SARS的传播模型

1、欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 陈 猛 田 川 陈丹妮 指导教师：谭欣欣等指导教师：谭欣欣等 sars 的 传 播 模 型 摘 要 sars 作为 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病，使中国乃至全球的经济受 到影响，人类的生命受到威胁。在这场与 sars 的战斗中，中国政府带领中国人 民坚决有力的抗击了 sars。为了从经验和教训中总结 sars 的传播特性，有效的 预防和控制疫情，本文从 sars 的传播特征出发，建立了基本的 seir 微分方程模 型，并运用最小二乘法，借助计算机采用北京、香港的真实数据进行拟合，得出 了能够反

2、映 sars 传播规律的曲线，证明了模型算法的正确性和有效性。该模型 对疫情的预测有一定实用价值，借助模型预测能减少损失。另外以系统动力学为 基础，通过计算机模拟，定性的分析了影响疫情扩散的主要因素，分析了医疗卫 生部门采取的措施对 sars 疫情的影响情况，以帮助相关部门对各种措施加以调 整。本文说明了 sars 对经济的影响，并以受到创伤最大的旅游业为例，建立了 线性回归和指数模型，利用模型评估了 sars 对旅游业的影响，做出了对未来经 济的预测。最后，本文给出了一篇短文，说明了建立传染病模型的重要性。 sars 的的 传传 播播 模模 型型 一问题重述一问题重述 sars（severe

3、 acute respiratory syndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非 典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。sars 的暴发和蔓延给 我国的经济和发展带来了很大影响， 我们从得到的经验和教训中认识到定量的研 究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 题目中附件 1 对北京 sars 疫情的走势作了预测分析：在 xxx 老师对北京疫情分 析的基础上，加入每个病人可以传染他人的期限，通过在不同阶段社会条件下传 染概率的变化，先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，然后初步预测 北京的疫情走势。 建立 sars 的传播数学模型，具体要求如下

4、： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型， 这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据 供参考。 （3）收集 sars 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 附件 3 提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇

5、通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、合理假设二、合理假设 1、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 sars 病人不具有传染性。 2、国家卫生部提供的全国疫情统计真实可靠。 3、将 sars 所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。 4、根据目前的医学调查资料，sars 康复者尚未有复发情况，因为对于一个 sars 康复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离 sars 传染源；从社会 心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个 sars 康复者二度感染 sars 的概率为 0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人 (已感染者)，他们已经退出传染体

6、系，因此将他们统称为移除者。 5、由于 sars 的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故 假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由 sars 引起的死亡 人数,也将其归为移除者。 6、被隔离者的人不再具有传染性。 三、符号约定三、符号约定 ：单位时间内每个易感者与病人的接触率。 ：单位时间内处于潜伏期的病人的发病率。 ：染病者的恢复率（治愈率与死亡率之和） 。 四、问题的分析与求解四、问题的分析与求解 （1） 原题附件 1 提供的模型 t ktn n )1 ()( 0 += (tl) (1) 是假定有一个初始爆发时间，最初有 n0个病人突然发现，在 l 天

7、之内（tl）则 n(t-l)=0。 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 在 l 天之后，一部分病人已不具备传染力，最为方程 1 的解，发病人数则为 )1 ()()1()( 1 0 += ltt kkltktn n (lt2l) (2) )()1 ()( 0 ltnktn t n += (2lt0,i(0)0,e(0)0,r(0)0,0tt ,t 为流行病的流行时 间。 通过对北京地区的拟合，我们得出=0.1594736，=0.363379 、=0.0261028 通过对香港地区的拟合，我们得出=0.2102974，=0.213600 、=0

8、.0411572 拟合图形如下图(二)到图(七)所示: 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 图(二) 图(三) 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 图(四) 图(五) 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 图(六) 图(七) 由以上各图可以看出，模型对香港地区的拟合非常好，但是对于北京地区，由于 该地区人员混杂，统计不准确，人员流动频繁，数据有较大的波动，造成拟合的 效果不是非常好，但是总的趋势是准确的，证明模型还是正确有效的。 欢迎光

