3-1 向量组的线性相关性.ppt

1、,第三章 向量空间初步,3.1 向量组的线性相关性,3.2 向量组的秩和最大无关组,3.3 向量空间,3.4 欧氏空间,一、n 维向量及其线性运算,二、向量组的线性组合,三、向量组的线性相关性,3.1 向量组的线性相关性,一、n 维向量及其线性运算,n 维向量空间 Rn,Rn 中任一元素称为一个 n 维向量.,称 ai 为向量 a = (a1,an) 的第 i 个坐标分量.,以 ai (i = 1, n)为第 i 个坐标的向量可写成列形式,坐标全为零的向量称为零向量, 记为 0.,坐标完全一样的两向量 a, b 称为相等向量, 记为 a=b.,向量的加法运算,设向量 a = (a1, an),

2、 b = (b1, bn), 定义,称 a + b 为 a 与 b 的和.,向量的数乘运算,规定,称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积.,称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a.,设向量 a = (a1, an), k为实数, 定义,向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.,例2 设 x1, xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系,二、向量组的线性组合,对 Ax = 0 的任一解向量 x,若干同维向量的集合, 称向量组.,向量组的一部分称部分组.,例1 设,则,存在一组数 k1, kn-r , 使,线性组合,给定向量组 a1,am,对任一数组 k1,km,称向量,

3、为向量组 a1,am 的一个线性组合,称 k1,km 为这个,线性组合的表示系数.,并称 b 可由 a1,am 线性表示.,例3 设矩阵 A = (a1, am),线性方程组 Ax = b 有一组,解 xi = ki (i =1, m),也即,线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.,约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.,解 同时解方程组,和,的解为,因此,无解,因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.,三、向量组的线性相关性,若线性方程组 Ax = b 有无穷多解, 则向量 b 可用矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表

4、示.,设向量 b 有两个线性表示式,和,则有,b 的两个表示式不同, 也即存在一组不全为零的数,使成立,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为零的数,使,基本性质,(1) 若向量 b 可由向量组 a1, am 线性表示,当 a1, am 线性相关时, 表示式不唯一;,当 a1, am 线性无关时, 表示式唯一.,(2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关.,(3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.,则向量组,b, a1, am 线性相关.,a1,am 线性无关, 也即向量方程,只有零解.,线性相关性,设有向量组,使,定理1,设矩阵,的充分必要条件是 R(A) = m.,

5、提示: m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解的充分必 要条件是 R(A) = m.,如果存在一组不全为零的数,方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件为 | A| = 0.,a1,am 线性无关, 也即向量方程,只有零解.,线性相关性,设有向量组,使,定理1,设矩阵,的充分必要条件是 R(A) = m.,齐次线性方程组的基础解系线性无关. ,如果存在一组不全为零的数,则向量组,线性无关,解1,例5 讨论向量组,的线性相关性.,设方阵,化 A 为行阶梯形:,当 a -1, 4 时, R(A) = 3,线性无关;,当 a = -1 或 a = 4 时, R(A) = 2,线性相关.,解2,设

6、方阵,当 a -1, 4 时, | A| 0,线性无关;,当 a = -1 或 a = 4 时, | A| = 0,线性相关.,则,例5 讨论向量组,的线性相关性.,证1,将 b1, b2, b3 的表示式代入, 并整理得,因 a1, a2, a3 线性无关,故有,由于系数行列式,因此(2)(从而(1)只有零解,(2),(1),设存在一组数 x1, x2, x3, 使,证2,把已知条件合写成,记作 B = AK,因 |K| = -1,知 K 可逆,于是 R(B) = R(A).,因 A 的列向量组线性无关,知 R(A) = 3.,所以 R(B) = 3.,于是 B 的3个列向量线性无关,设向量

7、组 a1, a2, a3 线性无关,例6,试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关.,则向量 b 可由 a1,ar 线性表示.,设向量组 a1,ar 线性无关,定理2,证明,故存在一组不全为0的数,使,假设 k = 0,则 k1, kr 不全为0,且有,这与 a1,ar 线性无关矛盾.,因此 k 0,于是,若 a1,ar,b 线性相关,因 a1,ar,b 线性相关,例7 设向量组 a1, a2, a3 线性相关, 向量组 a2, a3, a4 线性 无关, 证明,(1) a1 能由 a2, a3 线性表示;,(2) a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示.,证明,(1) 因为 a2,

8、 a3, a4 线性无关,所以 a2, a3 线性无关,而 a1, a2, a3 线性相关,因此 a1 能由 a2, a3 线性表示.,(2) 用反证法. 假设 a4 能由 a1, a2, a3 线性表示,a1 能由 a2, a3 线性表示,从而 a4 能由 a2, a3 线性表示,所以 a2, a3, a4 线性相关,这与 a2, a3, a4 线性无关矛盾.,由(1) 知,定理2,则向量 b 可由 a1,ar 线性表示.,设向量组 a1,ar 线性无关,若 a1,ar,b 线性相关,定理2,定理2*,设向量组 a1, , ar 线性无关,若向量 b 不可由向量,则向量 b 可由 a1,ar 线性表示.,设向量组 a1,ar 线性无关,若 a1,ar,b 线性相关,组 a1, , ar 线性表示,则 a1, , ar, b 线性无关.,作 业 习题3.1: 1. 2. 3. 6.,齐次通解结构