第7章-常微分方程初值问题的数值积分法.ppt

1、第 7 章,本章讨论常微分方程初值问题,的数值解法。,常微分方程初值问题的数值积分法,(7.1.1),近似解法：解析方法和数值方法。,7.1 引言,对给定的数值积分法，各个 是按某一递推算法确 定的。若在计算 时只用到已求出的 中的 ，而无须使用其余值 中的任何一个， 则称此法为单步法，否则，称之为多步法。,此时称该初值问题关于初值是适定的。,定理7.2 设 在区域G内连续，且对y满足 Lipschitz条件，则初值问题是适定的。,7.2 几个简单的数值积分法,7.2.1 Euler方法,考虑区间a,b上的等距节点,此时,在节点 上，有,从而可建立递推公式,上述公式称为解初值问题的（向前）Eu

2、ler方法。,几何解释,折线法,称,Euler方法也可利用 的Taylor展开得到，由,为向前Euler方法的截断误差。,即,左矩形公式,另外，还可对(7.1.1)的方程两端由 到 积分得,若右端积分用左矩形公式，得,在节点 上，用向后差商近似代替导数，得,从而可建立递推公式,该公式称为解初值问题的向后Euler方法。,即,右矩形公式,同样，该公式还可这样得到，将下式的,右端积分用右矩形公式代替，有,向前Euler方法,可以从 出发，逐次算出 这类递推公式称为显格式。,向后Euler方法,该公式与显式的不同，每算一步需要解方程才能得到 。这类递推公式称为隐格式。,隐式方程,然后再用迭代公式,的

3、求解通常采用迭代法。可先用向前Euler方法给出 的一个初值,计算 的近似值。,7.2.2 梯形方法,在下式,梯形公式,的右端积分中用梯形公式，则得,称该递推公式为梯形方法。,梯形方法,也是隐格式，在计算 时常用以下迭代格式：,例1 用向前Euler法、向后Euler法和梯形法解,取h=0.1，计算到x=0.5，并与精确解比较。,注：本题的精确解为,表1 例1的三种方法及精确解的计算结果,7.2.3 改进的Euler方法,梯形方法,称该公式为改进的Euler方法。它实际上是显式方 法，即,先用向前Euler法计算出 的近似 ，可将 梯形公式改为,例2 用改进的Euler法求例1的初值问题,取h

4、=0.1，计算到x=0.5，并与向前Euler法和梯形法 比较误差的大小。,表2 改进的Euler法及三种方法的误差比较,7.3 Runge-Kutta方法,由Taylor展开,这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。,故可构造格式,(7.3.1),具体假定,其中,此递推算法称为显型N级Runge-Kutta方法。上述算 法中的系数 和 希望如此确定，使得(7.3.4)式 的Taylor展开式所有h 幂次不超过p 的那些项的系数 与(7.3.1)式中的相应项的系数相等。,(7.3.4),有,以2级R-K方法为例。将,代入,比较，有,同,该公式又称为中点方法。,1.取 此时二级Runge-Kutt

5、a方法为,这就是改进的Euler方法。,2.取 此时二级Runge-Kutta方法为,与二级Runge-Kutta方法类似，可建立经典的四级RungeKutta方法：,它的局部截断误差为,7.4 收敛性和稳定性,求解初值问题,的显式单步法可写成,(7.1.1),(7.4.1),7.4.1 相容近似,(7.4.2),设 是(7.1.1)的精确解。将它代入(7.4.1)，若有,并且当 时，,则称(7.4.1) 式为初值问题(7.1.1)的一个相容近似 ， 或称此格式满足相容条件即(7.4.2)式。,若,则称格式(7.4.1) 为初值问题(7.1.1)的p阶相容近似 ， 或称此格式为p阶精度格式。,向前Euler格式：,常见单步法的精度阶,p=1；,向后Euler格式：,p=1；,梯形格式：,p=2；,改进的Euler格式：,p=2；,中点格式：,p=2；,经典的四级Runge-Kutta方法：,p=4。,7.4.2 收敛性,设 是由离散格式(7.4.1)定义的数值解，,如果当 时，有,则称此格式是收敛的。,例 考察用Taylor级数方法解初值问题,已知该初值问题的精确解为,注意：相容条件是格式收敛的必要条件，但仅满足相容条件还不能保证格式收敛。,定理7.3 假定单步法(7.4.