9.3 概率论与数理统计 (复旦大学出版社) 南京财经大学朱玲妹老师的课件.ppt

1、3 一 元 线 性 回 归,返回目录,变量之间的关系大致有两种:,1.函数关系: 确定性关系,2. 相关关系：非确定性关系,社会经济领域中, 投入与产出;价格与需求的关系等.,例如: 人的身高与体重; 人的年龄与血压;,(一) 一元线性回归,x: 普通变量,Y : 随机变量,对Y 独立观察得到,当x 取定一组不完全相同的值,对应的样本值,用样本来估计Y 关于x 的回归函数(x).,例1 为研究某化学反应过程中,温度x ()对产品得率Y(%) 的影响,测得数据如下：,散点图,称为一元线性回归模型,b 称为回归系数.,其中未知参数a,b 和 都不依赖于x,一元线性回归,假设对x 的每一个值有,Y

2、有两部分组成:,x 的线性函数,随机误差,记,(二) a,b 的估计,作独立试验,得到样本,当x 取一组不全相同的值,相互独立,相互独立,它们的联合密度是,用最大似然估计法估计a,b.,L最大,只需下式最小,正规方程组:,系数行列式,有唯一解,回归函数 的估计,称为Y 关于x 的经验回归方程,简称回归方程,其图形称为回归直线.,例2 例1中为研究某化学反应过程中,温度x ()对产品得率Y(%) 的影响,测得数据如下：,计算,回归直线方程:,或,(三) 2 的估计,记,称 为 处的残差.,残差平方和,是 与 处的观察值 的偏差的平方和.,Qe的分解：,Qe的一个分解式:,2的无偏估计量:,记,可

3、证明:,例3 求例2中2的无偏估计.,(四) 线性假设的显著性检验,提出假设,可以证明,与Qe独立,当H0为真时,拒绝域:,例4 检验例2中的回归效果是否显著,=0.05,拒绝,认为回归效果是显著的.,* (五) 系数b 的置信区间,b 的置信水平为1-的置信区间为,=(0.45894,0.50712),例2中b 的置信水平为0.95的置信区间为,* (六) 回归函数(x)=a + bx 函数值的点估计和置信区间,点估计：,相应的估计量:,可以证明,与 独立,置信水平为1-的置信区间,或,(七) Y 的观察值的点预测和预测区间,点预测：,相互独立,Y0的置信水平为1-的预测区间,1* 该区间以

4、 为中心,长度为,是x0的函数;,或,2* 在 处区间长度最短, x0越远离 ,则长度就越长,随n的增加,长度缩短;,3* 置信区间的上限与下限的曲线对称地落在回归直线的两侧,成喇叭型.,例5 例2中,(1)*求回归函数(x)在x =125处的值(125) 的置信水平为0.95的置信区间,求在x =125处Y 的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;,(2) 求在x = x0处Y 的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;,=57.64,=0.84,回归函数(x)在x =125处的值(125) 的置信水平为0.95的置信区间为,(57.640.84)=(56.80,58.48),在x =

5、125处得率Y0 的置信水平为0.95的预测区间,(57.642.34)=(55.3059.98),(2) 求在x = x0 处得率Y0 的置信水平为0.95的预测区间:,=2.34,(八) 可化为一元线性回归的例子,变量之间的相关关系在实际中往往不一定是线性的，,直接求解回归曲线往往比较困难,对一些特殊类型，,可通过适当的变量替换化为线性回归问题来处理.,通常需要用回归曲线来描述.,常见的曲线方程及其图形如下：,1. 双曲线型,原方程：,变换方法：,变换后方程：,2. 指数曲线型（之一）,原方程：,变换方法：,变换后方程：,原方程：,变换方法：,变换后方程：,（之二）,3. 幂函数型,原方程

6、：,变换方法：,变换后方程：,4. 对数曲线型,原方程：,变换方法：,变换后方程：,5. S 曲线型,原方程：,变换方法：,变换后方程：,例6:为了解百货商店销售额x与流通费率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据见下表：,解：(1) x 与y 的散点图：,观察上述散点图可以发现,这九个点大致在一条曲线附近,因而宜用曲线去拟合这批数据,即建立回归曲线方程.,回归曲线的形式确定,应尽可能地采用专业知识,此外也可以与典型的函数图象对照使用.此时可能有多种选择方案,对本例来讲可选用,(2) 确定回归曲线类型,(3) 对原始数据作相

7、应的变量替换，,变换后的数据列表,变换后的数据及拟合值与残差值,(4) 计算过程如下：,在上述方程中用原变量代入，有：,可见,回归效果还是较好的.,回归分析中应注意的问题:,1. 定性分析与定量分析相结合;,2. 检验假设的条件是否符合(可利用残差图);,3. 回归方程一般不宜外推,实际工作中往往需要外推,必须在理论上分析其是否可行.,4. 关于时间序列资料的回归.,思考题：,1.在线性模型 中，x 是什么 变量？Y是什么变量？对固定的x，Y 服从什么分布？,2. 一元线性回归系数 与样本相关系数 R 有什么关系？,思考题答案：,1. x是普通变量,Y 是随机变量,练习题：,2.在一元线性回归

8、模型 中,假定随机变量服从（ ）,(1) 两点分布,3. 在一元线性回归中,式子( )是正确的.,4. 在线性模型 的相关性检验中,如果原 假设 没有被否定,则表明( ),(4) 不存在一条曲线 能近似地描述两变量间的关系.,(1) 两个变量之间没有任何相关关系；,(2) 两个变量之间不存在显著的线性相关关系；,(3) 两个变量之间存在显著的线性相关关系；,5. 对下表所给的数据,建立水稻产量 y 对化肥用量 x 的回归直线.,6. 考察硫酸铜在水中的溶解度 y 与温度 x 的关系时,作了9次试验得数据如下,求 y 对 x 的线性回归方程.,7.某商品的价格与供给量的观察数据见下表：,(1)

9、求 y 对 x 的线性回归方程;,(2) 作相关性检验.,8. 求下表中营业税税收总额Y对某商品零售总额x的线性回归方程;并作回归效果的显著性检验;当x =300时,对营业税税收总额作出预测.,9. 随机地抽取50位妇女为样本,调查其年龄x与 胆固醇浓度y 的关系.现得到样本信息：一元回归平方和,试求y对x的线性回归方程.,10. 某化工厂生产一种油漆,其含杂质率 与搅拌速 度x有关,现抽取12桶,检验结果经计算得，,试求y对x的线性回归方程.,11.为研究一化学过程中,温度 对产品得率y(%)的影响,观测到10对数据,经计算得，,能否据此断定x与y 间存在显著的线性关系？,(1)求y 关于x

10、 的线性回归方程 ； (2)对所建立线性回归方程进行相关性检验; (3)当销售额95元时,利润的95%的预测区间.,12.某种商品的销售额x(元)与利润y(元)的统计数据如下： 销售额 54.5 61.0 67.5 74.0 80.5 87.0 利 润 6.54 7.22 8.55 9.61 10.53 11.46,13. 设x,y分别表示我国农民人均年纯收入与人均年消费支出（单位：元）,统计了1978至1987年十年数据后计算得,求y对x的线性回归方程. 假设1988年农民人均收入为550元,预测1988年的农民人均消费支出是多少？,14.工厂在若干年内收集的资料说明,一批产品的成本 y(元)与生产件数 x(千件) 的关系：,(1) 求y 关于x 的回归方程； (2) 对所建立回归方程进行显著性检验； (3) 当产量为100时,成本 y 的置信度95%的预测区间.,练习题答案：,4；2. 3; 3. 3; 4.