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文档简介

1、第四章 解线性方程组的直接法,实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式，曲线拟合的法方程等问题。,对线性方程组：,或者：,我们有Gramer法则：当且仅当,时，有唯一的解，而且解为：,但Gramer法则不能用于计算方程组的解，如n100， 1033次/秒的计算机要算10120年,直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的,迭代法：速度快，但有误差,本章讲解直接法,解线性方程组的两类方法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方

2、法。（一般有限步内得不到精确解）,4.1 直接法和三角形方程组求解,4.2 Gauss消去法,4.3 Gauss列主元消去法,4.4 直接三角分解法,4.5 平方根法,4.6 追赶法(Thomas法),本章研究内容,4.1 直接法和三角形方程组求解,实际问题中的线性方程组分类：,按系数矩阵中 零元素的个数：,稠密线性 方程组,稀疏线性 方程组,按未知量 的个数：,高阶线性 方程组,低阶线性 方程组,(如1000),(80%),按系数矩 阵的形状,对称正定 方程组,三角形 方程组,三对角占 优方程组,一、直接法概述,直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法，共有若干种,对于线性方程

3、组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,-(1),根据Cramer(克莱姆)法则,若,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:,经过n-1次,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为Gauss消元法,则,都是三角 形方程组,上述方法称为直接三角形分解法,-(2),不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法, 最都归结为解三角形方程组,二、三角形线性方程组的解法,若记,下三角形线性方程组,上三角形线性方程组,即,其解为,其解为:,对方程组，作如下的变换，解不变,交换两个方程的次序,一个方程的两边同时乘以一个非0的数,一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程,因此，对应的增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变,交换矩阵的两行,某一行乘以一个非0的数,某一个乘以一个非0数，加到另一行,4.2 Gauss消去法,一、消元与回代计算,对线性方程组,对其增广矩阵施行行初等变换:,定义行乘数,变化 后的 矩阵 为：,定义行乘数,则,回代：,二、Gauss消去法的运算量,计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算,故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数,乘法次数：,除法次数：,全部回代过程需作乘除法的总次数为,于是Gauss消去法的乘除法运算总的次

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