数据分布特征的描述

1、第3章 数据分布特征的描述,3.1 集中趋势的度量 3.2 离中趋势的测度 3.3 偏态与峰度的测度 本章重点：数据分布集中趋势、离中趋势的 测度方法。 本章难点：集中趋势、离中趋势测度值的计算。,数据分布的特征：,一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或 聚集程度； 二、离中趋势；数据远离中心的趋势(又称离散程度)； 三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度量；峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度（形状）。,数据分布的特征,数据分布特征的测度,3.1集中趋势的度量,分类数据-众数 顺序数据-中位数和分位数 数值型数据-均值 众数、中位数和均值的关系,集 中 趋 势(central tendency

2、),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 注意：低层次数据的测度方法也适用于高层次的数据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次的数据。,3.1.1分类数据-众数,一组数据中出现次数最多的变量值 适合于数据量较多时使用 不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据(spss计算),注意：众数(不惟一性),无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42,分类数

3、据的众数(例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 mo可口可乐,顺序数据的众数(例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 mo不满意,数值型数据众数的确定方法 单变量值分组资料,某年级83名女生身高资料,身高 人数 （cm） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 1

4、62 8 163 4,身高 人数 （cm） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计 83,stat,身高 人数 比重 （cm） （人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上 11 13.25 总计 83 100,某年级83名女生身高资料,数值型数据众数的确定方法 组距分组资料,stat,众数的计算方法总结：,1、观察法（例题分析） 2、插值法p76（例题分析） 所谓插值法就是先找到众数所在

5、的组，然后按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所占的比重推算众数值。,例3.1 某车间实行计件工资，2005年10月120名工人的月工资资料如下表所示： 要求：试计算月工资的众数。,解：从上表中我们可以看出，月工资变量值中最大的字数为48人，即众数组为1000-1200这一组。根据公式，可得：,众数的特点,众数是以它在所有变量值中所处的位置确定的一个代表值，它不受分布数列的极大或极小值的影响，从而增强了众数对分布数列的代表性。 众数有可能不存在，也可能存在多个； 众数缺乏敏感性。,3.1.2 顺序数据-中位数 和分位数 1中位数：,概念：排序后处于中间位置上的值,特点：不受极端值的影响 主要用

6、于顺序数据，也可 用数值型数据， 但不能用于分类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,顺序数据的中位数 (例题分析),解：中位数的位置为 300/2150 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 me=一般,未分组数值型数据的中位数(奇数个数据的算例),【例】 9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,未分组数值型数据的中位数(偶数个数据的算

7、例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,组距分组数据中位数的确定方法,身高 fi人数 累计 （cm） （人） 人数 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上 11 83 总计 83,某年级83名女生身高资料,stat,中位数的计算方法：,1、根据未分组数据计算中位数 对于没分组数据，首先要排序，然后根据所在位置确定中位数。,2、由分组资料确定中位数：,例3.2 某车

8、间实行计件工资，2005年10月120名工人的月工资资料如下表所示： 要求：试计算月工资的中位数。,解：,2.顺序数据-分位数,二分位数（中位数）、四分位数、十分位数和百分位数等。其中主要有四分位数。 排 位 处于 25%和75%位置上的值即 四分位数,不受极端值的影响 要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据（各种分位数可由spss计算）,四分位数的位置,下四分位数 上四分位数,例3.3两个学习小组的统计学考试成绩合并如下： 要求：（1）计算前15个学生统计学考试成绩的四分位数； （2）如果增加一个学生的成绩为95分，试计算16个学生统计学考试成绩的四分位数。,解（1)ql的位

9、置=n+1/4=15+1/4=4，即ql在第4个位置上，相应的变量值68分就是下四分位数。 qu的位置=3（n+1）/4=3（15+1/4=12，即qu在第12个位置上，相应的变量值85分就是上四分位数。 （2）ql的位置=n+1/4=16+1/4=4.25，即ql ql在第4.25个位置上,采用分割法，得： ql=x4+0.25x(x5-x4)=68+0.25x(72-68)=69(分） 同理，可得qu=85.75（分）,3.1.3 数值型数据-平均数1.平均数（均值）,均值（算术平均数）定义：全部变量值之和与变量值个数相除所得的商。通常也称为平均数（average）或均值（mean 又有简

10、单算数平均数和加权平均数之分,stat,平均数的定义-变量值的一般水平。有算术均值、调 和均值和几何均值。,简单算术平均数与加权算术平均数的计算(simple mean / weighted mean),设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn（未分组数据） 各组的组中值为：m1 ，m2 ， ，mk （组距分组数据） 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,简单算术均值,加权算术均值,未分组资料算术平均数的计算：,数据个数 n,stat,简单算术平均数,设有数据：,身高 组中值 人数 比重 （cm） xi（cm ) fi（人） （%） 150- 155 152.5 3 3.61 155-1

