基于LQR理论的直线单级倒立摆PID控制仿真

1、 宁波理工学院计算方法和控制系统仿真课程设计报告 题 目 基于lqr理论的直线单级倒立摆pid控制仿真 项目成员 蒋嘉楠、钱品武、刘元晟 专业班级 自动化091 指导教师 裘君 分 院 信息分院 完成日期 12年5月 目 录*项目组成员21课程设计目的22课程设计题目描述和要求23课程设计报告内容2 3.1、线性二次最优控制lqr基本理论2 3.2、系统状态方程3 3.3、程序代码4 3.4、系统调试和结果分析54. 总结75. 参考书目7项目组成员项目组成员具体完成的工作备注蒋嘉楠matlab仿真以及调试钱品武word编写以及调试刘元晟ppt编写以及调试基于lqr理论的直线单级倒立摆控制仿真

2、1. 课程设计目的 设计倒立摆二次型最优控制器，通过matlab仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。2. 课程设计题目描述和要求仿真要求：对论文中的lqr理论进行验证，同时通过控制变量对离散系统进行优化。3. 课程设计报告内容3.1、线性二次最优控制lqr基本理论lqr控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函

3、数的积分。 线性二次最优控制lqr基本原理为，由系统方程： 确定下列最佳控制向量的矩阵k：使得性能指标达到最小值：式中：q-正定（或正半定）厄米特或实对称阵；r-为正定厄米特或实对称阵。下面是最优控制lqr控制原理图： 图1 最优控制lqr控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵q和r确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。对线性系统： 根据期望性能指标选取q和r，利用matlab命令lqr就可以得到反馈矩阵k的值： 改变矩阵q的值，可以得到不同的响应效果，q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是q不能过大。3

4、.2、系统状态方程根据文献【2】可得：；式中m 为小车质量; m 为摆杆质量; b 为小车摩擦系数; l为摆杆转动轴心到杆质心的长度; i 为摆杆惯量; f 为加在小车上的力; x 为小车位置;为摆杆与垂直向上方向的夹角.本文倒立摆系统实际参数数据为: m = 1.096kg; m = 0.109kg; b=0.1n/m/sec;l=0.25m;i= 0.0034kgm2. 把上面的数据代入矩阵, 计算可得状态空间方程为: 四个状态量，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可

5、以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量k,用matlab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的k。lqr函数允许选择两个参数r和q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。3.3、程序代码clear;a= 0 1 0 0;27.8225 0 0 -0.2357;0 0 0 1;0.6293 0 0 -0.0883;b= 0 2.3566 0 0.8832;c= 1 0 0 0;0 0 1 0;d= 0 0 ;q11=200; q33=200;q=q11 0 0 0;0 1 0 0;0 0 q33 0;0 0 0 1;r=0.1;k=lqr(

6、a,b,q,r);ac = (a-b*k); bc = b; cc = c; dc = d;t=0:0.005:5;u=0.2*ones(size(t);y,x=lsim(ac,bc,cc,dc,u,t);plot(t,x(:,1),-);hold on;plot(t,x(:,2),-.);hold on;legend(cartpos,pendang)% cartpos 为小车的位置曲线%pendang 为摆杆角度曲线根据计算, 可得反馈增益k矩阵为 119. 3834 21. 7291 - 44. 7214 - 31. 5972。3.4、系统调试和结果分析根据论文要求，进行了设计系统仿真的实

7、际联接。根据论文中数据，取=200，=200时，可得k = 119. 3834 21. 7291 - 44. 7214 - 31. 5972。从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在q矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取=1000，=1000，可得k =212.6157 36.6748 -100.0000 -64.2022,系统响应曲线如下：综上,通过增大q矩阵中的和，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。在simulink中建立直线一级

8、倒立摆的模型如下图所示：输入=1，=1时，得到的43.7418 8.9677 -3.1623 -5.6340，执行仿真得到如下仿真结果： 而输入=1000，=1000时，得到的k =212.6157 36.6748 -100.0000 -64.2022,执行仿真得到如下仿真结果：scope和scope1分别代表小车位置曲线和摆杆角度曲线。可以发现，q 矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大和系统响应加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。4.总结 建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了lqr控制器，用matlab实现了控制系统的仿真，得到了一级倒

9、立摆各状态量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，基本达到了目的。实在是hold不住了，matlab很好很强大！5.参考书目：1柴诚敬，刘国维，李阿娜，化工原理课程设计m，天津：天津科学技术出版社，1994年.2桑英军, 范媛媛,单级倒立摆两种控制方法的研究 j . 科技信息, 2009, 25, 115 - 116.3刘文斌, 干树川. 二级倒立摆的建模与matlab 仿真 j . 自动化与仪器仪表, 2008( 5 ) , 6- 7, 23.4孙培禄, 曲尔光, 孔素娟. 一阶倒立摆控制的仿真研究 j . 山西大同大学学报(自然科学版) , 2009, 25( 4 ) , 26- 29.5杨平, 徐春梅, 曾婧婧