柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

1、经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1求函数的最大值思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值也可以利用导数求解。解析：法一：且， 函数的定义域为，且，当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键举一反三：【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。（I）证明：-3f

2、（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集。【答案】()当时，所以5分()由()可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为综上，不等式的解集为10分【变式2】已知，求的最值.【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值【答案】根据柯西不等式 ，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑类型二：利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数

3、的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数：2设、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：、均为正，为证结论正确只需证：而，又，故可利用柯西不等式证明之。证明：又、各不相等，故等号不能成立。（2）重新安排某些项的次序：3、为非负数，+=1，求证：思路点拨：不等号左边为两个二项式积，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：+=1即（3）改变结构：4、若，求证：思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。，所证结论改为证。证明： （4）添项：5，求证：思路点拨：左端变形，只需证此式即可。证明：举一反三：【变式1】设a,

4、b,c为正数，求证：【答案】由柯西不等式：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，于是【变式2】设a,b,c为正数，求证：。【答案】由柯西不等式于是即 【变式3】已知正数满足 证明。【答案】利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=故。【变式】ABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。【答案】且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(

5、x2+y2+z2)77x2+y2+z2。类型四：排序不等式的简单应用7对，比较与的大小。思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明解析：，不妨设，则由排序原理，乱序和顺序和，得：举一反三：【变式1】比较1010111112121313 与1013111212111310的大小。【答案】因10 11 12 13及 lg10 lg11 lg12 lg13，由排序不等式得：10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13lg(1010111112121313) lg(1013111212111310)即1010111112121313 1013111212111310。【变式2】已知，求证： 证明：由对称性，不妨设，于是，故由排序不等式：顺序和乱序和，得： 又因为，再次由排序不等式：反序和乱序和，得： 由得8、设,求证：证明：不妨设,则，由排序不等式有：，两式相加得：又因为：， 故两式相加得：即：举一反