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文档简介

1、实数竞赛卷一选择题(共10小题)1已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数,在上述假设下,有人提出了以下四个结论:(1)x2是有理数;(2)(x1)(x3)是无理数;(3)(x+1)2是有理数;(4)(x1)2是无理数并说它们中有且只有n个正确的,那么n等于()A3B1C2D42设a=,b=,c=,d=,则a、b、c、d的平均数是()A0.7B0.7777CD3+=()A2B1C0D24设S=19+199+1999+1999(最后一个加数中有99个9),则S的末九位数字的和是()A19B81C16D795设a=,b=,c=0.045,则()AabcBbcaCabcDbac6设实数P=,则

2、P满足()A0P1B1P2C2P3DP=7若x=,则():()=()AB7:6Cx2:1Dx8如果a+ab+b=,且b是有理数,那么()Aa是整数Ba是有理数Ca是无理数Da可能是有理数,也可能是无理数9有四个命题:如果两个整数的和与积都相等,那么这两个整数都等于2;每一个角都等于179的多边形是不存在的;只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于;若,是不相等的无理数,则+是无理数其中正确的命题个数是()A1B2C3D410设a=1996,b=9619,c=1996,d=6199,则此四个数的大小关系为()AabcdBdabcCcdabDbcda二填空题(共3小题)11已知圆周率=3.,则不

3、大于3的最大整数是_不小于3的最小整数是_12在平面直角坐标系中,点P的坐标是,m、n都是有理数,过P作y轴的垂线,垂足为H,已知OPH的面积为,其中O为坐标原点,则有序数对(m,n)为_(写出所有满足条件的有序数对(m,n)13若,则k=_三解答题(共2小题)14设,为有理数,为无理数,若+=0,求证:=015证明:是无理数实数竞赛数学组卷参考答案与试题解析一选择题(共10小题)1已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数,在上述假设下,有人提出了以下四个结论:(1)x2是有理数;(2)(x1)(x3)是无理数;(3)(x+1)2是有理数;(4)(x1)2是无理数并说它们中有且只有n个正

4、确的,那么n等于()A3B1C2D4考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:根据x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数,得出x2+4x+3是有理数,再将选项中各式变形,再利用有理数与无理数的性质得出即可解答:解:x是无理数,且(x+1)(x+3)=x2+4x+3,是有理数,(1)x2是有理数,则x2+4x+3为无理数,矛盾,故此选项错误;(2)(x1)(x3)=(x2+4x+3)8x,而有理数减无理数仍为无理数,故此选项正确,(3)(x+1)2=(x2+4x+3)2x2是无理数;故此选项错误;(4)(x1)2=(x2+4x+3)6x2是无理数;故此选项正确;正确的有:2个故选:C点评:此题

5、主要考查了有理数与无理数的概念与运算,根据已知得出x2+4x+3是有理数再将选项各式使其出现x2+4x+3是解题关键2设a=,b=,c=,d=,则a、b、c、d的平均数是()A0.7B0.7777CD考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:首先把循环小数化为分数,a=,b=,c=,d=,然后求a、b、c、d的平均数解答:解:a=,b=,c=,d=,所以=故选D点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的关键是熟练掌握把循环小数化成分数的方法,此题难度不大3+=()A2B1C0D2考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:先计算出第一项的指数,得到结果为偶数;第二项的指数运算结果

6、为奇数,根据1的偶次幂为1,奇次幂为1,可得出最后结果解答:解:235为偶数,532为奇数,=1,=1,则=1+(1)=0故选C点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的关键是熟练掌握指数幂的运算性质,此题难度不大4设S=19+199+1999+1999(最后一个加数中有99个9),则S的末九位数字的和是()A19B81C16D79考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:首先可得19=201,199=2001,1999=20001,1999=210991,于是可以求出末尾九位数为99,进而求出S的末九位数字的和解答:解:19=201,199=2001,1999=20001,

7、1999=210991,故S=19+199+1999+1999=20+200+2000+2109999,末尾九位数为99=,故S的末九位数字的和是2+2+2+2+2+2+1+2+1=16故选C点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的关键是分别把1999写成210n1的形式,此题难度不大5设a=,b=,c=0.045,则()AabcBbcaCabcDbac考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:首先把a=,b=化成小数,然后比较a、b和c的大小解答:解:a=0.041,b=0.0,c=0.045,故abc故选C点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的关

8、键是把分数化成小数,此题难度一般6设实数P=,则P满足()A0P1B1P2C2P3DP=考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:首先估算出1.51.6,1.81.9,22.1,然后计算出P=的范围解答:解:1.51.6,1.81.9,22.1,12故选B点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的关键是对、和进行估算,此题难度不大7若x=,则():()=()AB7:6Cx2:1Dx考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:首先根据x=,求出=,然后代值进行化简即可解答:解:x=,=,():()=(+):(+)=故选A点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,解答本题的

