杨瑞贵 -电磁场与电磁波第二版PPT课件教案杨儒贵高等教育出版社

1、 电 子 教 案 第 2 版,杨 儒 贵,高 等 教 育 出 版 社 高 等 教 育 电 子 音 像 出 版 社,一、几点说明,二、简介,三、目录,四、教学目的,五、学时安排,六、各章重点,七、参考书目,几 点 说 明,本电子教案是根据作者撰写的电磁场与电磁波(第 2 版) 纸质教材编制的，其特色如下： 1. 全教案包括12个部分，除了对应纸质教材的10章内容，外加目录和前言。 2. 基于64学时课堂讲授时间，结合自己的教学经验，对于纸质教材的内容进行了适当的取舍。突出物理概念，减少数学推演。,3. 重要名词、定义及概念所用字体皆以红色显示。 4. 图表尽量使用彩色绘制，且充分利用动画功能。

2、5. 语言简练、重点突出。画面美观、文字醒目。 6. 本教案是在windows xp 环境下，利用 office 2003 中powerpoint 软件和mathtype5.2制作的。若用其他软件运行，可能会出现显示错误。,课程名称：电磁场与电磁波 课程性质：专业技术基础课 使用教材：杨儒贵 电磁场与电磁波 北京：高等教育出版社，2007 适用专业：电子信息类专业 制 作 者：杨儒贵 制作单位：西南交通大学理学院电磁所,简 介,第一章矢量分析,前 言,第二章静电场,第三章静电场的边值问题,第四章恒定电流场,第五章恒定磁场,目 录,第八章平面电磁波,第九章导行电磁波,第十章电磁辐射及原理,第六章

3、电磁感应,第七章时变电磁场,电 磁 场 与 电 磁 波,学分: 4 学时: 64 方式: 讲授、讨论,教 学 目 的 通过课堂教学，介绍电磁场与电磁波的基本特性及规律，内容侧重时变电磁场。,学 时 安 排,矢量分析：4 静电场：7 静电场边值问题：4 恒定电流场：3 恒定磁场：6,电磁感应：3 时变电磁场：7 平面电磁波：10 导行电磁波：8 电磁辐射：8,（总学时64：讲授60，机动4）,各 章 重 点,1. 矢量分析：梯度，散度，旋度，亥姆霍兹定理。,2. 静电场：电场强度，场方程，边界条件，能量与力。,3. 静电场边值问题：电位微分方程，镜像法，分离变量法。,4. 恒定电流场：电流，电流

4、连续性原理，能量损耗。,5. 恒定磁场：磁通密度，场方程，边界条件。,6. 电磁感应: 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。,7. 时变电磁场: 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。,8. 平面电磁波：理想介质中的平面波，极化特性，平面边界上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边 界上的斜投射。,9. 导行电磁波：矩形波导中的电磁波，矩形波导中的te10波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。,10. 电磁辐射：电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。,参 考 书 目,一、基本参考书 1

5、杨儒贵. 电磁场与电磁波 m. 2 版. 北京: 高等教育出版社, 2007. 2 谢处方,饶克谨. 电磁场与电磁波m. 4 版. 北京: 高等教育出版社, 2006. 3 倪光正. 工程电磁场原理m. 北京: 高等教育出版社, 2002. 4 赵克玉, 许福永. 微波原理与技术m. 北京:高等教育出版社,2006. 5 梁昌洪, 谢拥军,官伯然. 简明微波m. 北京:高等教育出版社,2006.,二、较深参考书 1 杨儒贵, 陈达章, 刘鹏程. 电磁理论m.西安: 西安交通大学出社, 1991 2 楼仁海, 符果行, 袁敬闳. 电磁理论m. 成都: 电子科技大学出版社, 1996 3 傅君眉,

6、 冯恩信. 高等电磁理论m. 西安: 西安交通大学出版社, 2000 4 杨儒贵. 电磁理论中的辅助函数m. 北京: 高等教育出版社，1992 5 杨儒贵. 电磁定理和原理及其应用m.成都: 西南交通大学出版社, 2002,电场和磁场,前 言,运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导体有力的作用，这种物质称为磁场。不随时间变化的磁场称为恒定磁场。,静止电荷产生的场表现为对于带电体有力的作用，这种场称为电场。不随时间变化的电场称为静电场。,如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场及磁场也是随时间变化的。时变的电场与时变的磁场可以相互转化，两者不可分割，它们构成统一的时变电磁场。时变电场与时