11、60 157.5 11 13.25 160-165 162.5 34 40.96 165-170 167.5 24 28.92 170以上 172.5 11 13.25 总计 - 83 100,分组资料均值的计算： 某年级83名女生身高资料,组距数据,次数 f,频率 f/f,变量值 x,stat,加权算术平均数,集中趋势的最常用测度值； 一组数据的均衡点所在； 易受极端值的影响； 各变量值与其均值的离差之和等于零； 由组距分组资料计算的均值有近似值性质； 用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据,算术平均数（均值）特征：,2.平均数的另一种表现形式：调和平均数,注意：是均值的另一种表现形式

12、易受极端值的影响 计计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数 (例题分析),【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,3.几何平均数(geometric mean),概念： n 个变量值乘积的 n 次方根 用途：适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均发展速度、平均增长率、 平均比率 计算公式为：,可看作是均值的一种变形,几何平均数 (例题分析),【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率

13、。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,3.1.4 众数、中位数和平均数的关系,对何种数据而言的？,均数、中位数、众数三者关系,正态分布时： 均数中位数众数 正偏态分布时：均数中位数众数 负偏态分布时：均数中位数众数,众数、中位数、平均数的特点和应用,众数 不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大时应用 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 平均数 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,习题 1、一家汽车零售店中10名员工在某个月售出的汽车数量按升序排列如下：2，4，10，10，12，12，14，15。计算售出汽车数量的 （a）均值；

14、（b）中位数；（c）众数。 2、八名销售员售出的中央空调数按升序排列如下：5，8，11，11，11，14，16.计算这八名销售员销售量的四分位数。,1、解： （a）均值 （b）中位数 （c）众数为10.,2、解：,3.2 离中趋势的测度,数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 注意：数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越差；数据的离散程度越小，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越好。 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,下面是两个总体关于年龄分布的数据,相对而言,那个总体的年龄分布分散,差异大些?,4

15、6、47、48、49、50、 51、52、53、54,8、15、20、30、50 70、80、85、92,总体1,总体2,总体2,总体1,3.2.1） 分类数据：异众比率（variation ratio） 3.2.2）顺序数据：四分位差（quartile range ） 3.2.3) 数值型数据： 极差（ range ） 平均差（mean deviation） 方差和标准差（ variance and standard deviation） 相对位置的度量：标准分数（ standard score） 相对离散程度：离散系数（ coefficient of variation ）,3.2离中趋势

16、的测度,3.2.1分类数据：异众比率 （variation ratio）,注意： 对分类数据离散程度的测度 非众数组的频数占总频数的比率 计算公式为, 用于衡量众数的代表性,异众比率(例题分析),解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,3.2.2 四分位差（quartile range ),注意： 对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 qd = qu ql 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,例：假设某班有3个学习小

17、组，统计学期中考试成绩如下表所示： 要求：计算三个小组的四分位差。,解:由题意，可得：,3.2.3数值型数据离散程度的度量,1、极差(r) (range) 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,r = max(xi) - min(xi),计算公式为,2、平均差（mean deviation,各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差(例题分析),含义：每天电脑的日销售量有高有低，与日销售量平均数相比，差异有大有小。 平均差表明：以日平均销售量为中心，每天销售量与平均日销售量的平

18、均差距为17台.,3.方差和标准差（ variance and standard deviation）,方差 （variance）各变量值与其平均数离差 平方的平均数,方差和标准差（ variance and standard deviation）,标准差 （standard deviation）即方差的算术 平方根；其单位与原变量x的单位相同。,样本方差和标准差（记住） (simple variance and standard deviation),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,方差和标准差的计算（未分组资料）,样本标准差(例

19、题分析)(,含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台,3.2.4 标准分数 （ standard score）,注意： 也称标准化值 对某一个值在一组数据中相对位置的度 量 可用于判断一组数据是否有离群点 用于对变量的标准化处理 计算公式为,标准分数(性质),注意： z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。,标准分数(性质),均值等于0 2.方差等于1,标准化值(例题分析),3.2.5）离散系数(coefficient of variation),1.标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为,离散系数(例题分析),【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,结论： 计算结果表明，v1v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,本 章 小 节,一、数据集中趋势的度量 众数、中位数、分位数、均值、几何平均数 的计算、应用条件。 众数、中位数、平均数的关系 二、离中趋势