高中数学异面直线夹角自编

1、浅谈异面直线所成的角 异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。一、几何法：几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例：长方体abcda1b1c1d1中，若ab=bc=3，

2、aa1=4，求异面直线b1d与bc1所成角的大小。直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图，过b1点作bebc1交cb的延长线于e点。则db1e就是异面直线db1与bc1所成角，连结de交ab于m，de=2dm=3，db1e= db1e=。解法二：如图，在平面d1dbb1中过b点作bedb1交d1b1的延长线于e，则c1be就是异面直线db1与bc1所成的角，连结c1e，在b1c1e中，c1b1e=135，c1e=3，c1be=，c1be=。课堂思考：1.如图，pa矩形abcd，已知pa=ab=8，bc=10，求ad

3、与pc所成角的余切值为。abcd2.在长方体abcd- a1b1c1d1中，若棱b b1=bc=1，ab=，求d b和ac所成角的余弦值.例2题图【例2】 如图所示，长方体a1b1c1d1-abcd中，aba1=45,a1ad1=60,求异面直线a1b与ad1所成的角的度数.中位线平移法分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结b1c交bc1于0，过0点作oedb1，则boe为所求的异面直线db1与bc1所成的角。连结eb，由已知有b1d=，bc1=5，be=，boe= boe=解法二：如图，连db、ac交于o点，过o点作o

4、edb1，过e点作efc1b，则oef或其补角就是两异面直线所成的角，过o点作omdc，连结mf、of。则of=，oef=，异面直线b1d与bc1所成的角为。解法三：如图，连结d1b交db1于o，连结d1a，则四边形abc1d1为平行四边形。在平行四边形abc1d1中过点o作efbc1交ab、d1c1于e、f，则dof或其补角就是异面直线db1与bc1所成的角。在adf中df=，dof=，dof=。课堂练习1在正四面体abcd中，已知e是棱bc的中点，求异面直线ae和bd所成角的余弦值。补形法分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形abcd为上底补接一个

5、高为4的长方体abcd-a2b2c2d2，连结d2b，则db1d2b，c1bd2或其补角就是异面直线db1与bc1所成的角，连c1d2，则c1d2c2为rt，c1bd2=，异面直线db1与bc1所成的角是。课堂练习：求异面直线a1c1与bd1所成的角在长方体abcd-a1b1c1d1的面bc1上补上一个同样大小的长方体，将ac平移到be，则d1be或其补角就是异面直线a1c1与bd1所成的角，在bd1e中，bd1=3， 二、矢量法。利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。常有向量几何法和向量代数法两种。解法一：如图，连结db、dc1，设异面直线db1与bc1所

6、成的角为，而=()=+=，+，bb1dd1 ，=，=d1db1d1db1= ，=180db1c1db1c1= ，=db1c1=7 =，解法二：如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则b（3，3，0），b1（3，3，4），d（0，0，0），c1（3，0，4）。设和的夹角为，则=异面直线与所成的角为。课堂练习：长方体abcda1b1c1d1中，ab=aa1=2cm，ad=1cm，求异面直线a1c1与bd1所成的角。向量几何法： 为空间一组基向量所以异面直线a1c1与bd1所成的角为 向量代数法： 以d为坐标原点，dc、da、dd1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则a（0，1，0）、c（2，0

7、，0），b（2，1，0）、d1（0，0，2）， 所以异面直线a1c1与bd1所成的角为 三、公式法公式法实质是矢量几何法的推广：公式一、定理：四面体adbcd两相对棱ac、bd间的夹角为q则有证明，所以有：例：长方体abcda1b1c1d1中，ab=aa1=2cm，ad=1cm，求异面直线a1c1与bd1所成的角。解：连结bc1、a1b在四面体为，易求得 由定理得： 所以 已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有公式2 用几何法研究：在平面a的斜线a上取一点p，过点p分别作直线c、b的垂线po、pb，垂足为o、b连接ob，则obb.

8、在直角aop中，.在直角abc中，.在直角abp中，.所以 所以成立（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ d ）（a） （b） （c） (d) 解：设的中点为d，连结d，ad，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选d讲解习题：例1 在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=3，aa1=4求异面直线a1b和ad1所成的角的余弦（如图1）例2 在长方体abcda1b1c1d1中，c1bc=45，b1ab=60求ab1与bc1所成角的余弦（如图2）例3 已知正方体的棱长为a，m为ab的中点，n为b1b的中点求a1m与c

9、1n所成的角的余弦（如图3）（1992年高考题）例4 在长方体abcda1b1c1d1中，aa1=c，ab=a，ad=b，且ab求ac1与bd所成的角的余弦（如图4）作业：3在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，o是正方形abcd的中心，e，f分别是ab，bc中点求：（1）异面直线a1d1和cd的距离；（2）异面直线c1o和ef的距离4在长方体abcda1b1c1d1中，bab1=b1a1c1=30求：（1）ab与a1c1所成的角的度数；（2）a1a与cb1所成的角的度数；（3）ab1与a1c1所成的角的余弦5、如图，在三棱锥s-abc中，e、f分别是sc、ab的中点，且，则异面直线s

10、a与bc的夹角为多少？将上例中的问题改为 求sf与be所成角的余弦值. 解：连结cf，q取cm的中点g，连结eg、bg ，则eg/sf，beg为异面直线sf、be所成的角.在beg中，利用余弦定理可解得：cosbeg= . 高考题:例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，点e、f、g分别是dd1、ab、cc1的中点，则异面直线a1e与gf所成的角是（ ）abcd 解：连b1g，则a1eb1g，知b1g f就是异面直线a1e与gf所成的角在b1gf中，由余弦定理，得 cosb1gf0， 故b1g f90，应选(d)评注：本题是过异面直线

11、fg上的一点g，作b1g，则a1eb1g，知b1g f就是所求的角，从而纳入三角形中解决例2(2005年全国高考浙江卷)设m、n是直角梯形abcd两腰的中点，deab于e(如图)现将ade沿de折起，使二面角adeb为45，此时点a在平面bcde内的射影恰为点b，则m、n的连线与ae所成角的大小等于_解：取ae中点g, 连结gm、bggmed，bned，gmed，bned gmbn，且gmbnbnmg为平行四边形，mn/bga的射影为bab面bcdebeabae45，又g为中点，bgae即mnaemn与ae所成角的大小等于90度故填90三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线pb与ac所成角的正切值等于_解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在rtpdb中，即故填点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化例4在棱长为a的正方体abcdabcd中，e、f分别是bc、ad的中点.(2)解：如图所示，在平面abcd内，过c作cpde，交直线ad于p，则acp(或补角)为异面直线ac与de所成的角.在acp中，易得ac=a，c