7、变磁场之间的相互转化作用，在空间形成了电磁波。,电 磁 波,静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然后再介绍时变电磁场。,物 质 属 性,电磁场与电磁波既然是一种物质，它的存在和传播无需依赖于任何介质。,电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁场与电磁波的能量特性。,对于电磁场与电磁波来说，真空环境通常被称为“自由空间”。,当空间存在介质时，在电磁场的作用下介质中会发生极化与磁化现象，结果在介质中又产生二次电场及磁场，从而改变了介质中原先的场分布，这就

8、是场与介质的相互作用现象。,场 与 介 质,先介绍真空中的电磁场，然后再讨论介质中的电磁场。,电荷及电流是产生电磁场惟一的源。,场 与 源,研究场与源的关系是电磁理论的基本问题之一。,引入磁荷及磁流的概念是十分有益的，但是，它们仅是假想的。,历 史 的 回 顾,1873年英国科学家麦克斯韦（18311879）提出了位移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建立了严格的数学方程麦克斯韦方程。,重 大 突 破,麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物理学家赫兹（18571894）的实验证实。,俄国的波波夫及意大利的马可尼于19世纪末先后发明了使用电磁波作为信息载体的传输技术。,电磁

9、场与波的应用,当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线广域网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为载体传输信息的。,静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电场对于带电粒子具有力的作用。,电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。,世界首辆载人高温超导磁悬浮试验车,西南交通大学应用超导研究所研制,stable! stable!,磁 场 力 的 应 用,b2 隐形轰炸机,反 射 定 律 的 应 用,立 体 电 影,电 磁 波 极 化 特 性 的 应 用,全 球 定 位 系 统 global positioning system(gps),

10、信 息 载 体 的 应 用,*2004年无线上网的设备达到 15 亿部。,*2004年60%美国人在工作中使用无线设备。,*2005年全世界无线上网的人数达到 4.8 亿。,*2007年美国无线商务用户超过 1 亿。,*目前中国的手机用户已有 5 亿多。,无 线 用 户,新技术的广泛应用促进了电磁理论的发展。由此创建了很多分析电磁场与电磁波的新方法，研制了很多电磁性能优越的新材料。,相互促进，共同发展,随着大容量的高性能及高速度计算机的出现，不但解决了很多电磁理论的计算问题，同时也萌生了计算电磁场与电磁波的新方法，从而形成计算电磁学的新学科。,电 磁 单 位,本书采用国际单位制（ si ）。在

11、电磁学中，这种单位制的四个基本单位是长度、质量、时间和电流。长度单位为m（米），质量单位为kg（千克），时间单位为s（秒），电流单位为a（安培）。,对于正弦电磁场使用的时间因子为 e j t 。,第一章 矢量分析,主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理,1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场,5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系,以浓度表示的标量场,以箭头表示的矢量场a,标量场（）和矢量场（a）,1. 标量场的方向导数与梯度,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的

12、变化率。,标量场 在 p 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,梯度是一个矢量。,在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为,式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。,某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。,若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表示为,则梯度可以表示为,例 计算 及 。,解,表示源点，p 表示场点。,矢量 a 沿某一有向曲面 s 的面积分称为矢量 a 通过该有向曲面 s 的通量，以标量 表示，即,2. 矢量场的通量与散度,通量可为正、负或零。,当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认

13、为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。,闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。,当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。,前述的源称为正源，而洞称为负源。,已知真空中的电场强度 e 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空介电常数 0 之比，即，,当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。,但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。,当闭合面 s 向某点无限收缩时，矢

14、量 a 通过该闭合面 s 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 a 在该点的散度，以 div a 表示，即,式中，div 是英文字divergence 的缩写； v 为闭合面 s 包围的体积。,上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。,直角坐标系中散度可表示为,因此散度可用算符 表示为,散度定理,或者写为,从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建立了区域 v 中的场和包围区域 v 的边界 s 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 v 中的场， 根据散度定理即可求出边界 s 上的场，反之亦然。,例 求空间任一点位置

15、矢量 r 的散度 。,求得,已知,解,标量场的梯度,矢量场的散度,矢量场的旋度？,算子,矢量场 a 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 a 沿该曲线的环量，以 表示，即,3. 矢量场的环量与旋度,可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 a 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,已知真空中磁通密度 b 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 i 与真空磁导率 0 的乘积。即,式中，电流 i 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。,环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭

