第2-5章_概率论与统计学基础.ppt

1、第一部分,概率论与统计学基础,基本符号,基本符号,基本符号,基本符号,基本符号,基本符号,基本符号,基本符号,随机实验,至少有两个可能结果，但不确定哪个结果会出现的实验。 例如： 约会请求,总体,随机实验所有可能结果的集合,随机变量,将实验的每一结果量化，就可以用随机变量来刻划总体 随机变量：取值由随机实验结果决定的变量(如：大头朝上的个数1、2、0),概率,随机实验某一结果发生的可能性，或 随机变量取某一数值的可能性 古典定义：假设随机实验每一基本结果发生的可能性都相同（丢硬币，抽王8） 频率定义：频数除以事件发生的总数（班级成绩十档划分） 0p1,总体与样本,总体对应的随机变量（Y）,英语

2、 期末成绩 85分,总体与样本,总体和抽样 随机样本 个体，样本容量 随机样本对应的随机变量：独立同分布随机变量的集合 一个样本：一组观察值,离散型随机变量,概率函数,X-正面朝上的次数，0（1/4）,1（1/2）,2（1/4） -一个硬币扔两次,商A0731班第四学期英语期末成绩,实验：随机抽一位同学 问题： 你被抽中的概率是多少？ 用随机变量Y代表被抽中同学的成绩 1、Y的取值范围： A0731班第四学期英语期末成绩 2、Y的概率函数,离散型随机变量,连续型随机变量,概率密度函数,标准正态分布,期望值,期望值：随机变量集中趋势的度量 以概率为权数的加权平均值 定义：离散型随机变量数学期望

3、变量X的取值x1x2xn 相应概率Pp1p2pn,期望值,期望值：随机变量的集中趋势 以概率为权数的加权平均值 定义：离散型随机变量数学期望 变量X的取值x1x2xn 相应概率Pp1p2pn,期望值,期望值,连续型随机变量：,数学期望的性质,1. 若a、b为常数，则E(aX+b)=aE(X)+b 2. 若X、Y为两个随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 3. 若g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X) 4.若X、Y是两个独立的随机变量， E(XY)=E(X) E(Y),条件期望,E(Y | X) :给定X的取值，Y的期望值 性质1： 如果

4、E(Y | X) E(Y) a，则X与Y不相关 性质2： 如果E(Y | X) f（X），则X与Y相关,方差,方差：随机变量离散程度的度量,平均值,实际值,方差,方差：随机变量平均离散程度的度量 若随机变量X的数学期望E(X)存在，称 X-E(X)为随机变量X的离差。 随机变量离差平方的数学期望，叫随机变量的方差，记作Var(x) 方差的算术平方根叫标准差。,方差,随机变量离差平方的数学期望，叫随机变量的方差，记作Var(x) 方差的算术平方根叫标准差。,方差的性质,（1）Var(c)=0 （2）Var(c+x)=Var(x) （3）Var(cx)=c 2 Var(x) （4）如果x,y为相互

5、独立的随机变量，则 Var(x+y)=Var(x)+Var(y)=Var(x-y) （5）Var(a+bx)=b 2 Var(x) （6）Var(x)=E(x2)-(E(x)2,趋势,连续型随机变量的期望与方差,协方差,一种特殊的期望值，度量两个随机变量同时变动的方向,协方差,一种特殊的期望值，度量两个随机变量同时变动的方向,协方差为正：同方向变动 协方差为负：反方向变动,(线性)相关系数,-1 相关系数 0 0 相关系数 1,相关与独立,相关系数为零，则不相关 不相关，不一定相互独立 相互独立，则一定不相关，相关系数为零,样本与总体,总体：随机变量Y 例如：全班同学上学期的英语成绩 随机样本

6、，样本容量 例如，五个成绩，即五个随机变量 Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 1、样本的随机变量和总体的随机变量同分布 2、样本的随机变量相互独立,估计量（估计公式）,用样本估计总体参数的公式 例如代表上学期英语成绩的随机变量Y的均值 随机样本：Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 问题： 如何估计Y的均值（期望值）？ 加总39个同学的成绩再除以39？ 样本均值：（Y1Y2Y3Y4Y5）/5,估计量与估计值,估计量是随机变量 随机样本：无数个样本（575757） 一个具体的样本： 1、样本中每个随机变量都取定一个观察值 2、根据估计量的公式计算估计值,实验,计算： （Y1Y2Y3Y4Y5）/5 总体均值：

7、 72.28,估计量,估计总体的公式 总体方差的估计量：样本方差,估计量,估计总体的公式 总体方差的估计量：样本方差,估计量的选择标准,可以设计很多种估计量。 衡量估计量优良性的重要标准： 无偏性，有效性,无偏性,无偏性的直观意义： 根据样本推得的总体参数的估计值和总体参数的真值一般不会相同 但是，无数个样本估计值的均值可以和总体参数的真值相同 “平均来说，我的估计方法是准确的” 特别提醒：无偏性是估计量的性质，不是估计值的性质。,无偏性,有效性,总体某个参数的无偏估计量往往不只一个，而且无偏性仅仅表明估计量的所有可能的取值按概率平均（均值）等于，它的可能取值可能大部分与相差很大。 为保证估计量的取值能集中于附近，必须要求估计量的方差越小越好。所以，提出有效性标准。,有效性,有效性,正态分布,正态分布的概率密度函数,正态分布,小概率事件,如果随机变量X服从正态分布，方差为 那么|X| 2的概率是5 在实践中，人们普遍认为小概率事件是不可能发生的 反证法：如果根据某一假设进行推理，得到的结果是一个小概率事件， 那么可以认为上述假设是错误的,标准正态分布,正态分布的性质,中心极限定理,随数量的增加，独立同分布随机变量的和趋向于服从正