方法计算。,按定义计算；,质点系相对定参考系Oxyz作一般运动，C为质点系的质心，对任一质点Mi，有,则,即,其中,为质点系相对质心C的动量矩。,质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。,（注意：vi为

3、质点的绝对速度。）,vi,取固结于质心的平动参考系，由速度合成定理，有,所以,由于,即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。,故,结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi，所得结果是一样的。,例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。,四、刚体的动量矩,1平动刚体,即：平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。,故,（由于 ）,也可由,得,对z轴的动量矩,动力学,2定轴转动刚体,根据定义,式中 ，称为刚体对转动 轴z的转动惯量。

4、,即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。,所以,3平面运动刚体,动力学,若刚体在其质量对称面内运动，有,刚体对于运动平面内任一固定点O的动量矩为,即：平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。,或,例1 均质圆轮在地面上作纯滚动，轮心速度为v0。已知圆轮质量为m，半径为r，A、B分别为图示固定点，求该瞬时圆轮对点A、B的动量矩的大小。 已知,解：根据公式,所以,动力学,解：,例2 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动

5、量矩。,8-2动量矩定理,一质点的动量矩定理,两边叉乘矢径 ,有,左边可写成,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,动力学,故：,运动分析： 。,动力学,由动量矩定理 即,微幅摆动时，并令，则,解微分方程,并代入初始条件 则运动方程,，摆动周期,解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。,例3 单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止开始释放。 求单摆的运动规律。,注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）,动力学,质点动量矩定理的应用： 在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。,二质点

6、系的动量矩定理,左边交换求和与导数运算的顺序，而,质点系对固定点的动量矩定理,动力学,对质点系，有,对质点Mi ：,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,动力学,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,质点系的动量矩守恒 当时，常矢量。 当时，常量。,动力学,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,例4 鼓轮可看成均质圆柱，半径为r

7、，质量m1， ；物体C的质量为m2，它与水平面的动摩擦系数为f。手柄、转轴和绳索的质量以及轴承摩擦都忽略不计，试求物体C的加速度。,解：系统对转轴z的动量矩为,系统所受外力对转轴z的矩为,考虑到 ，得到物块C的加速度,例5 水涡轮以等角速度绕通过O 点的铅垂轴z 转动，试求从涡轮叶片间流过的水流给涡轮转子的转动力矩。,解：取两叶片间的水流ABCD（质点系）为研究对象。,所以，水流作用于涡轮的转动力矩与叶片对水流的约束力对z轴之矩Mz大小相等、转向相反。,重力平行于z 轴，对转动轴之矩为零。,计算 dt 时间间隔内动量矩的增量 dL 。,由动量矩定理,以上结果称为欧拉涡轮方程。,设流动是稳定的，

8、则,所以,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。,动力学,由动量矩定理：,例6 已知:,运动分析： v =,质点系的动量矩守恒 当时，常矢量。 当时，常量。,动力学,动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,8-3动量矩守恒,例如：花样滑冰运动员的高速旋转表演 ， 常量； 具有单个旋翼的直升飞机需要在尾部安装螺旋桨。,解： 系统的动量矩守恒。,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。,动力学,例7 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）,例8 水平圆板可绕z轴转动，其上

9、有一质量为m的质点M作半径为r的圆周运动，相对圆板的速度大小v0为常量。若圆板对z轴的转动惯量为J，并且当M点离z轴最远时，圆板的角速度为零。试求圆板的角速度与角的关系。轴的摩擦和空气阻力略去不计。,解：取水平圆板和其上的质点M为研究的质点系，系统对z轴的动量矩守恒。,当质点M处于Mo位置，,当质点在圆板上沿半径为r的圆周走过角时，,此时系统对z轴动量矩,其中,由,得,即,1定义： 若刚体的质量是连续分布，则,刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。,动力学,一转动惯量,8-4刚体定轴转动微分方程,

10、（）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）,动力学,解：,2转动惯量的计算,例9 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：对z轴的转动惯量 ； 对z 轴的转动惯量 。,（2） 回转半径 由所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。,对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的回转半径，以供参考。,动力学,（3） 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且

