2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§5

1、。 知识点一空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 知识点二共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 1共线向量定理 对空间任意两个向量a a，b b(b b0 0)，a ab b的充要条件是存在实数，使a ab b. 推论：如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta a， 概念 长度为 0 的向量 模为 1 的向量 方向相同且模相等的向量 与向量a a长度相等而方向相反的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 0 a ab b a a a ab b 其中a a叫

2、做直线l的方向向量在l上取ABa a，则可化为OPOAtAB. 2共面向量定理的向量表达式： p pxa ayb b，其中x，yR R，a a，b b为不共线向量，推论的表达式为APxAByAC或对空间任 -可编辑修改- 。 意一点O，有OPOAxAByAC或OPxOAyOBzOC，其中xyz1. 3空间向量基本定理 如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p p xa ayb bzc c，把a a，b b，c c叫做空间的一个基底 知识点三空间向量的数量积及运算律 1数量积及相关概念 (1)两向量的夹角 已知两个非零向量a a，b b

3、，在空间任取一点O，作OAa a，OBb b，则AOB叫做向量a a与b b的 夹角，记作a a，b b ，其范围是0a a，b b.如果a a，b b ，那么向量a a，b b互相垂直， 2 记作a ab b. (2)两向量的数量积 已知两个非零向量a a，b b， 则|a a|b b|cos a a，b b 叫做a a，b b的数量积， 记作a a b b.即a a b b|a a|b b|cos a a，b b 2空间向量数量积的运算律 (1)(a a)b b(a a b b)； (2)交换律：a a b bb b a a； (3)分配律：a a (b bc c)a a b ba a c

4、 c. 知识点四空间向量的坐标运算 设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则： (1)a ab b(a1b1，a2b2，a3b3) (2)a ab b(a1b1，a2b2，a3b3) (3)a a(a1，a2，a3) (4)a ab ba1b1a2b2a3b3. (5)若a a，b b为非零向量，则a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30. (6)若b b0 0，则a ab ba ab ba1b1，a2b2，a3b3. (7)|a a|a aa aa1a2a3. 222 a ab ba 1b1a2b2a3b3 (8)cosa a，b b 222 . 222|a

5、a|b b|a 1a2a3 b 1b2b3 (9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则AB(b1a1，b2a2，b3a3)，dAB|AB| b1a1 b2a2 b3a3 . 知识点五立体几何中的向量方法 1直线的方向向量与平面的法向量的确定 222 -可编辑修改- 。 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a a，b b是平面 内两不共线向量，n n为平面 的法向 a a0， n n 量，则求法向量的方程组为 b b0. n n 2用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v v1和v v

6、2，则l1l2(或l1与l2重合)v v1v v2. (2)设直线l的方向向量为v v，与平面 共面的两个不共线向量为v v1和v v2，则l 或l 存在两个实数x，y，使v vxv v1yv v2. (3)设直线l的方向向量为v v，平面 的法向量为u u，则l 或l v vu u. (4)设平面 和 的法向量分别为u u1，u u2，则 u u1u u2. 3用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v v1和v v2，则l1l2v v1v v2v v1v v20. (2)设直线l的方向向量为v v，平面 的法向量为u u，则lv vu u. (3)设平面 和 的法

7、向量分别为u u1和u u2，则 u u1u u2u u1u u20. 4空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m m1，m m2，则l1与l2所成的角 满足 cos |cosm m1， m m 2|. (2)设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m m，n n， 则直线l与平面 所成角 满足 sin |cosm m，n n|. (3)求二面角的大小 如图所示，AB，CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD 如图所示，n n1，n n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大 小 满足 cos cosn n1，n

8、n2或cosn n1，n n2 题型一空间向量及其运算 例 1已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a aAB，b bAC. (1)求向量a a与向量b b的夹角的余弦值； (2)若ka ab b与ka a2b b互相垂直，求实数k的值 -可编辑修改- 。 解(1)a aAB(1,1,0)，b bAC(1,0,2)， a ab b1(1)10021. 又|a a| 1 1 0 2， |b b| 1 0 2 5， 222 222 a ab b110 cosa a，b b， |a a|b b|10 25 即向量a a与向量b b的夹角的余弦值为 10. 10 (2)