16、合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。,旋度是一个矢量。以符号 curl a 表示矢量 a 的旋度，其方向是使矢量 a 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即,式中 curl 是旋度的英文字；en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，s 为闭合曲线 l 包围的面积。,矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。,直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为,或者,无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。,函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发

17、生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。,旋度定理（斯托克斯定理）,从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域 s中的场和包围区域 s 的边界 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 s 中的场，根据旋度定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。,或者,例 试证任何矢量场 a 均满足下列等式,式中，s 为包围体积 v 的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。,证,设 c 为任一常矢量，则,根据散度定理，上式左端,那么对于任一体积 v，得,求得,散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。,4. 无散场和

18、无旋场,可以证明,上式表明，任一矢量场 a 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。,上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。,又可证明,5. 格林定理,设任意两个标量场 及，若在区域 v 中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式,式中s 为包围v 的闭合曲面； 为标量场 在 s 表面的外法线 en 方向上的偏导数。,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,上两式称为标量第一格林定理。,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标

19、量第二格林定理。,设任意两个矢量场 p 与 q ，若在区域 v 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 p 及 q 满足下列等式：,式中s 为包围v 的闭合曲面；面元 ds 的方向为s 的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理。,基于上式还可获得下式：,此式称为矢量第二格林定理。,格林定理建立了区域 v 中的场与边界 s 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。,6. 矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当

20、其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。,已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。,f(r),若矢量场 f(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域v 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 f(r) 可以表示为,7. 亥姆霍兹定理,式中,该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,8. 正交曲面坐标系,直角坐标系( x, y , z ),圆柱坐标系( r, , z ),球坐标系( r, , ),微分单元的表示

21、,球坐标系,圆柱坐标系,直角坐标系,坐标变量的转换,矢量分量的转换,又知矢量 a 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为,式中， a, b, c 均为常数。a 是常矢量吗？,已知矢量 a 在直角坐标系中可表示为,式中， a, b, c 均为常数。a 是常矢量吗？,第二章 静电场,主 要 内 容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力,1. 电场强度 2. 真空中静电场方程 3. 电位与等位面 4. 介质极化 5. 介质中的静电场方程,6. 两种介质的边界条件 7. 介质与导体的边界条件 8. 电容 9. 电场能量 10. 电场力,1. 电场强度,电场对某点单位正电荷的作用力称为该点

22、的电场强度，以e 表示。,式中,q 为试验电荷的电荷量;f 为电荷q 受到的作用力。,电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以 表示，即,电场线方程,几种典型的电场线分布,电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。,2. 真空中静电场方程,实验表明，真空中静电场的电场强度 e 满足下列两个积分形式的方程,式中，0 为真空介电常数。,此式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。,此式称为高斯定律。它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。,根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度分别为,左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散

23、度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。,真空中静电场是有散无旋场。,已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度e 应为,求得,因此,标量函数 称为电位。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。,已知,按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为,将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为,若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 s 及线密度l 的关系分别为,（1）高斯定律中的电荷量q 应理解为封闭面 s 所包围的全部

24、正、负电荷的总和。,静电场几个重要特性,（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。,（3）任意两点之间电场强度 e 的线积分与路径无关，它是一种保守场。,（4）若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：,直接根据电荷分布计算电场强度,通过电位求出电场强度,利用高斯定律计算电场强度,例1 计算点电荷的电场强度。,解 利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为高斯面，得,上式左端积分为,得,或,也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的电位为,求得电场强度 e 为,若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度e 为,例2 计算电偶极子的电场强度。,解 由于

25、电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为,若观察距离远大于间距 l ，则可认为 , ，那么,式中，l 的方向规定由负电荷指向正电荷。,求得,乘积 q l 称为电偶极子的电矩，以 p 表示，即,那么电偶极子产生的电位可用电矩 p 表示为,已知 ，求得电偶极子的电场强度为,可见电偶极子的 ， ，而且两者均与方位角 有关。,电偶极子的电场线和等位线,例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱内、外的电场强度。,选取圆柱坐标系，由于场量与 z 坐标无关，且上下对称，因此电场强度一定垂

26、直于 z 轴。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。,因此，可以利用高斯定律求解。,取半径为 r ，长度为 l 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律，得,因电场强度方向处处与圆柱侧面s1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当 r a 时，则电荷量q 为 , 求得电场强度为,当 r a 时，则电荷量q 为 , 求得电场强度为,a2 可以认为是单位长度内的电荷量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为a2 的线电荷产生的电场。,因此线密度为 的无限长线电荷的电场强度为,由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强

