含答案-实数竞赛数学组卷

1、实数竞赛卷一选择题（共10小题）1已知x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）x2是有理数；（2）（x1）（x3）是无理数；（3）（x+1）2是有理数；（4）（x1）2是无理数并说它们中有且只有n个正确的，那么n等于（）A3B1C2D42设a=，b=，c=，d=，则a、b、c、d的平均数是（）A0.7B0.7777CD3+=（）A2B1C0D24设S=19+199+1999+1999（最后一个加数中有99个9），则S的末九位数字的和是（）A19B81C16D795设a=，b=，c=0.045，则（）AabcBbcaCabcDbac6设实数P=，则

2、P满足（）A0P1B1P2C2P3DP=7若x=，则（）：（）=（）AB7：6Cx2：1Dx8如果a+ab+b=，且b是有理数，那么（）Aa是整数Ba是有理数Ca是无理数Da可能是有理数，也可能是无理数9有四个命题：如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；每一个角都等于179的多边形是不存在的；只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于；若，是不相等的无理数，则+是无理数其中正确的命题个数是（）A1B2C3D410设a=1996，b=9619，c=1996，d=6199，则此四个数的大小关系为（）AabcdBdabcCcdabDbcda二填空题（共3小题）11已知圆周率=3.，则不

3、大于3的最大整数是_不小于3的最小整数是_12在平面直角坐标系中，点P的坐标是，m、n都是有理数，过P作y轴的垂线，垂足为H，已知OPH的面积为，其中O为坐标原点，则有序数对（m，n）为_（写出所有满足条件的有序数对（m，n）13若，则k=_三解答题（共2小题）14设，为有理数，为无理数，若+=0，求证：=015证明：是无理数实数竞赛数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）x2是有理数；（2）（x1）（x3）是无理数；（3）（x+1）2是有理数；（4）（x1）2是无理数并说它们中有且只有n个正

4、确的，那么n等于（）A3B1C2D4考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：根据x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，得出x2+4x+3是有理数，再将选项中各式变形，再利用有理数与无理数的性质得出即可解答：解：x是无理数，且（x+1）（x+3）=x2+4x+3，是有理数，（1）x2是有理数，则x2+4x+3为无理数，矛盾，故此选项错误；（2）（x1）（x3）=（x2+4x+3）8x，而有理数减无理数仍为无理数，故此选项正确，（3）（x+1）2=（x2+4x+3）2x2是无理数；故此选项错误；（4）（x1）2=（x2+4x+3）6x2是无理数；故此选项正确；正确的有：2个故选：C点评：此题

5、主要考查了有理数与无理数的概念与运算，根据已知得出x2+4x+3是有理数再将选项各式使其出现x2+4x+3是解题关键2设a=，b=，c=，d=，则a、b、c、d的平均数是（）A0.7B0.7777CD考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：首先把循环小数化为分数，a=，b=，c=，d=，然后求a、b、c、d的平均数解答：解：a=，b=，c=，d=，所以=故选D点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是熟练掌握把循环小数化成分数的方法，此题难度不大3+=（）A2B1C0D2考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：先计算出第一项的指数，得到结果为偶数；第二项的指数运算结果

6、为奇数，根据1的偶次幂为1，奇次幂为1，可得出最后结果解答：解：235为偶数，532为奇数，=1，=1，则=1+（1）=0故选C点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是熟练掌握指数幂的运算性质，此题难度不大4设S=19+199+1999+1999（最后一个加数中有99个9），则S的末九位数字的和是（）A19B81C16D79考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：首先可得19=201，199=2001，1999=20001，1999=210991，于是可以求出末尾九位数为99，进而求出S的末九位数字的和解答：解：19=201，199=2001，1999=20001，

7、1999=210991，故S=19+199+1999+1999=20+200+2000+2109999，末尾九位数为99=，故S的末九位数字的和是2+2+2+2+2+2+1+2+1=16故选C点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是分别把1999写成210n1的形式，此题难度不大5设a=，b=，c=0.045，则（）AabcBbcaCabcDbac考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：首先把a=，b=化成小数，然后比较a、b和c的大小解答：解：a=0.041，b=0.0，c=0.045，故abc故选C点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关

