积分曲线的知识 25.ppt

1、1.2基本概念、定义1:独立变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)之间的关系称为微分方程。例1:下列关系都是微分方程。1.常微分方程和偏微分方程。如果一个微分方程中只有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程。自变量的数量是两个或更多，这被称为偏微分方程。注：本课程主要研究常微分方程。同时，常微分方程简称为微分方程或方程。2.例如，偏微分方程都是偏微分方程。定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分阶称为微分方程的阶，它是一阶微分方程。是二阶微分方程；是一个四阶微分方程。二是微分方程的阶，如：n阶微分方程的一般形式是线性微分方程，三线性和非线性，如，1。如果方程是非线性微分方程，例如

2、，2。n阶线性微分方程的一般形式，不是线性方程的方程称为非线性方程，四个微分方程的解，定义4，例2。定义4中定义的解是方程的显式解。隐式解决方案。注：显式解和隐式解统称为微分方程的解。例如，有显式解：和隐式解：2一般解和特殊解，定义5如果微分方程的解包含任意常数，并且独立的任意常数的数目与微分方程的阶相同，那么它被称为这个。例如，N阶微分方程一般解的一般形式是，注1:例3，证明：因为，因此， 注释2:和注释：类似于可定义方程的隐式通解，如果微分方程的隐式解包含任意常数，并且独立的任意常数的数目与微分方程的阶数相同，那么在将来，显式通解和隐式通解将不会被区分，它们统称为方程的通解。 通过在一般解

3、中给任何常数一个定值而得到的解叫做方程的特殊解。例如，为了定义6，3定解条件，为了从一般解中获得满意的特殊解，必须根据实际问题对微分方程附加某些条件，这些条件称为定解条件。常见的定解条件是N阶微分方程的初始条件是指以下N个条件：当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题。注1:n阶微分方程的初始条件有时可以写成，注23360，例4，解，因为，此外，要解上述方程，我们必须认为，1。微分方程的解是连续的吗？它是可操纵的吗？2.微分方程解的定义区间可以是一个点吗？3.通用解决方案是否一定包括所有解决方案？4.所有方程都有通解吗？五条积分曲线和方向场，1条积分曲线和一阶微分方程称为微分方程的积

4、分曲线，2个方向场，其中方向相同的点的几何轨迹称为等斜线，指定方向场，图1.2，等斜线，积分曲线：图中实线，例：讨论微分方程，等斜线为双曲线，积分曲线的分布如左图所示。方向场绘制方法：适当绘制几条等斜线，然后在每条等斜线上选取几个点来绘制相应的矢量，从而绘制出这个方向场。例如，绘制由等式确定的方向场的示意图。解方程的等斜线是，画五条等斜线，然后在每条等斜线上选择几个点，画出相应的矢量，如方向场。根据方向场，三条积分曲线通过点(0，1)，洛伦兹方程，沃尔泰拉两物种竞争模型，(1.18)，(1.19)，另一种形式的高阶微分方程(如果可能的话！)，如果它们都被理解为未知函数并被转换，则上述高阶微分方程可以被转换成下面的微分方程，这些微分方程可以被记录为向量函数。分析：微分方程(组)的向量形式为他们利用线性代数知识进行研究和讨论提供了便利。7.如果方程的右端不包含独立变量，则稳态和非稳态动态系统称为稳态(自治)，否则称为非稳态(非自治)。注意：变换总是可以被引入到非定常方程中。满足恒等式和可加性的映射称为动力系统。动态系统分为连续和离散系统，对应于连续和离散动态系统。注意：如果它被记录为具有单个参数的映射(变换)，那么该映射满足恒等式和可加性，即：和，8。相空间、奇点和轨迹，以及没有