9、ka ab b(k1，k,2)，ka a2b b(k2，k，4)， (ka ab b)(ka a2b b)(k1，k,2)(k2，k，4) (k1)(k2)k8 2kk100， 5 k 或k2. 2 感悟与点拨(1)空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同， 因此， 可参照平面向量的 运算法则和求解思想进行处理 (2)空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理， 另外， 要抓住垂直 与平行两种特殊位置关系 跟踪训练 1(1)(2018 年 4 月学考)在三棱锥OABC中， 若D为BC的中点， 则AD等于() 11 A.OAOCOB 22 11 B.OAOBOC 22 11

10、C.OBOCOA 22 11 D.OBOCOA 22 (2)(2016 年 4 月学考)已知空间向量a a(2，1,5)，b b(4,2，x)(xR R)，若a ab b，则x 等于() A10 B2 C2 D10 (3)已知向量a a(1,2,3)，b b(x，xy2，y)， 并且a a，b b同向， 则x，y的值分别为_ 答案(1)C(2)C(3)1,3 解析(2)a ab b， a ab b2(4)(1)25x0， 得x2. -可编辑修改- 2 2 2 。 (3)a ab b， 1 x2， 解得 y6 x2， 当 y6 x1， 当 y3 x1， y3. xx2y2y 2 x1， 或 y3

11、， ， 3 1 时，a ab b，不符合要求，舍去， 2 时，a ab b，符合要求， 题型二利用空间向量证明平行与垂直 例 2如图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90， 且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF. 证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz， 令ABAA14， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) 设AB的中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， DE(2,4,0)，NC(2,

12、4,0)， DENC，DENC， 又NC平面ABC，DE平面ABC， DE平面ABC. -可编辑修改- 。 (2)B1F(2,2，4)，EF(2，2，2)， AF(2,2,0) B1FEF(2)22(2)(4)(2)0， B 1F AF(2)222(4)00. B1FEF，B1FAF，即B1FEF，B1FAF， 又AFFEF，AF，FE平面AEF， B1F平面AEF. 感悟与点拨(1)用向量证明线面平行的方法： 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 (2)用向量证明垂直的方法

13、： 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零； 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表 示； 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 跟踪训练 2在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分 别是AB，PB的中点 (1)求证：EFCD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论 (1)证明如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)， a B(a，a,

14、0)，C(0，a,0)，Ea， ，0， 2 a aa P(0,0，a)，F， ， 222 a a EF ，0，DC(0，a,0) 22 -可编辑修改- 。 aa EFDC 00a 00， 22 EFDC，即EFCD. (2)解点G为AD的中点 证明如下：设G(x,0，z)， aa a 则FGx ， ，z. 222 若使GF平面PCB， aa a 则由FGCBx ， ，z(a,0,0) 222 ax0，得x ； 22 aa aa a 由FGCPx ， ，z(0，a，a) 222 az0，得z0. 22 a2a 点G的坐标为，0，0，即点G为AD的中点 2 题型三利用空间向量求空间角 例 3如图，

15、 在矩形ABCD中，AB2 2，AD 2，M为DC的中点， 将DAM沿AM折到DAM 的位置，ADBM. a (1)求证：平面DAM平面ABCM； (2)若E为DB的中点，求二面角EAMD的余弦值 (1)证明由题意知，在矩形ABCD中，AMDBMC45， 所以AMB90，即AMBM. 又DABM，DAAMA，DA，AM 平面ADM， 所以BM平面DAM， 又BM 平面ABCM， 所以平面ABCM平面DAM. (2)解由(1)知，在平面DAM内过M作直线NMMA， 则NM平面ABCM， -可编辑修改- 。 故以M为原点，MA，MB，MN分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则M(0,0