27、度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,例4 求长度为l，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。,解 令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角 无关。,因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律，必须直接求积。,因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点p 位于yz平面，即 ，那么,考虑到,求得,当长度 l 时，1 0，2 ，则,此结果与例3 完全相同。,3. 电位与等位面,电位的物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。,这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的

28、电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。,任取一点可以作为电位参考点。,当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。,电位的数学表示,式中，q 为电荷量；w 为电场力将电荷 q 推到无限远处所作的功。,电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是，任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。,电位相等的曲面称为等位面，其方程为,式中常数 c 等于电位值。,若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。,由于 ，电场线与等位面处处保持垂直。,几种电场线和等位面的分布,4. 介质

29、极化,导体中的电子称为自由电子，其电荷称为自由电荷。介质中的电荷不会自由运动，因此称为束缚电荷。,在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称为极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。,介质极化现象是逐渐形成的。自外电场ea 加入发生极化后，一直达到动态平衡的过程如下图所示。,介 质,合成场ea+ es,单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以p 表示，即,式中， pi 为体积 v 中第 i 个电偶极子的电矩；n 为v 中电偶极子的数目。,式中e 称为极化率，它是一个正实数。,大多数介质发生极化时， ，令,可见，极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化率与电场方向无关，这类

30、介质称为各向同性介质。,可见，极化特性与电场强度方向有关，这类介质称为各向异性介质。,另一类介质的极化强度p与电场强度 e 的关系可用下列矩阵表示,空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。,因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质。,极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。,极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。,介质的均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。,各向异性的介质能否是均匀的？

31、,非均匀介质能否是各向同性的？,极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部不均匀，在介质内部出现体分布的束缚电荷。这些面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。,式中，极化强度 与极化电荷的关系为,可以证明，极化电荷产生的电位为,可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。,再利用散度定理，求得内部总体极化电荷为,可见，总面极化电荷为,5. 介质中的静电场方程,在介质内部，穿过任一闭合面 s 的电通应为,式中， q 为自由电荷； 为束缚电荷。那么,令 ，求得,此处定义的 d 称为电通密度。,可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的自由电荷，

32、而与束缚电荷无关。,上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用散度定理不难推出其微分形式为,该式表明，某点电通密度的散度等于该点自由电荷的体密度。,电通密度也可用一系列曲线表示，电通密度线的定义与电场线完全相同。,电通密度线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。,电通密度线方程,已知各向同性介质的极化强度 ，求得,令,式中， 称为介质的介电常数。,则,？,由于 ，,因此,相对介电常数 r 定义为,几种介质的相对介电常数,1,各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为,可见，各向异性介质中，电通密度和电场强度的关系与外加电场的方向有关。,均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介

33、质的介电常数与电场强度的大小无关。静止介质的介电常数与时间无关。,对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得,可见，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只需将0 换为 即可。,上式中 q , 是什么电荷？,6. 两种介质的边界条件,由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。,通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。,n normal t tangential,围绕某点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为,为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分

34、, 电场强度的切向分量。,为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以至于在 l 内可以认为场量是均匀的，则上述环量为,此式表明，在两种介质的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。,已知 , 得,此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电通密度的切向分量是不连续的。,已知各向同性的线性介质， ，得,围绕某点作一个圆柱面，其高度为h，端面为s。那么, 电通密度的法向分量。,当 h0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到 s 必须足够小，则上述通量应为,边界法线的方向en规定为由介质指向介质。,求得,式中， s 为边界上自由电荷的面密度。,在两种介质

35、的边界上不可能存在表面自由电荷，因此,此式表明，在两种介质边界上电通密度的法向分量相等，或者说，电通密度的法向分量是连续的。,对于各向同性的线性介质，得,可见，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续。,还可证明,7. 介质与导体的边界条件,可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。,静电平衡,因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度为零。所以，处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。,既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导

36、体的表面，即,导体表面存在的自由电荷面密度为,或写为,式中， 为导体周围介质的介电常数。,已知导体表面是一个等位面，因 ，求得,考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为,边界条件,静电屏蔽,e = 0,e 0,e 0,例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电荷量为q，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图所示。,试求： 各区域中的电场强度； 各个表面上的自由电 荷和束缚电荷。, 0, 2, 1,可以应用

