自动控制原理的时域分析法

1、第三章控制系统的时域分析方法。对于线性系统，有三种常用的分析方法：时域分析法；根轨迹法；频率特性法。引言时域分析是一种直观、准确的直接分析方法。其稳定性分析和精度分析适用于任意阶系统，其动态性能分析适用于低阶系统。时域分析：根据微分方程，通过拉普拉斯变换直接得到系统的时间响应，然后根据响应曲线分析系统的性能。3-1典型输入信号，系统的数学模型由其自身的结构和参数决定；系统的输出由其数学模型、初始状态和输入信号形式决定。典型的输入信号有：阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号和正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达式简单，易于分析和处理，易于实验室获取。阶跃信号，a是常数，a=1的阶跃函数称为

2、单位阶跃函数。表达式：拉普拉斯变换：2。斜坡函数，拉普拉斯变换：a是常数，a=1的阶跃函数称为单位斜率函数。表达式：a是常数，a=1的阶跃函数称为均匀加速函数。3。等加速度信号，表达式：拉普拉斯变换：是一个常数，阶跃函数与=0被称为单位脉冲函数，它被写成。4。脉冲信号，表达式：理想脉冲：拉普拉斯变换：5。正弦信号，表达式：分析实际系统时使用的信号取决于系统的实际输入信号。正弦信号主要用于计算频率响应。3-2系统。对于线性时不变系统，输入为：输出用微分方程描述如下，传递函数可用微分方程得到，时间响应为，动态过程从初始状态到近稳态的响应。稳态过程t趋于无穷大时的输出状态。时域性能指标、稳定性动态性

3、能指标、稳态(静态)性能指标、单位阶跃响应性能指标：1。延迟时间td:指h(t)上升到稳态的50%所需的时间。2上升时间tr:指h(t)首次上升到稳态值所需的时间。峰值时间tp:h(t)首次达到峰值所需的时间。以上三个指标代表系统初始阶段的速度。超调：h(t)最大值与稳态值之差与稳态值之比：5调整时间ts:指h(t)与h(t)之间的偏差达到允许范围(2%-5%)时的瞬态过程时间。它反映了系统的快速性。6振荡次数n:调整时间内输出偏离稳态的次数。7稳态误差ess:单位反馈中实际值(稳态)和期望值(1(t)之间的差值。它反映了系统的准确性。3-3控制系统的稳定性(劳斯判据用于判断稳定性)，稳定性劳

4、斯判据的基本概念两种特殊情况下稳定裕度试验参数对系统稳定性的影响，1 .稳定性的基本概念，图(a)表明球在一个凹面上，最初的平衡位置是a，当球受到外力作用后偏离a，例如，偏离到b，当外力消除后，球经过几次振荡最终可以回到平衡位置。相反，如图(b)所示，它是不稳定的。稳定性的定义，任何系统在扰动的作用下都会偏离原来的平衡状态而产生初始偏差。所谓稳定性是指扰动消除后，从初始状态返回到初始平衡状态的性能；如果系统能恢复平衡，就说系统是稳定的，否则就是不稳定的。稳定性是系统的固有特征。对于线性系统，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件和外部效应无关。稳定性分析有几种方法：特征值准则法、代数准则法、

5、根轨迹法、频率稳定性准则法、稳定性的数学描述、线性时不变系统的微分方程式、稳定性是研究系统在扰动消除后的运动，它与系统的输入信号无关，脉冲响应是：让系统的传递函数有一个实根，如果共轭复根，系统是稳定的。相反，系统是不稳定的；对以下公式进行了分析：(1)如果系统最终能够恢复平衡状态，由于存在多个根，系统的输出将以振荡曲线衰减。(2)如果系统输出按照指数曲线衰减。(3)如果任何一个大于零，系统输出系统不稳定。(4)只要其中一个为零，系统就不能恢复原来的平衡状态或等幅振荡。此时，仍认为系统不稳定。2.从上述分析可以看出，上述方法必须找到闭环传递函数的所有极点。这对于二阶以下的系统是有用的，但是对于三

