2单自由度系统受迫振动之线性系统的受迫振动.ppt

1、单自由度系统受迫振动,主讲：周利东 太原科技大学 机械工程学院 2011-10-20,教学内容,单自由度系统受迫振动,线性系统的受迫振动 工程中的受迫振动问题 任意周期激励的响应 非周期激励的响应,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳,单自由度系统受迫振动,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动,弹簧质量系统,设,外力幅值,外力的激励频率,振动微分方程：,x 为复数变量，分别与,实部和虚部分别与,单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动,受力分析，以静平衡位置为坐标原点，建立图示的坐标系,和,相对应,和,

2、相对应,参考文献振动力学(刘延柱)P31 振动力学(倪振华)P79,振动微分方程：,显含时间 t 非齐次微分方程,非齐次微分方程通解,齐次微分方程通解,非齐次微分方程特解,阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应,持续等幅振动 稳态响应 本节内容,单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动,振动微分方程：,设：,代入，有：,复频响应函数,振动微分方程：,引入：,振幅放大因子,相位差,则：,：稳态响应的复振幅,静变形,单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动,代入，有：,稳态响应的实振幅,若：,则：,无阻尼情况：,单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动,（1）线性系统对简谐激励的稳态响

3、应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动,（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关,结论：,单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动,幅频特性,相频特性,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳,单自由度系统受迫振动,稳态响应的特性,以s为横坐标画出 曲线,幅频特性曲线,简谐激励作用下稳态响应特性：,（1）当s1（ ）,激振频率相对于系统固有频率很低,结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当,单自由度系统受迫振

4、动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,（2）当s1（ ）,激振频率相对于系统固有频率很高,结论：响应的振幅 很小,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,（3）在以上两个领域 s1，s1,结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的,对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,结论：共振 振幅无穷大,（4）当,对应于较小 值， 迅速增大,当,但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,（5）对于有阻尼系统， 并不出现在s=1处

5、，而且稍偏左,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,（6）当,振幅无极值,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,记：,品质因子,在共振峰的两侧取与 对应的两点 ，,带宽,Q与 有关系 ：,阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,稳态响应特性,相频特性曲线,（1）当s1（ ）,以s为横坐标画出 曲线,相位差,位移与激振力在相位上几乎相同,（2）当s1（ ）,位移与激振力反相,（3）当,共振时的相位差为 ，与阻尼无关,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,有阻尼单自由度系统,外部作用力规律：,假设系统固有频率：,从

6、左到右：,单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳,单自由度系统受迫振动,受迫振动的过渡阶段,在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加,显含 t，非齐次微分方程,非齐次微分方程 通解,齐次微分方程 通解,非齐次微分方程 特解,阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应,持续等幅振动 稳态响应,回顾：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,受迫振动的过渡阶段,先考虑无阻尼的情况,假定正弦激励,通解：,齐次通解,非齐次特

7、解,初始条件决定,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,特点：以系统固有频率为振动频率,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,如果是零初始条件,自由伴随振动,强迫响应,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,零初始条件,(2) s 1,(1) s 1,稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环,自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环,受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动,受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动,单自由度系统受迫振动 / 受迫

8、振动的过渡阶段,由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解,通解：,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生,实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,解：,的全解：,如果要使系统响应只以 为频率振动,必须成立：,初始条件：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,解：,的全解：,正确？,全解：,由,求一阶导数：,由,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,全解：,因此：,的全解：,相同,不同,单自

9、由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,全解：,如果要使系统响应只以 为频率振动,初始条件：, 0,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,若激励频率与固有频率十分接近 （但并不等于）,令：, 小量,考虑零初始条件，有：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,代入：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,1,可看作频率为 但振幅按 规律缓慢变化的振动,这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”,拍的周期：,图形包络线：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,当,随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形,响应曲线,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡

10、阶段,讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,利用前述相同的方法，有：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动,自由伴随振动,强迫响应,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,对于零初始条件：,单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段,表示出零初始条件下， 时系统在过渡阶段的振动情况。,（a）激振力 （b）自由伴随振动 （c）稳态强迫振动 （d）过渡阶段的强迫振动,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特

11、性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳,单自由度系统受迫振动,简谐惯性力激励的受迫振动,背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动 特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例,坐标：,动力学方程：,基座位移规律 ：,x1 相对基座位移,受力分析（某瞬时t）,D：基座位移振幅,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,以物体与支座静止时的平衡位置为原点,动力学方程：,回顾：,令：,有：,其中：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,幅频曲线,相频曲线,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,有阻尼的单自由度承受支撑运动,支撑运动：,系统固

12、有频率从左到右：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,若以绝对位移 x 为坐标,其中：,则有：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,代入：,无阻尼情况：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,幅频曲线,可看出：,当 时，,振幅恒为支撑运动振幅D,当 时，,振幅恒小于D,增加阻尼反而使振幅增大,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,例：,汽车的拖车在波形道路上行驶,已知拖车的质量满载时为 m1=1000 kg,空载时为 m2=250 kg,悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m,阻尼

13、比在满载时为,车速为 v =100 km/h,路面呈正弦波形，可表示为,求： 拖车在满载和空载时的振幅比,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,参考文献振动力学(倪振华)P107,解：,汽车行驶的路程可表示为：,路面的激励频率：,l =5 m,因此：,得：,c、k 为常数，因此 与 成反比,因此得到空载时的阻尼比为：,满载和空载时的频率比：,因为有：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,满载时频率比,记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2,有：,满载时阻尼比,空载时阻尼比,空载时频率比,因此满载和空载时的振幅比：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动

14、,支承运动小结,相对位移,基座位移规律 ：,绝对位移,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为,x：机器离开平衡位置的垂直位移,则偏心质量的垂直位移：,由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：,简化图形,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,参考文献振动力学(倪振华)P99,me ：不平衡量,：不平衡量引起的离心惯性力,设：,得：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,B 又写为 ：,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫

15、振动,例：偏心质量系统,共振时测得最大振幅为0.1 m,由自由衰减振动测得阻尼系数为,假定,求： （1）偏心距 e，,（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,解:（1）,共振时测得最大振幅为0.1 m,由自由衰减振动测得阻尼系数为,共振时最大振幅,（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动,偏心质量小结,解1：,解2：,线性系统的受迫振动,简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的

16、受迫振动 机械阻抗与导纳,单自由度系统受迫振动,机械阻抗与导纳,工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性,机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比,动力学方程：,：输入,：输出,代入，得：,复频响应函数,根据定义，位移阻抗：,单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳,位移阻抗与复频响应函数互为倒数， 也称为导纳,输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、 、 分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳,单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳,位移阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数,现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征,单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳,复频响应函数又可写为：,模及