8、键是把分数化成小数，此题难度一般6设实数P=，则P满足（）A0P1B1P2C2P3DP=考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：首先估算出1.51.6，1.81.9，22.1，然后计算出P=的范围解答：解：1.51.6，1.81.9，22.1，12故选B点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是对、和进行估算，此题难度不大7若x=，则（）：（）=（）AB7：6Cx2：1Dx考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：首先根据x=，求出=，然后代值进行化简即可解答：解：x=，=，（）：（）=（+）：（+）=故选A点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的

9、关键是分母有理化，此题难度不大8如果a+ab+b=，且b是有理数，那么（）Aa是整数Ba是有理数Ca是无理数Da可能是有理数，也可能是无理数考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：先把等式两边同时除以ab，进而可得到a+b=（1ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答解答：解：a+ab+b=，a+b=（1ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又b为有理数，a必为无理数故选C点评：本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=（1ab）的形式是解答此题的关键9有四个命题：如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；每一

10、个角都等于179的多边形是不存在的；只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于；若，是不相等的无理数，则+是无理数其中正确的命题个数是（）A1B2C3D4考点：有理数无理数的概念与运算；三角形的面积；多边形内角与外角。 分析：根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案解答：解：如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；每一个角都等于179的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；当三边长分别为1、1、时，满足面积等于，且只有一条边大于1，故命题正确；只要令=1+，=1+，则+为有理数，故命题错误综上可得正确，共1个故选

11、A点评：本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度10设a=1996，b=9619，c=1996，d=6199，则此四个数的大小关系为（）AabcdBdabcCcdabDbcda考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：由a=1996=36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成216，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案解答：解：a=1996=36148，b=9619，ab，又c=1996，d=，dc，结合选项可得只有B符合点评：本题考查了有理数无理数

12、的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大二填空题（共3小题）11已知圆周率=3.，则不大于3的最大整数是31不小于3的最小整数是32考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：根据圆周率=3.，把精确到千分位可得=3.142，求出精确后圆周率的三次方，进而求出不大于3的最大整数和不小于3的最小整数解答：解：已知圆周率=3.，把精确到千分位可得=3.142，故3.142331.018，故不大于3的最大整数是31，不小于3的最小整数是32，故答案为31、32点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，熟练掌握整数的性质，此题比较简单12在

13、平面直角坐标系中，点P的坐标是，m、n都是有理数，过P作y轴的垂线，垂足为H，已知OPH的面积为，其中O为坐标原点，则有序数对（m，n）为（1，2），（2，1），（2，1），（1，2）（写出所有满足条件的有序数对（m，n）考点：有理数无理数的概念与运算；点的坐标；三角形的面积。 分析：由OPH的面积为，根据三角形的面积公式可以得到：（+m）（+n）=，然后根据m，n是有理数就可以求出m，n的值，最后求出有序数对（m，n）解答：解：SOPH=，（+m）（+n）=，2+（m+n）+mn=，（m+n1）+mn+2=0或（m+n+1）+mn+2=0，m，n都是有理数，或，解得：，；有序数对（m，n）为

14、：（1，2），（2，1），（2，1），（1，2）故答案为：（1，2），（2，1），（2，1），（1，2）点评：此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程13若，则k=3+考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：先去分母，再将等式的右边计算出来，然后化简，再计算出k的值解答：解：原式可化为+k2=（+）（+）（），即+k2=32+2，k=3+3，即k=3+故答案为3+点评：本题考查了无理数的运算，熟悉二次根式的加减乘除混合运算是解题的关键三解答题（共2小题）14设，为有理数，为无理数，若+=0，求证：=0考点：有理数

15、无理数的概念与运算。 分析：此题从正面很难证明，故可利用反证法，假设0，用、表示出的值，再根据，为有理数即可得出与为无理数相矛盾，故可得出=0，再代入已知代数式即可求出的值解答：证明：假设0，+=0，（1）=，又，为有理数，为有理数，与为无理数矛盾假设不成立=0代入（1）得，=0，=0点评：本题考查的是无理数及有理数的概念及运算，在解答此类题目时要注意反证法的使用15证明：是无理数考点：有理数无理数的概念与运算。 分析：运用反证法证明假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，那么可证p和q都是3的倍数，这与假设p，q互质矛盾，从而假设不成立，故结论成立解答：证明：假设是有理数12，不是整数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，于是p=q两边平方，得p2=3q23q2是3的倍数，p2是3的倍数，又p是正整数，p是3的倍数设p=3k（k