16、,0)，A(2,0,0)， B(0,2,0)，D(1,0,1)， 11 于是E，1， 22 1 1 MA(2,0,0)，ME，1， 22 设平面EAM的法向量为m m(x，y，z)， 2x0， 则11 xyz0， 22 ， 令y1，得z2， 则平面EAM的一个法向量m m(0,1，2)， 显然平面DAM的一个法向量为n n(0,1,0)， 故 cosm m，n n 1 5 由图知，二面角为锐角， 即二面角EAMD的余弦值为 5. 5 感悟与点拨(1)用向量方法求两条异面直线所成的角， 是通过两条直线的方向向量的夹角来 求解 (2)用向量法求线面角，是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解 (3

17、)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量， 然后通过两个平 面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 跟踪训练 3(1)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB， PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为() A. 6321 B. C. D. 6666 -可编辑修改- 。 答案A 解析因为BC平面PAB，ADBC，所以AD平面PAB，PAAD， 又PAAB，且ADABA，AD，AB平面ABCD， 所以PA平面ABCD. 以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线

18、为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M0， ，1， 1 2 1 所以AC(2,1,0)，AM0， ，1， 2 求得平面AMC的一个法向量n n(1，2,1)， 又平面ABC的一个法向量AP(0,0,2)， n nAP 所以 cosn n，AP |n n|AP| 16 . 14126 6 6. 6 2 所以二面角BACM的余弦值为 (2)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，ABBCBD4，E，F分别为棱BC， AD的中点求： 异面直线AB与EF所成角的余弦值； 点E到平面ACD的距离； E

19、F与平面ACD所成角的正弦值 解如图所示，分别以直线BC，BD，BA为x，y，z轴建立空间直角坐标系， -可编辑修改- 。 则各相关点的坐标为A(0,0,4)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(0,2,2) AB(0,0，4)， EF(2,2,2)， 8 |cosAB，EF| 42 3 3 ， 3 3. 3 异面直线AB与EF所成角的余弦值为 设平面ACD的一个法向量为n n(x，y,1)， AC(4,0，4)，CD(4,4,0)， AC0，n n 则 CD0，n n 4x40， 即 4x4y0， xy1，n n(1,1,1) F平面ACD，EF(2,

20、2,2)， |n nEF|22 3 点E到平面ACD的距离为d. |n n|3 3 EF与平面ACD所成角的正弦值为|cosn n，EF| 题型四立体几何中的探索性问题 例 4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，底面ABCD的周长为 4. 1 . 32 3 3 2 (1)当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，求直线BA 1 与平面A1CD所成的角； (2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD？若存在，求出P点的位置，若不存在， 请说明理由 解(1)根据题意，令ABt，则长方体的体积为 -可编辑修改- 。 Vt(2t)1t(2t) t2t 21， 2 当且仅当

21、t2t，即t1 时体积V有最大值为 1. 所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形 又AA11. 所以ABCDA1B1C1D1为正方体 如图，连接B1C，取B1C的中点O， 连接BO，A1O. 由题意知，CD平面C1B1BC， 所以BOCD， 在等腰 RtB1BC中，BOB1C， 又B1CCDC，B1C，CD平面A1B1CD， 所以BO平面A1B1CD， 即BA 1O 就是直线BA 1 与平面A1CD所成的角 又BO 2，BA 1 2，所以BA1O30. 2 即长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，直线BA 1 与平面A1CD所成的角为 30. (2)

22、根据题意可知，AA 1，AB，AD 两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系 根据题意及(1)可得B(t,0,0)，C(t,2t,0)，D(0,2t,0)， _x001F_ 若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨设A1PA1C，可得P(t，(2t)，1) BP(tt，(2t)，1)，BD(t,2t,0)， A 1C (t,2t，1)， -可编辑修改- 。 BPA 1C 0， BDA 1C 0， ttt2t 10， 即 22 t2t 0， 2 2 解得t1， . 3 即只有当底面四边形是正方形时才存在符合要求的点P， 位置是线段A1C上A1PPC21处 -