9、关键是分母有理化,此题难度不大8如果a+ab+b=,且b是有理数,那么()Aa是整数Ba是有理数Ca是无理数Da可能是有理数,也可能是无理数考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:先把等式两边同时除以ab,进而可得到a+b=(1ab),再根据等式一边出现无理数则a,b中必有一个数为无理数即可进行解答解答:解:a+ab+b=,a+b=(1ab)等式一边出现无理数,若a,b均为有理数,则等式恒不成立,又b为有理数,a必为无理数故选C点评:本题考查的是有理数及无理数的概念及运算,能把原式化为a+b=(1ab)的形式是解答此题的关键9有四个命题:如果两个整数的和与积都相等,那么这两个整数都等于2;每一

10、个角都等于179的多边形是不存在的;只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于;若,是不相等的无理数,则+是无理数其中正确的命题个数是()A1B2C3D4考点:有理数无理数的概念与运算;三角形的面积;多边形内角与外角。 分析:根据整数的运算,多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识,分别判断各选项即可得出答案解答:解:如果两个整数的和与积相等,那么这两个整数都等于0或2,故命题错误;每一个角都等于179的多边形是360边形,是存在的,故命题错误;当三边长分别为1、1、时,满足面积等于,且只有一条边大于1,故命题正确;只要令=1+,=1+,则+为有理数,故命题错误综上可得正确,共1个故选

11、A点评:本题综合考查了有理数及无理数的运算,三角形的面积及多边形的内角与外角的知识,关键是熟练整数的四则运算,三角形的面积计算,多边形的内角和定理的理解和运用,有一点的难度10设a=1996,b=9619,c=1996,d=6199,则此四个数的大小关系为()AabcdBdabcCcdabDbcda考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:由a=1996=36148,可判断出a和b的大小关系,将d变成216,可判断出c和d的大小,进而结合选项利用排除法即可得出答案解答:解:a=1996=36148,b=9619,ab,又c=1996,d=,dc,结合选项可得只有B符合点评:本题考查了有理数无理数

12、的概念及计算,关键是将幂指数转化为底数使底数改变,从而达到比较大小的目的,有一定的技巧,难度较大二填空题(共3小题)11已知圆周率=3.,则不大于3的最大整数是31不小于3的最小整数是32考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:根据圆周率=3.,把精确到千分位可得=3.142,求出精确后圆周率的三次方,进而求出不大于3的最大整数和不小于3的最小整数解答:解:已知圆周率=3.,把精确到千分位可得=3.142,故3.142331.018,故不大于3的最大整数是31,不小于3的最小整数是32,故答案为31、32点评:本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点,熟练掌握整数的性质,此题比较简单12在

13、平面直角坐标系中,点P的坐标是,m、n都是有理数,过P作y轴的垂线,垂足为H,已知OPH的面积为,其中O为坐标原点,则有序数对(m,n)为(1,2),(2,1),(2,1),(1,2)(写出所有满足条件的有序数对(m,n)考点:有理数无理数的概念与运算;点的坐标;三角形的面积。 分析:由OPH的面积为,根据三角形的面积公式可以得到:(+m)(+n)=,然后根据m,n是有理数就可以求出m,n的值,最后求出有序数对(m,n)解答:解:SOPH=,(+m)(+n)=,2+(m+n)+mn=,(m+n1)+mn+2=0或(m+n+1)+mn+2=0,m,n都是有理数,或,解得:,;有序数对(m,n)为

14、:(1,2),(2,1),(2,1),(1,2)故答案为:(1,2),(2,1),(2,1),(1,2)点评:此题考查了有理数的概念,点的坐标以及三角形的面积问题此题难度较大,解此题的关键是利用了m,n是有理数来得到关于m,n的方程13若,则k=3+考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:先去分母,再将等式的右边计算出来,然后化简,再计算出k的值解答:解:原式可化为+k2=(+)(+)(),即+k2=32+2,k=3+3,即k=3+故答案为3+点评:本题考查了无理数的运算,熟悉二次根式的加减乘除混合运算是解题的关键三解答题(共2小题)14设,为有理数,为无理数,若+=0,求证:=0考点:有理数

15、无理数的概念与运算。 分析:此题从正面很难证明,故可利用反证法,假设0,用、表示出的值,再根据,为有理数即可得出与为无理数相矛盾,故可得出=0,再代入已知代数式即可求出的值解答:证明:假设0,+=0,(1)=,又,为有理数,为有理数,与为无理数矛盾假设不成立=0代入(1)得,=0,=0点评:本题考查的是无理数及有理数的概念及运算,在解答此类题目时要注意反证法的使用15证明:是无理数考点:有理数无理数的概念与运算。 分析:运用反证法证明假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得=,那么可证p和q都是3的倍数,这与假设p,q互质矛盾,从而假设不成立,故结论成立解答:证明:假设是有理数12,不是整数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得=,于是p=q两边平方,得p2=3q23q2是3的倍数,p2是3的倍数,又p是正整数,p是3的倍数设p=3k(k

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