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文档简介

1、泛函分析,主讲教师 ：何中全,西华师范大学 数学与信息学院,1. 度量空间的进一步例子,第七章 度量空间和赋范线性空间,度量空间和度量的定义.,例1 离散的度量空间,例2 序列空间S,例3 有界函数空间B（A）,例4 可测函数空间M(X),例5 连续函数空间Ca,b,例6 空间,教学过程： 复习引入： （1）复习第二章n维欧氏空间中的邻域，开集、闭集、极限等相应概念。 （2） 今天学习的度量空间与 n维欧氏空间有什么样子的区别和联系呢？进而举例说明常用的几种不同度量空间。 讲解新课： 例 1 离散的度量空间 设X是任意的非空集合，对X中任意两点 ，令 容易验证 满足第二章中关于举例的定义中的条

2、件 及 。我们称 为离散的估量空间。由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离。使它成为度量空间。 例 2 序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点 及 ，令 易知 满足距离条件 ，下面验证 满足距离条件 。为此我们首先证明对任意两个复数 和 ，成立不等式 事实上，我们考察 上的函数 由于在 上， 所以 在 上单调增加，由不等式 ，我们得到,令 ， ， 则 ，代入上面不等式，得 由此立即可知 满足距离条件 ，即S按 成一度量空间。 例 3 有界函数空间B(A) 设A是一给定的集合，令B(A) 表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点 x,y，定义 下面验证 满

3、足条件 和 。 显然是非负的。又 等价于对一切 ，成立 ，所以 ，即 满足条件 ，此外，对所有的 成立 所以 即 满足条件 ，特别的，当 时，记 B(A) 为 . 例 4 可测函数空间,设 为X上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m为Lebesgue 测度，若 ， 对任意两个可测函数 及 ，由于 所以这是X上的可积函数，令 如果把 中的两个几乎处处相等的函数视为 中的同一个元，那么利用不等式 及积分性 质很容易验证 是距离。因此 按上述距离 成为度量空间。 例 5 空间 令 表示闭区间 上的实值（或复值）连续函数全体，对 中任意两点 ，定义 容易验证它满足距离条件 和 例 6 记 ，定义 则d是 的距离。距离条件 是容易得出的，现检验条件 对任何正整数n， 和 都是 中的元素，由Cauchy 不等式,再令右端 ，即得 再令左端的 即得 由此可得 令取 。以 代入上式，即可得 的三点不等式 由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外，还包括其他的空间,教学目标： （一） 知识与技能目标： 1 把在第二章的维欧氏空间中学习过的邻域、极限、开集、闭集等相应概念转移到度量空间中来。 2 引入更多的度量空间的例子和泛函分析中的证明思想。 （二） 过程与方法目标： 从一些具体的空间实例中加深对基本概念的理解。 教材分析： （一） 教学重点：离散度量空间，

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