6、阶以上的系统通常很难求解极点。因此，人们希望在不求解高阶方程的情况下间接判断稳定性。1877年，英国学者劳斯提出了特征方程系数的代数运算，并得到了所有极点都有负实部的条件，从而判断系统是否稳定。线性系统稳定的充要条件：系统闭环特性方程的所有根(闭环极点)都是负实数或具有负实数部分的公共轭复数。由于特征方程的根是s平面上的一个点，系统稳定的充要条件是系统的所有闭环极点都在s平面的左半平面。闭环控制系统的特征方程是：因为所有的根都在s平面的左半平面，即闭环控制系统稳定的必要条件，闭环控制系统稳定的必要条件：特征方程的所有系数都大于零。劳斯标准，1。列出系统的闭环特性方程：上面公式中的所有系数都是实

7、数，假设，2。根据系统的闭环特性方程，写出劳斯列表。检查行列表，如果第一列中的所有数字都是正数，那么系统的所有特征根(闭环极点)都在根平面的左半平面，系统是稳定的。如果第一列中有负数，则系统不稳定，第一列中的符号变化数表示右半平面中的闭环极点数。有三两种特殊情况：1 .rouse的行列表中，一行左侧的第一个元素是0，其余的不是0或没有。此时，可以使用一个小正数来代替这个0，以便操作可以继续。2。劳斯行列表中的第k行都是0。解释有一个与原点对称的根。此时，可以建立一个辅助方程来继续分析。方法如下：(1)辅助多项式由k-1条线构成，其次数为偶数。(b)导出辅助多项式，并用导出的s多项式的系数替换k

8、行。然后继续计算。对于与原点对称的闭环极点，可以通过辅助多项式等于0来获得。第四，稳定裕度的检验，劳斯判据的应用不仅可以判断系统是否稳定，即相对稳定。还可以判断系统是否有一定的稳定裕度，即相对稳定。此时，您可以移动s平面的坐标系，然后应用劳斯标准。如图所示，将上述公式代入原方程，得到一个以z为变量的新的特征方程，然后测试其稳定性。这时，如果系统仍然稳定，就说系统有稳定的余量。系统的特征方程是判断系统的闭环极点是否在s的右半平面，并检查s=-1右侧有多少根。所以s的右半平面没有闭环极点。系统是稳定的。将s=z-1代入原始方程，得到：new rouths table:因此在s=-1的右侧有一个根。

9、rouths表：5。分析参数对稳定性的影响，例如：或者，特征方程是：劳斯表：为了使系统稳定，劳斯表的第一列应该是正数。也就是说，k=30是系统稳定性的临界值。系统的特征方程是求系统稳定的临界值响应曲线具有非振荡特性：t=t，y(t)=0.632；t=2t，y(t)=0.865；t=3t，y(t)=0.95；t=4t，y(t)=0.982；如果一阶系统的单位阶跃响应在初始速度下上升到稳态值1，则所需时间应该正好为t。一阶系统的阶跃响应没有超调，因此时域性能指标主要用ts来衡量，ts的长度反映了系统过程的速度。从上面可以看出，t=3t(误差为5%)t=4t(误差为2%)，因此，t越小，系统转换时间

10、越短。在二阶和一阶系统的单位斜率响应中，稳态误差趋于t，t越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。初始速度：稳态误差：单位斜坡响应，一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，单位斜坡响应是一个斜坡函数，其斜率与输入斜坡函数相同，但在时间上被时间常数t延迟。曲线的特征是：曲线的斜率在t=0时等于零；稳态输出和单位斜坡输入之间存在位置偏差t。从以上分析可以看出，一阶系统只有一个特征参数t时间常数，调整时间为(3-4t)。当t=0时，单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为1/t，单位斜坡响应的稳态误差为t。t越小，系统的动静态性能越好。输入信号的导数的时域响应等于信号的时域响应的导数；输入信号的

11、积分时域响应等于信号时域响应的积分；3-5二阶系统的时域分析由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统不仅在工程中常见，而且许多高阶系统可以转化为二阶系统，因此研究二阶系统具有重要意义。典型二阶系统结构图，二阶系统传递函数：特征方程：系统框图：二阶系统特征根：当系统过阻尼时，系统极点为：系统闭环传递函数为：时域响应：单位阶跃响应(1)，当=1时，系统处于临界阻尼状态：单位阶跃响应，当系统欠阻尼时：输出响应拉普拉斯变换：系统时域响应：单位阶跃响应(01)，y(t)，系统响应的瞬态分量是一个周期函数，其幅值随时间呈指数衰减，其振荡频率(也称为阻尼振荡频率)为：1。二阶系统响应特性，1。当=0时