37、高斯定律求解吗?,解 在 r r1及 r2 r r3 区域中 e = 0,在 r1 r r2 区域中,同理，在 r3 r r4 区域中，求得,在 r r4 区域中，求得,？,注意，各区域中的介电常数不同！,根据 及 ，分别求得,r = r4:,8. 电容,由物理学得知，平板电容器的电容为,电容的单位 f（法拉）。,c地球 f,实际中，使用 f（微法）及 pf（皮法）作为电容单位。,多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关。,各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为,式中，cii 称为固有部分电容；cij 称为互有部分电容。,例 已知同轴线的内导体半径为

38、a，外导体的内半径为b， 内、外导体之间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内、外导体之间的电容。,能否应用高斯定律求解?,解 设内导体单位长度内的电荷量为q，围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为高斯面s，则,那么内、外导体之间的电位差 u 为,因此单位长度内的电容为,9. 电场能量,电场力作功，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。,外力反抗电场力作功，此功将转变为静电场的能量储藏在静电场中。,根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。,首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电荷量为 q 的孤立带电体的能量。,设带电体的电荷量 q 是从零开始逐渐由无限远

39、处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无需作功。当第二个dq 移入时，外力必须克服电场力作功。,若获得的电位为 ，则外力必须作的功为 dq ，因此，电场能量的增量为 dq 。,已知孤立导体的电位 等于携带的电量 q 与电容 c 的之比， 即,求得电量为q 的孤立带电体具有的能量为,或者为,已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。 那么当电荷量增至最终值 q 时，外力作的总功为,对于 n 个带电体，设每个带电体的电荷量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围介质是线性的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。,设第 i

40、 个带电体的电位最终值为 i，电荷量最终值为 qi ，若某一时刻第 i 个带电体的电荷量为 qi = qi ( 1)，则电位为,当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总电场能为,求得,那么当各个带电体的电荷量均以同一比例 增长，外力必须作的功为,当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由 ，求得总能量为,式中， (r) 为体元 dv、面元 ds、或线元 dl 所在处的电位；积分区域为电荷分布的整个空间。,从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母 we 表示。,设两个导体携带的电荷量为q1和 q2

41、，其表面积分别为 s1和 s2，如下所示。,已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为,又知 ，,求得,若在无限远处再作一个无限大的球面 s，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分,那么，上面的储能公式可写为,式中 。,考虑到区域 v 中没有自由电荷，所以 。,又 ，代入上式，求得,由此求得静电场的能量密度,利用散度定理，上式可写,已知各向同性的线性介质， ，代入后得,此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理，即多带电体的总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。,因为第2个带电体引入系统时，外力必须反抗第1个带电体对第2

42、个带电体产生的电场力而作功，此功转变为电场能量，这份能量称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。,能量计算,例 计算半径为 a ，电荷量为 q 的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为 。,解, 通过电位。,可以通过三种途径求解。,已知半径为a，电荷量为 q 的导体球的电位为, 通过表面电荷。, 通过能量密度。,求得,已知导体表面是一个等位面，那么积分求得,已知电荷量为 q 的导体球外的电场强度为,10. 电场力,某点电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷 受到的电场力为,若上式中 e 为点电荷 q 产生的电场强度，则,式中， 为该点电荷周围介质的介电常

43、数。,那么，点电荷 q 对于点电荷 的作用力为,式中er 为由 q 指向 的单位矢量。,库仑定律,根据库仑定律可以计算电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的。,为了计算电场力，通常采用虚位移法。,这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。,以平板电容器为例，设两极板上的电荷量分别为+q 及 q ，板间距离为 l 。,两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，在上述假定下，求出的作用力应为负值。,假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。,已假定作用力 f 导致位移增加

44、，因此，作用力 f 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为,式中，下标 “q=常数” 说明发生位移时，极板上的电荷量没有变化，这样的带电系统称为常电荷系统。,根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即,已知平板电容器的电容及能量分别为,式中，负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。,代入前式,求得平板电容器两极板之间的作用力为,如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。,根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。,由于位移增加，电容

45、减小，为了保持电位不变，极板电荷一定增加。,式中 为两极板之间的电压。,常电位系统,设正极板的电荷增量为dq，负极板为 dq ，对应的电位分别为 1 及 2 ，则电场能量的增量为,为了将dq电荷移至电位为1的正极板，将电荷dq 移至电位为2 的负极板，外源必须作的功为,根据能量守恒定律，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此,已知平板电容器的电容及能量分别为,求得同样结果,如果利用库仑定律，如何计算？,那么能量为,例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。,表面张力的单位是什么？,n/m,根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即,解 利用虚位移概

