第十章 第2讲 直接证明与间接证明.ppt

1、第 2 讲,直接证明与间接证明,1直接证明,综合法,(1)_是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法,分析法,(2)_是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的 条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法,2间接证明,反证法,_是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法， 它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 根据假设进行推

2、理，直到推理中导出矛盾为止； 断言假设不成立； 肯定原命题的结论成立,A,2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于,60”时，应假设(,),B,A三个内角都不大于 60 B三个内角都大于 60 C三个内角至多有一个大于 60 D三个内角至多有两个大于 60 3用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2bxc 0(a0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数下列,假设中正确的是_.,假设 a，b，c 都是偶数；假设 a，b，c 都不是偶数； 假设 a，b，c 至多有一个偶数；假设 a，b，c 至多有两 个偶数,4某个命题与正整数 n 有关，若 nk(kN*)时该命题成

3、立， 那么可推得 nk1 时该命题也成立，现在已知当 n5 时该命题,不成立，那么可推得(,),C,A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立 C当 n4 时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立,解析：用反证法，可证当n4 时，该命题不成立,考点1综合法,例1：已知 a，b，c 为正实数，abc1.,ab lgalgb,【互动探究】,1证明：若a，b0，则lg,2 2, .,考点2分析法,【互动探究】,考点3反证法,反证法主要适用于以下两种情形：要证的条件 和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； 如果从证明出发，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面 证明，只要

4、研究一种或很少几种情形,【互动探究】,考点4 信息给予题中的推理与证明,例4：(2011年湖南醴陵测试)对于给定数列cn，如果存在实常数p，q使得cn1pcnq对于任意nN*都成立，我们称数列cn是“M类数列” (1)若an2n，bn32n，nN*，数列an，bn是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由； (2)证明：若数列an是“M类数列”，则数列anan1也是“M类数列”,解析：(1)因为an2n，则有an1an2，nN*. 故数列是an是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2. 因为bn32n，则有bn12bn，nN*. 故数列bn是“M类数列”，对应的实常

5、数分别为2,0. (2)证明：若数列an是“M类数列”，则存在实常数p，q， 使得an1panq对于任意nN*都成立， 且有an2pan1q对于任意nN*都成立 因此(an1an2)p(anan1)2q对于任意nN*都成立， 故数列anan1也是“M类数列”，对应的实常数分别为p,2q.,准确把握信息是解题的关键，本题“只要找到实常数p，q使得cn1pcnq成立，则数列cn就是“M类数列”，如an2n，an12n2，则有an1an2，此时p1，q2，则称数列cn是“类数列”以此类推,【互动探究】,4对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1

6、)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则称函数f(x)为理想函数 (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以证明,解：(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0， 又由条件f(0)0，故f(0)0. (2)显然g(x)2x1在0,1满足条件g(x)0， 也满足条件g(1)1. 若x10，x20，x1x21，则g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) 2x1x22x12x21 (2x21)(2x11)0， 即满足条件，故g(x)是理想函数,1

7、综合法是一种由因导果的证明方法，又叫顺推法它常见 的书面表达形式是“，”或“”利用综合法证 明“若 A 则 B”命题的综合法思考过程可用如图 1021 的框图 表示为：,图 1021,2分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法它常见的书面表达形式是：“要证，只需证”或“ ”利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 1022 的框图表示为：,图 1022,综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可,3反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、 分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反”,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从B上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题得证,分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，