23、可编辑修改- 。 感悟与点拨对于立体几何中的探索性问题，可以凸显坐标方法的优势，通常从假设存在入 手，利用空间向量坐标建立方程，然后按部就班求解 跟踪训练 4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形，平面ABC平 面AA1C1C，AB3，BC5. (1)求证：AA 1平面 ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值； (3)在线段BC1上是否存在一点D，使得ADA1B？若存在，求 由 (1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC. 又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C，AA 1平面 BD的值；若不存在，请说

24、明理 BC 1 ABC. (2)解在ABC中，AC4，AB3，BC5， BCACAB，ABAC， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 222 则A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，A1C1(4,0,0)， A 1B (0,3，4)，B1C1(4，3,0)，BB1(0,0,4) 设平面A1BC1的法向量n n1(x1，y1，z1)， 平面B1BC1的法向量n n2(x2，y2，z2) n n 10， A 1C1 n n 10， A 1B 4x10， 即 3y14z10， 可取向量n n1(0,4,3)， n n 20， B 1C1 由

25、 n n 20， BB 1 4x23y20， 即 4z20. -可编辑修改- 。 可取向量n n2(3,4,0)， n n 1n n2 1616 cosn n1，n n2. |n n1|n n2|5525 由题意知二面角A1BC1B1为锐角， 16 二面角A1BC1B1的余弦值为. 25 (3)解假设在线段BC1上存在一点D，使ADA1B， 设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BDBC1. (x，y3，z)(4，3,4)， 解得x4，y33，z4. AD(4，33，4) 又ADA1B， 9BD9 03(33)160，则 ，. 25BC125 一、选择题 1.如图所示，在直三棱柱ABCA1B

26、1C1中，若CAa a，CBb b，CC1c c，则A1B等于() Aa ab bc c Ba ab bc c Ca ab bc c Da ab bc c 答案D 解析如图所示，连接A1C， 则在A1CB中，有A1BCBCA1CB(CC1CA)b b(a ac c)a ab bc c. 2若向量a a(1,1，x)，b b(1,2,1)，c c(1,1,1)，满足条件(c ca a)2b b2，则x的值为 -可编辑修改- 。 () A4 B2 C4 D2 答案D 解析a a(1,1，x)，b b(1,2,1)，c c(1,1,1)， c ca a(0,0,1x)，2b b(2,4,2) (c

27、ca a)2b b2(1x)2， x2. 3已知A(2,3，1)，B(2,6,2)，C(1,4，1)，则向量AB与AC的夹角为() A45 B90 C30 D60 答案D 解析A(2,3，1)，B(2,6,2)，C(1,4，1)， AB(0,3,3)，AC(1,1,0)， ABAC0(1)31303， 且|AB|3 2，|AC| 2， ABAC31 cosAB，AC ， 2 |AB|AC| 3 2 2 AB与AC的夹角为 60. 4已知a a(2，1,3)，b b(4,2，x)，c c(1，x,2)，若(a ab b)c c，则x等于() 1 A4 B4 C. D6 2 答案B 解析(a ab

28、 b)c c， (a ab b)c c0. 又a ab b(2,1，x3)， 211(x)(x3)20，解得x4. 故选 B. 5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若ABa a，ADb b，AA1c c， 则下列向量中与BM相等的向量是() -可编辑修改- 。 11 Aa ab bc c 22 11 Ca ab bc c 22 答案A 11 B.a ab bc c 22 11 D.a ab bc c 22 11 1 1 解析由题意，得BMBCCC1C1MBCCC1C1A1BCCC1 (ABBC)AB 2222 BCCC 1 a ab bc c. 6若直

