数学分析刘玉琏18-4

1、4 条件极值,第十八章 隐函数定理及其应用,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,条件极值问题：,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,引例 求函数 的自变量适合条件,显然z是x的一元函数，则,得稳定点 x = 1 , 对应的 y = 1 .,因此点(x,y) = (1,1)为函数 z 满足约束条件下的极大值点, (x,y) = x + y2 = 0,此一元函数只有一个极大值,故 z = (1,1) = 为极大值.,的极大值.,第十八章隐函数定理及其

2、应用4条件极值,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,必满足,设,记,例如,故稳定点,故有,稳定点必满足,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,引入辅助函数,辅助函数l 称为拉格朗日( lagrange )函数.,利用拉格朗日,则稳定点满足:,函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值,点，并能得出是最大值点还是最小值点.,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,例 求周长为a而面积最大的长方形.,解 设长方形的长、宽分别为x、y,则其面积为 s = xy .,令函数l(x,y,) = xy +

3、 ( 2x+2ya )，,则由方程组,因问题本身有最大值且稳定点唯一,故,问题变为在约束条件 2x + 2y = a 下求函数 s = xy 的最大值.,故周长为a而面积最大的长方形是边长等于,是最大值点.,的正方形.,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,注,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. (p166定理18.6),设,解方程组,可得到条件极值的解 .,例如(补充), 求函数,下的极值.,在条件,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,例1(p166),要设计一个容量为v的长方体开口水箱, 试问水箱长、,则问题为求x , y ,z使在,令,解方程组,解 设 x , y

4、, z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,条件 xyz = v,宽、高等于多少时所用材料最省?,得唯一稳定点,由题意可知合理的设计是存在的,为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为 长、宽,例 某商品的生产函数为 ，其中q为产品产量，k为资本投入量，l为劳动力投入量；又知资本投入价格为4，劳动力投入价格为3，产品销售价格为 p = 2 . 若投入总额为60个单位时,求此时取最大利润时的投入及最大利润.,解 由题意知：成本函数为 c(k,l) = 4k+3l，,收益函数为 r(k,l) = pq = 2q,g(k,l) = r(k,l) c(k,l) =,则利润函数为,此问题属

5、于条件极值. 其约束条件为,c(k,l) = 4k+3l = 60.,则拉格朗日函数 f(k,l) = g(k,l) + (4k+3l60),第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,则由方程组,故最大利润为,则拉格朗日函数 f(k,l),第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,此时的资本投入量为6，,劳动力投入量为16.,解 这个问题实质上就是要求函数,在条件 x2 + y2 z = 0 及 x + y + z = 1 下的最大、最小值问题.,应用拉格朗日乘数法，令,对l求一阶偏导数，并令它们都等于零，则有,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,求得这方程组的解为,这就是拉格朗日函数 l 的稳定点

6、，且所求的条件极值点必在其中取 得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 f 在有界闭集上连 续，从而必存在最大值与最小值），故由,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,解 设拉格朗日函数为,对l求偏导数，并令它们都等于零，则有,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,下面判断该稳定点为极小值点：目标函数,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值 点，这样就有不等式,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,习题：p1694习题 1-6题； p170总练习题3,5,6,9； 经济应用题课程主页 ( .,第十八章隐函数定理及其应用4条件极值,设某工厂生产甲产品数量s(吨)与所用