46、念。 假定由于极板上的同性电荷相斥产生的表面张力f，使极板面积扩大了ds，则电场力作的功为,已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得,若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力f 应为,那么将 代入，即可获得同样结果。,如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。,若规定广义力的方向为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为,式中的偏微分符号是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关，l 代表对应于广义力的广义坐标。,当带

47、电系统的某一广义坐标发生变化时，若其能量没有改变，也就不存在使该广义坐标变化的广义力。,带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。,例如平板电容器的能量为,因此存在改变间距 l 的拉力和改变面积 s 的张力。,为什么两个公式符号相反？,如何选用？,例 计算带电肥皂泡的膨胀力。,解 设肥皂泡的电荷量为q ，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中的广义坐标 l 代表体积 v，则受到的膨胀力f 为,已知半径为a，电荷量为q 的带电球的电位为,又知球的体积为,求得,如果利用库仑定律，如何计算？,第三章 静电场的边值问题,主 要 内 容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。,1. 电位微分方程

48、 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法,1. 电位微分方程,已知电位 与电场强度 e 的关系为,对上式两边取散度，得,对于线性各向同性的均匀介质，电场强度e 的散度为,那么，电位满足的微分方程式为,泊松方程,拉普拉斯方程,对于无源区， ，上式变为,已知分布在v 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为,上式为泊松方程在自由空间的特解。,利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。,静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。,初始条件,边界条件,数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性

49、。,根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。,此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。,边界条件有三种类型：,第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。,第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。,第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。,解的存在、稳定及惟一性问题。,泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。,惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。,稳定性是指当定解条件发生

50、微小变化时，所求得的解是否变化很大。,存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。,可以证明电位微分方程解具有惟一性。,若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。,已知,因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。,可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。,静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。,对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程,在无

51、源区，电位满足拉普拉斯方程,利用格林函数，可以求解泊松方程。,利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。,求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。,2. 镜像法,实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。,依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。,关键：确定镜像电荷的大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。,（1）点电荷与无限大的导体平面,以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整

52、个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 p 的电位由 q 及 q 共同产生，即,电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。,* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。,* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。,例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像

53、电荷。,为什么？,（2）点电荷与导体球,若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q 位于球心与点电荷 q 的连线上，那么球面上任一点电位为,为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为,为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。,若 opq oqp ，则,镜像电荷离球心的距离d 应为,求得镜像电荷为,若导体球不接地，则其电位不为零。,q 的位置和量值应该如何?,由q 及 q 在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q 以产生一定的电位。,以保证导体球表面上总电荷量为零值。,为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球心。,为了

54、满足电荷守恒定律，第二个镜像电荷q 必须为,导体球的电位?,（3）线电荷与带电的导体圆柱,在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像线电荷 。,因此，离线电荷 r 处，以 为参考点的电位为,已知无限长线电荷产生的电场强度为 ，,若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上p点共同产生的电位为,已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值,与前同理，可令,（4）点电荷与无限大的介质平面,=,+,对于上半空间，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。,对于下半空间，可用位于原点电荷处的 q 等效原来的点电荷q与边界上束缚

55、电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。,必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即,已知各个点电荷产生的电场强度分别为,代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：,例 已知同轴线的内导体半径为a，电压为u，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。,解 对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。,求得,选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为,利用边界条件：,最后求得,求得,为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。,对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法

56、。,分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。,为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。,分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。,3. 直角坐标系中的分离变量法,在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为,令,式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。,代入上式，两边再除以 ，得,同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。,令各项的常数分别为 ，求得,式中，kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或

57、虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程,由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。,或者,式中，a, b, c, d为待定常数。,例如，含变量 x 的常微分方程的通解为,当kx为虚数时，令 ，则上述通解变为,或者,含变量 x 或 y 的常微分方程的解完全相同。,解中待定常数也取决于给定的边界条件。,解的形式的选择决取于给定的边界条件。,这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。,例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。,电位满足的拉普拉斯方程变为,解 选取直角坐标系。槽中电位分布与 z 无关，这是一个二维场的问题。,应用分离变量法，令,为了满足 及 ，y(y) 的解应为,槽中电位满足的边界条件为,因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 b = 0