29、线l的方向向量为a a(1,0,2)，平面 的法向量为n n(2，0，4)，则() Al Cl 答案B 解析a a(1,0,2)，n n(2,0，4)， n n2a a，a an n，l. 7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC 1 的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是() Bl Dl与 相交但不垂直 1 2 1 2 A. 15 5 10 5 B. 2 2 C.D0 答案D 解析以DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系(图略)， 则可得A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F

30、(1,1,0) A1E(1,0，1)，GF(1，1，1)， 设异面直线A1E与GF所成的角为 ， 则 cos |cosA1E，GF|0. 1 8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AMMC1，N为B1B的中点，则|MN|为 2 () -可编辑修改- 。 A. 21a 6 15a 6 B. 6a 6 15a 3 C.D. 答案A 解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系Dxyz， 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)， a Na，a，. 2 设M(x，y，z)， 1 因为点M在AC1上且AMMC1， 2 1 所以(

31、xa，y，z) (x，ay，az)， 2 2aa 所以xa，y ，z ， 333 所以M 2a，a，a， 333 a2a 2aa2aa2 21a. 3 6323 所以|MN| 9在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成 60角(如图)，则B，D间的距离为() A1 B2 C. 2 D2 或 2 答案D 解析因为ACD90，所以ACCD0. 同理BAAC0， -可编辑修改- 。 因为AB和CD成 60角，所以BA，CD60或 120. 因为BDBAACCD， 2 2 2 2 所以|BD| |BA| |AC| |CD| 2BACD2BAAC2ACCD|B

32、A|2|AC|2|CD|22BACD 3211cosBA，CD32cos 60或 32cos 120， 所以|BD|2 或 2. 即B，D间的距离为 2 或 2，故选 D. 10.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB 90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成角的余弦值为() A. 3 6 3 3 B 3 6 3 3 C.D 答案A 解析如图， 正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直， 且ACBC2， ACB 90，DCAC，平面ACDE平面ACBAC，DC平面ACDE， 所以DC平面ABC，F，G分别是线段AE，BC

33、的中点 以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1) 所以AD(0，2,2)，GF(1,2,1) 所以|AD|2 2，|GF| 6，ADGF2. ADGF3 所以 cosAD，GF. 6 |AD|GF| 则直线AD与GF所成角的余弦值为 二、填空题 -可编辑修改- 3.故选 A. 6 。 11已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA2xBO 3yCO4zDO，则 2x3y4z的值为_ 答案1 解析由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，

34、z1， 使得OAx1OBy1OCz1OD且x1y1z11，因此 2x3y4z1. 12已知向量a a(2，1,3)，b b(4,2，x)若a ab b，则x_；若a ab b，则x _. 答案 10 6 3 13设O为坐标原点，向量OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，点Q在直线OP上运 动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为_ 4 48 答案， ， 333 解析设OQOP(，2)，故Q(，2)， 故QA(1，2，32)，QB(2，1，22) 42 则QAQB62161062 ， 33 4 当QAQB取最小值时， ， 3 4 48 此时Q点的坐标为， ，. 333 1

35、4如图，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC 2，则二面角APBC的余弦值为 _ 答案 3 3 解析如图所示，建立空间直角坐标系， -可编辑修改- 。 则C(0,0,0)，A(1,0,0)，P(1,0,1)，B(0， 2，0)， AP(0,0,1)，PB(1， 2，1)，CB(0， 2，0) 设平面ABP的法向量为m m(x1，y1，z1)， 平面PBC的法向量为n n(x2，y2，z2)， AP0，m m 则 PB0，m m z10， 即 x 1 2y1z10， z10， x 1 2y1， PB0，n n 由 CB0，n n 令y11，得m m( 2，1,0) x 2 2y2z20， 即 2y20， x2z2， y20， 令z21， 得n n(1,0,1) |cosm m，n n| 2 3 3 . 2 3 由题意可知，所求二面角的平面角是锐角， 故二面角APBC的余弦值为 三、解答题 15.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB 2AB. 2 3. 3 (1)证明：BC 1平面 A 1CD； (2)求