第四章能带理论4.6-4.7.ppt

1、4.6 晶体能带的对称性,一、 En(k)函数的对称性,引入描述点群对称操作的算符T()，其物理意义是对于任意函数f(r)，有,其中，1是的逆操作，其定义是1 r点经操作后变换到r点。 晶体中电子运动的哈密顿量（单电子）为：,将T()和H同时作用在任意函数f(r)上，,由于2在正交变换下形式不变，而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换，所以，,而电子的势能函数U(r)应具有与晶格相同的对称性，即,由于f(r)是任意函数，所以T()与H可对易,由此可以可得一个推论：若n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T() n,k(r)也是方程的解，且n,k(r)与T() n,k(r)有相同的能量本征值。,在

2、晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数,这里n为能带标记，k为简约波矢，对应的能量本征值为En(k)。将T()作用在n,k(r)上得，,由于是正交变换，因此，有,另外，由于 也是以Rl为周期的周期函数 ，,因此，可以改写为,这表明，用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。所以，有,这表明，在k空间中En(k)具有对称性，将取遍晶体点群的所有对称操作，上式都成立。于是，我们就证明了，在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。,另外，由于在晶体中电子运动的哈密顿算符,是实算符，H*H，所以，如果n,k(r

3、)是方程的解，那么*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即,在晶体中，,另一方面，用k取代k，得,需要指出的是，这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。,从以上讨论可以看出，对于同一能带，有,来自于晶格的周期性,来自于晶体的点群对称性,来自于时间反演对称性,以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称,相关。在这些点，电子都有相同的能量En(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态，就可以知道

4、整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的Oh(m3m)点群，只需研究(1/48)b即可。,对于一般位置k，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得 k=k 或 k=k+Gl,这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置：,简单立方晶格的简约区中k的特殊位置：,二、自由电子的能带,自由电子的能量为,这里，k为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢Gn,使得,k为简约波矢。,1. 一维

5、情况,k为简约波矢,为简单，取k的单位为,En(0)(k)的单位为,第一能带：n=1，n=0,相应波函数：,第二能带：n=2，n=1,相应波函数：,第三能带：n=3，n=1,相应波函数：,2. 二维情况：,例：二维正方晶格的简约区中沿X（即kx）轴作出En(0)(k)曲线。,为简单，取kx、ky的单位为,En(0)(k)的单位为,在X轴上，ky=0,相应的波函数为,显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。,（第一布里渊区）,（单）,相应的波函数：,第一近邻倒格点：,（单）,波函数：,（双）,波函数：,（单）,波函数：,第二近邻倒格点：,（双）,相应的波函数：,（双）,相应的波函数：,

6、6.6 能态密度和费米面,一、能态密度,1. 定义,能态密度：,dZ为能量在EE+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋），即能态密,度为能带中单位能量间隔内的电子能态数。,dZ=2(k)(k空间中能量在EE+dE两等能面间的体积),2. 近自由电子的能态密度,对于自由电子：,在k空间中，能量为E的等能面是半径为,的球面，在球面上,考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。 以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内外侧附近各作一个自由电子的等能面（球面）。,在布里渊区

7、边界面的内侧：,对自由电子：EP(0)=EQ(0),考虑周期场的影响：EQ(0)EQ ，EP(0)EP所以，EPEQ,在布里渊区边界面的外测：,对自由电子：EN(0)=EM(0),考虑周期场影响后，EM(0)EM ，EN(0) EN，即，考虑周期场影响后，EMEN 。,所以，考虑周期场影响后，在布里渊区边界面的内侧与外侧等能面均形成向外突出的凸面。,近自由电子的等能面,近自由电子的能态密度,EA,当EC EB时，出现能带重叠； 当EC EB时，有能隙（禁带）。,3. 紧束缚近似的能态密度,以简单立方晶格s带为例来研究紧束缚近似的能态密度的特征。,在k=0，即能带底附近，等能面近似为球面，但随着

8、E的增大，等能面明显偏离球面。,N(E),E0,E06J1,E02J1,E0+6J1,E0+2J1,紧束缚近似的等能面,紧束缚近似的能态密度,在、X、M和R点处，kE=0，这些点称为Van Hove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。,E(),E(X),E(M),E(R),二、费米面,这里仅就近自由电子的费米面结构进行讨论。,对金属，由于EKBT，所以，在T0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发，其费米半径的相对变化为,在室温下，这个比值约为102，因此，可以认为金属的费米面基本上与T无关。,1. 费米面的构造步骤,根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形； 按电子浓度求出相应的费米半

9、径，并作出费米球 （或费米园）； 将处在各个布里渊区中的费米球（园）分块按倒格矢 平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第n个 能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费米面 图形； 按照近自由电子作必要的修正。,2. 修正的依据,电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量， 等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突 出的凸包； 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交； 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决 于电子与晶格相互作用的细节； 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。,证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：,在k空间中，En(k)具有反演对称性， En(k) En(k),又由于En(k)的平移对称性， En(k) En(kGn),在布里渊区边界面附近，将k分解为kkk，由于布里渊区边界面是倒格矢的垂直平方面，所以，在布里渊区边界面上，有,沿布里渊区边界面的法线方向上，,如果沿一个边界面的法线方向上处处都有,那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。,例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。,设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，,k的分布密度：,如果晶体中平均每个原子有个价电子，称其电子浓度