数值分析6-2.ppt

1、,一、Jacobi迭代法,第六章 解线性方程组的迭代法 2 基本迭代法,二、Gauss-Seidel迭代法,三、超松弛迭代法,一、Jacobi迭代法,1. Jacobi迭代法举例,例：求解方程组,其中,精确解是x*=(3, 2, 1)T,解：将原方程组改写为,则迭代公式为：,若选 x(0) =(0, 0, 0)T, 则迭代10次有 x(10) = (3.000032, 1.999838, 0.9998813)T,这就是Jacobi迭代法！,2. Jacobi迭代法一般形式,由方程组,的系数矩阵A非奇异，不妨设 aii0，方程组 变形为,对应上述的方程组，可得迭代公式为,其中 x(k)为第 k

2、次迭代向量.,Jacobi迭代法的一般公式,3. Jacobi迭代法的矩阵形式,将方程组记为 Ax = b 其中A非奇异且aii 0 (I=1, 2, , n). 将A分裂为 A = D 其中,由此可将变形过程用矩阵表示为 Dx = (L + U)x +b 即 x = D-1(L + U)x + D-1b 简记为 x = B0 x + f,故Jacobi迭代公式的矩阵形式为,二、Gauss-Seidel迭代法,1. Gauss-Seidel迭代法举例,例：求解方程组,精确解是x*=(3, 2, 1)T,解：将原方程组改写为,则迭代公式为：,若选 x(0) =(0, 0, 0)T, 则迭代5次有

3、 x(5) = (2.999843, 2.000072, 1.000061)T,这就是Gauss-Seidel迭代法:认为最新计算出的分量可能比旧的分量要好些！,2. Gauss-Seidel迭代法一般形式,对应于变形方程组,G-S迭代公式可写为：,其中 x(k)为第 k 次迭代向量.,3. Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式,将方程组记为 Ax = b 其中A非奇异且aii 0 (I=1, 2, , n). 将A分裂为 A = D 其中,由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为 Dx = (L + U)x +b 这G-S迭代可表示为 Dx(k+1) = Lx(k+1) + Ux(k) +

4、b 整理得 x(k+1) = (DL)1Ux(k) + (DL)1b,故G-S迭代公式的矩阵形式为,注： 对有些问题Gauss-Seidel迭代法确实比Jacobi迭代法收敛得快; 但也有Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛得慢; 甚至还有Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散的情形。,三、超松弛迭代法,1. 超松弛迭代法的一般形式,为了加速迭代过程的收敛，我们通过引入参数，在Gauss-Seidel迭代的基础上得到一种新的迭代法。,记,其中x(k+1)由G-S方法算出。于是有,（i = 1, 2, , n）,可以把 x 看作G-S迭代的修正项， 即第

5、k 次近似解 x(k) 以此项修正后得到新的 近似解 x(k+1) = x(k) + x,松弛法是将x 乘上一个参数因子作为修 正项而得到新的近似值，其具体公式为：,x(k+1) = x(k) + x,即,按上式计算方程组近似解序列的方法称为 松弛法， 1时，称为超松弛法，简称SOR法,2. 超松弛迭代法举例,例：用超松弛法求解下列方程组，取=1.4,精确解是x*=(3, 2, 1)T,解：将原方程组改写为,则迭代公式为：,3. 超松弛迭代法的矩阵形式,用分解式 A = D，则可写为,迭代公式也可写为：,即,显然对任何值，(DL)非奇异，故,这就是松弛迭代法的矩阵表示。,注： 松弛法是G-S法的一种加速方法； 具有计算公式简单，程序设计容易； 但需要选择较好的加速因子。,举例 用松弛法解方程组,其精确解为 x* = (-1, -1, -1,