WJF8-9差分方程简介.ppt

1、8.9 差分方程简介,差分、差分方程基本概念,一阶常系数线性差分方程,二阶常系数线性差分方程,小结,一、差分方程的基本概念,但有时,变量要按一定的离散时间取值.,连续变化的时间内，变量 的变化速度用 来刻画;,如果选择t 为1，则,可以近似代表变量在 t 时刻的变化速度. 因为, 差分,可以近似代替微分。,所以用,定义1,当 x 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列：,则差,称为,的差分，也称为一阶差分，,，即,记为,二阶差分,一阶差分的差分,同样定义,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.,解：设,，那么,例1 求,解：,例3 求,解：,补充差分的性质：,有某种商品 t 时期的供给量St与需

2、求量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：,2. 差分方程,一个例子：,设 t 时期的价格Pt由 t 1时期的价格 与供给量及需求量之差 按如下关系确定.,（ 为常数），,即,这样的方程就是差分方程.,方程中含有未知函数差分的最高阶数称为差分方程的阶.,定义2,阶差分方程的一般形式为：,将,代入,则方程变成,含有自变量、未知函数以及未知函数差分的 方程称为差分方程.,含有自变量以及未知函数几个时期的符号的方程称为差分方程. 方程中含有未知函数附标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.,如,为二阶差分方程，,它等价于,定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解.

3、,对差分方程附加的一定条件称为初始条件. 满足初始条件的解称为特解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解.,定义2,（是任何实常数）.,简单差分方程的解,它的通解是,它的通解是,（是任何实常数）.,通解,通解,二、一阶常系数线性差分方程,形如：,，常数） (1),的方程称为一阶常系数线性差分方程.,齐次方程：,，常数） (2),1.齐次方程通解,（是任何实常数）.,例3,通解：,（是任何实常数）.,2.非齐次方程特解,设,（次多项式),设,设,代入方程得,即,故方程的特解为：,设,代入方程得,方程的特解 :,例4 求差分方程 的通解.,解,

4、的通解为,设,的特解为,代入方程，则有,整理得,比较系数,解得,即特解,差分方程的通解为,例5 求差分方程,的通解.,解,的通解为,带入方程，,差分方程的通解为,例6 求差分方程 的特解.,解,设特解为,代入原方程得,比较系数得,差分方程的特解为,设特解,(ii),(其中均为常数),设,代入方程,即,故方程 的特解为,设,代入方程,即,方程 特解,例7 求差分方程 的通解.,差分方程的通解为,的通解为,所以方程的特解为,解,设,代入方程,例8 本节引例的差分方程为,通解为,齐次方程的通解为,解,设,则有,即,方程 特解,三、二阶常系数线性差分方程,形如,(其中a,b是常数）的差分方程，称为二阶

5、常系数线性差分方程。,齐次方程,1. 二阶常系数线性齐次差分方程的解,设方程（2）具有形如的 特解， 代入方程（1）并消去 得,于是若 是代数方程（3）的根，则 是差分方程（2）的解。方程（3） 称为方程（2）的特征方程。,(1) 若特征方程有两个不同的实根 ， 则方程（2）有两个线性无关的特解 因此（2）的通解便是,(2) 若特征方程有两个相同的实根 则 是方程（2）的一个特解。设另一个与 线性无关的特解是 并设,不是常数，即 带入方程（2）便有,即,2. 二阶常系数线性非齐次差分方程的解,的特解.,解 相应齐次方程是,知齐次特征方程是,它有两个根：,于是齐次方程的通解是,是特征方程的单重根，,可设原方程的一个特解是,代入原方程得,因此，特解是,于是，原方程的通解为,故所求特解为,二、一阶常系数线性差分方程,小结,一、差分、差分方程基本概念,差分,差分方程,齐次方程,通解：,非齐次方程,依右端不同形式确定特解。,设,设,设,设,设,设,代入方程确定系数,三、二阶常系数线