11、与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,动力学,证明：设质量为m的刚体，质心为C，,动力学,例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,动力学,（4）计算转动惯量的组合法,解：,例10 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。,课堂练习,图示连杆的质量为m，质心在点C。若AC =a，BC =b，连杆对B轴的转动惯量为JB。求连

12、杆对A轴的转动惯量。,对于一个定轴转动刚体,解决两类问题：,动力学,二刚体定轴转动微分方程,代入质点系动量矩定理，有,已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。,已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。,特殊情况：,动力学, 若 ,则恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。, 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。,将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。,例11 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上

13、升的加速度。,取轮B连同物体C为研究对象,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,动力学,解: 取轮A为研究对象,例12 轮A：m1，r1，轮B： m2 、r2。两轮开始接触时，A轮的角速度为0，B轮处于静止。略去轴承摩擦和杆OA的重量，并设两轮间的动摩擦系数为f，且两轮都可看作均质圆盘。问从A轮放在B轮之上起到两轮没有相对滑动时为止，需经多少时间？,解：先取轮A为研究对象,再取轮B为研究对象,得,设从轮A放在B轮之上起到两轮间无滑动为止所需的时间为t，这时，两轮的角速度分别为,两轮间无滑动,即,解得,代入，得,8-17如图所示，绞车提升一质量为m的物体A，主动轴上作用有不变的转矩

14、M，已知主动轴和从动轴部件对各自转轴的转动惯量分别为J1和J2，传动比z2/z1=k，鼓轮半径为R，略去轴承摩擦及吊索重量，求重物A的加速度。,8-5质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程,质点系动量矩,动力学,一质点系相对质心的动量矩定理,代入质点系动量矩定理 ，,外力对于O点的矩可以写成,其中,注意到 ）,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。,动力学,质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。,由此得,由于,所以,即,二刚体平面运动微分方程,动力学,取质心C为动系原

15、点，则此平面运动可分解为, 随质心C的平动 (xC , yC) 绕质心C的平动 （）。,设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系 可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。,可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。,写成投影形式,或,上式称为平面运动微分方程。,动力学,例13 A质量为m1，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮C上，轮C沿水平轨道纯滚动。鼓轮总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A的加速度。,解：分别取重物A和鼓轮C为研究对象,由运动学关系,解得,例14 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止

16、开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,动力学,解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有, ，两式中含有三个未知数aC 、F、 ，需补充附加条件。,1设接触面绝对光滑。 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。,2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,动力学,表明：当时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0 时解答1适用。,例15 已知：均质杆的质量为m， ， 。求当绳子OB突然断了瞬时滑槽的约束力（滑块A的重量不计，滑

17、槽光滑）及杆AB的角加速度。,解：在绳OB剪断瞬时，杆的角速度为零，但角加速度不为零。,该瞬时杆AB受力分析、运动分析如图,杆AB（设杆长为l）的平面运动微分方程：,运动学关系,轴投影,解得,8-29均质杆AB，质量为m，长为 l，在铅垂平面内一端沿着水平地面，另一端沿着竖直墙壁由与铅垂方向成角的位置无初速地滑下。不计接触处的摩擦力，试求在杆开始滑动的瞬时，地面与墙壁对杆的约束反力。,一基本概念 1动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 2质点的动量矩： 3质点系的动量矩： 4转动惯量：物体转动时惯性的度量。,对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要

18、熟记。,动力学,第八章动量矩定理习题课,5刚体动量矩计算 平动： 定轴转动： 平面运动：,二质点的动量矩定理及守恒 1质点的动量矩定理,2质点的动量矩守恒, 若，则 常矢量。 若，则 常量。,动力学,三质点系的动量矩定理及守恒 1质点系的动量矩定理,动力学,2质点系的动量矩守恒, 若，则常矢量 若，则常量,四质点系相对质心的动量矩定理,五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程,2刚体平面运动微分方程,或,动力学,1刚体定轴转动微分方程,六动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）,动力学,1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。,2已知

19、质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。,3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。,七应用举例 例1 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,动力学,将式代入、两式，有,将上述结果代入式，有,解得：,Dynamics,例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的约束力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,动力学,由定轴转动微分方程,根据质心运动微分方程，得,动力学,例3 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求： 圆柱B下落时质心的加速度。 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条件下圆柱B的质心将上升。,动力学,选圆柱B为研究对象, ,动力学,解：选圆柱A为研