圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

1、 圆锥曲线1设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值2 已知椭圆:的一个焦点为,而且过点.（）求椭圆的方程； （）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.xytgpmon3、已知圆o:交轴于a,b两点,曲线c是以ab为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为f,若p是圆o上一点,连结pf,过原点o作直线pf的垂线交直线x=-2于点q.()求椭圆c的标准方程；()若点p的坐标为(1,1),求证:直线pq

2、与圆o相切；xyopfqab()试探究:当点p在圆o上运动时(不与a、b重合),直线pq与圆o是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 4设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线ab过椭圆的焦点f（0，c），（c为半焦距），求直线ab的斜率k的值；（3）试问：aob的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线l：y = mx + 1，双曲线c：3x2 - y2 = 1，问是否存在m的值，使l与c相交于a , b两点，且以ab为直径的圆过原点6 已知双曲线c：的两个焦点为f1（-2，0），f2（2，0）

3、，点p在曲线c上。（1）求双曲线c的坐标；（2）记o为坐标原点，过点q(0,2)的直线与双曲线c相交于不同两点e，f，若oef的面积为，求直线的方程。7.已知椭圆经过点，离心率为,过点的直线与椭圆交于不同的两点（1）求椭圆的方程；（2）设直线和直线的斜率分别为和，求证:为定值8已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（）求椭圆的方程； （）设椭圆的左焦点为f1，右焦点为f2，直线过点f1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点p，线段pf2的垂直平分线交于点m，求点m的轨迹c2的方程； （）若ac、bd为椭圆c1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点f2，求四边形abcd

4、的面积的最小值9设f是椭圆c：的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点p，线段mn为椭圆的长轴，已知(1) 求椭圆c的标准方程； （2）若过点p的直线与椭圆相交于不同两点a、b求证：afm =bfn；(2) 求三角形abf面积的最大值10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。 11 已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值

5、，并求出此时点的坐标12 如图，设p是圆上的动点，pdx轴，垂足为d，m为线段pd上一点，且|pd|=|md|，点a、f1的坐标分别为（0，），（1，0）。（1）求点m的轨迹方程；（2）求|ma|+|mf1|的最大值，并求此时点m的坐标。13.如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。 圆锥曲线答案1解：（1）由题设知，1分由，得，3分解得所以椭圆的方程为4分（2

6、）方法1：设圆的圆心为，则6分7分8分从而求的最大值转化为求的最大值9分因为是椭圆上的任意一点，设，10分所以，即11分因为点，所以12分因为，所以当时，取得最大值1213分所以的最大值为1114分2由（）可知,设, 直线:,令,得;直线:,令,得;则,而,即,取线段mn的中点q，连接,即线段ot的长为定值2 l4分3 7.(14分)解:()因为,所以c=1,则b=1,所以椭圆c的标准方程为 5分 ()p(1,1),直线oq的方程为y=-2x, 点q(-2,4)7分,又,即oppq,故直线pq与圆o相切 10分 ()当点p在圆o上运动时,直线pq与圆o保持相切 11分证明:设(),则,所以,所

7、以直线oq的方程为所以点q(-2,) 12分所以,又 13分所以,即oppq,故直线pq始终与圆o相切. 14分4 9解：（1）椭圆的方程为 .（2分） （2）设ab的方程为由（4分）由已知 2 （7分） （3）当a为顶点时，b必为顶点.saob=1 （8分） 当a，b不为顶点时，设ab的方程为y=kx+b （11分）所以三角形的面积为定值 （12分）6 解：（1）依题意，解得：， 所以双曲线方程为4分（2）依题意可知，直线的斜率存在设直线的方程为y=kx+2，e（），f（），由y=kx+2及得，有两个交点，又=，又，8分o点到直线的距离为，又，k= ,直线的方程为或12分7 解：（1）由题意

8、得 解得，故椭圆的方程为 5分（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线方程为，由得. 7分因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，解得. 设，的坐标分别为，则， 9分 10分 所以为定值14分8 6解：（）相切 椭圆c1的方程是3分 （）mp=mf2，动点m到定直线的距离等于它到定点f2（2，0）的距离， 动点m的轨迹c是以为准线，f2为焦点的抛物线点m的轨迹c2的方程为6分 （）当直线ac的斜率存在且不为零时，设直线ac的斜率为k，则直线ac的方程为联立所以9分由于直线bd的斜率为代换上式中的k可得，四边形abcd的面积为12分由所以时取等号13分易知，当直线ac的斜率不存在或斜率为零时，四边形abcd的面积9 解：(1) a = 4又 | pm | = 2 | mf |得 (2) 当ab的斜率为0时，显然满足题意当ab的斜率不为0时，设，ab方程为代入椭圆方程整理得 则 综上可知：恒有 (3)当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形abf面积的最大值是310【解析】：（1）设椭圆方程为则解得所以椭圆方程（2）因为直线平行于om，且在轴上的截距为又，所以的方程为：由因为直线与椭圆交于两个不同点，所以的取值范围是。（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可设，则由可得而 故直线ma、mb与轴始终围成一个等腰三