12、，它以相等的振幅振荡；3，=1，响应处于单调上升状态；在5和-1 0，振荡发散，系统不稳定。6，-1，单调散度，系统是不稳定的。4 1，曲线越大，曲线的单调上升越慢。2，0 1，越小，振荡越严重，过冲越大(最大过冲为100%)，衰减越慢；从曲线可以进一步得知：1 .阻尼比越大，超调越小，响应越稳定。相反，过冲越小，振荡越强。2.当=0.707左右时，ts和%相对较小，所以=0.707通常称为最佳阻尼比。3.二阶系统的单位阶跃响应没有稳态误差。在一定条件下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态；过阻尼系统响应慢，运动慢，因此一般二阶系统被设计为欠阻尼系统。闭环极点坐标与阻尼比的关系，二阶系统响

13、应特性，阻尼比与极点分布和系统性能的关系(脉冲响应曲线的变化)，2 .二阶系统响应性能指标，(1)上升时间tr，(2)峰值时间tp，(3)过冲%，%完全由越小越大决定。(4)调整时间ts，当y=0.05(或0.02)时，相应的调整时间为ts，由于正弦函数的存在，与之间的关系是不连续的，为简单起见，可以近似计算如下：由此可见，它越大，它越小，而当它一定时，它与成反比，这正好与和之间的关系相反。，3。当输入信号为单位斜率信号时，二阶系统的单位斜率响应为4。欠阻尼二阶系统的单位斜率响应，稳态分量：瞬态分量：动态误差：将误差响应微分为0，得到误差峰值时间：误差峰值：稳态误差：误差的最大偏差可表示为：误

14、差的调整时间误差进入稳态值5。高阶微分方程描述的系统是一个高阶系统；工程实践中的大多数系统都是高阶系统；高阶系统的解析解比较复杂，有时低阶系统的响应可以用来逼近高阶系统的主导极点。1。高阶系统的一般形式，闭环传递函数，2。高阶系统的单位阶跃响应，是实极点的个数和共轭复极点的个数。假设极点互不相同，且位于平面的左半平面，从上面的公式分析经过排序和拉普拉斯逆变换可知：(1)高阶系统的时间响应由一阶系统和二阶系统的几个时间响应函数项组成。(2)系统瞬态响应的类型取决于闭环极点是实极点还是复极点。(3)系统的稳定性由闭环极点在s平面上的位置决定。如果系统的所有闭环极点都在s平面的左半平面，则系统的瞬态

15、响应是收敛的，控制系统是稳定的。只要s的右半平面有一个闭环极点，系统的瞬态响应就会发散，控制系统就会不稳定。(4)稳定控制系统瞬态响应的形状不仅取决于左极点与虚轴之间的距离，还取决于闭环零点和极点在s平面上的具体分布。(5)对于稳定的控制系统，最接近s平面虚轴的闭环极点在系统的瞬态响应特性中起主导作用，并且该极点是闭环主导极点。主导极点可以是一对共轭复极点或实极点。3.高阶系统示例：让三阶系统的闭环传递函数尝试确定其单位阶跃响应。高阶系统的近似分析，如果闭环主极点和控制系统虚拟轴之间的距离小于或等于其他闭环极点和虚拟轴之间距离的五分之一，并且在主极点附近没有其他闭环零点。那么该系统可以简化为一

16、阶或二阶控制系统。这是高阶系统的近似分析方法。根轨迹分析将详细解释为什么高阶系统可以近似。3-7控制系统稳态误差的分析，给定作用下稳态误差的概念和定义，稳态误差干扰下提高系统稳态精度的方法，控制系统的性能：用稳态误差描述动态性能和稳态性能。输入端定义：误差是输入和反馈之间的差值，e(t)=r(t)-b(t)，稳态误差为：如有必要，可以将误差转换为输出尺寸。2.输出端定义：误差是预期值和实际值之间的差值，e (t)=r (t)-y (t) h(。相应的系统分别称为0型、2型和2型系统。3.给定动作下的稳态误差定义为静态位置误差系数。有：1 .步进输入。对于0型系统：对于0型系统和0型系统，由于没有积分环节，阶跃输入时的稳态误差是与k有关的某个值，所以通常称为微分系统。为了减小稳态误差，可以在稳定的条件下增加k值。如果要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则系统类型应高于类型i，即定义为静态速度误差系数，具有，2，斜坡输入，对于类型0系统：对于类型0系统：可以看出，类型0系统不能跟踪斜坡输入信号。随着时间的推移，