9、临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 通过对曲线的拟合，发现各地 sars 传染有其自身的规律性，利用现有的数据求 出各个参数，以此对以后 sars 的发展趋势做出评估，为各级主管部门制定预防 sars 方案提供了有力的参考。 （二） 为了说明政府相关部门采取的措施对疫情的影响，我们特别建立了第二 个模型，定性的来评估各种措施。 我们以系统动力学原理为基础，采用计算机模拟整个过程。其中使用了如下 的可控参量： sars 潜伏期天数 隔离措施强度（%） 感染率(由接触人数、防范措施决定) （人/天） 病人发病后入院的延迟时间 (天) 系统动力学概念模

10、型图（见图（八） ） 图（八） 程序流程如图（九）所示： 初始化 按日循环 按病人数循环 移出者 否 是 根据目前病人状况加入新的病 人，并且更新当前病人的数据 统计 图（九） 健康人群 潜伏者 发病 治疗/隔离 死亡 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 根据此模型，我们来定性的研究各个参量对疫情的影响 隔离措施强度对疫情的影响 隔离强度就是被感染的潜伏者被隔离的百分比。在这里，我们设定隔离百分比分 别为 50%、80%，其它参数都一样。结果如图（十）所示： 图（十） 对上面的曲线进行分析，可以看出，隔离度相差 30%，发病总人数减少了 5

11、00 多人。sars 的平息时间大概能提前 20 多天。可以看出，隔离强度越大，效果越 好。当隔离度趋近于 1 时，sars 将在很短的时间内平息。但是由于 sars 病人接 触人员的流动性可能非常大，难以统计，加之医疗机构人力等方面的因素，是不 可能做到 100%的隔离的。因此在加大隔离强度的同时，其它方面也要加大力度 控制。 入院时间对疫情的影响 由于潜伏期不易被人发现，且潜伏期不传染等特点，那么病人发病后尽早治疗成 了减少传染他人的一大途径。图（十一）是病人 1 天入院和 3 天入院对 sars 的 影响。 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支

12、持与关心 图（十一） 由分析图（十一）可以看出，1 天内入院和 3 天内入院，发病总人数减少了 800 多人。据报道，病人发病后 3-5 天感染性最强。如果入院时间很晚，可想而知， 发病人数将大大增加，甚至达到疫情无法控制的地步。因此各级主管部门应当加 强宣传力度，发动群众对出现疑似症状的人尽早去指定医院查明情况，切不可因 为害怕等原因耽误治疗，害人害己。 3、感染率对疫情的影响 感染率主要由病人接触人数、防范意识、预防措施等因素决定。减少公共活动， 比如暂停节假日的休假、推迟取消公共活动，加大宣传力度、供应充足的防护用 品，注意个人卫生等都对感染率的下降有显著作用。 六对经济的影响六对经济的

13、影响 sars 作为一场灾难，相信全中国乃至全世界都感受到了它的危害，其中首当其 冲的就是经济。我国是 sars 病毒的重灾区，经济所受的伤害相对其他国家较大。 其中对第一产业、第二产业产生的影响很有限，全国仍然继续保持快速发展的势 头；对第三产业的影响较大，主要体现在旅游、餐饮、宾馆、交通运输、娱乐、 零售等服务行业上，重点领域是进出口、消费和消费者信心等，尤其是疫情严重 的广东和北京等地。sars 对广东的影响在今年第一季度就有所体现，而对全国 范围内各行业的影响从 4 月开始出现，其中对旅游业的影响最大，因为 sars 具 有极高的传染性，而且主要是通过人们近距离接触，因此，人们旅游活动

14、受到极 大限制。 美国商务旅行协会公布的一项调查表明， 有 27%的人取消了去亚洲旅行 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 的计划， 还有 8%的人正在考虑取消赴亚洲的计划。 尽管 sars 疫情在台湾得到了 控制，但旅游业仍遭受到严重打击 。据统计，台湾 2000 家旅行社四、五月份出 团率取消将近八成，10 万从业人员已经有八成留职停薪或半薪。3 月份出境旅游 人数较去年同期减少两成， 特别是内地旅游团取消率达 90%， 而且还在持续增加 中；香港航线个人自由行机位取消率更近 100%，且 4 月份团体旅游无人问津4。 从短期来看 sa

15、rs 对我国宏观经济产生一定的负面影响。但是，随着对该病的研 究深入和逐步控制，政府以科学的态度积极、合理的配置医疗源，精心引导群众 构筑适度的心理防线，以积极的态度同心共渡难关，力争在短时间内解决 sars 问题。这样 sars 对我国的经济就不会造成巨大的影响。 经济的建模： 下面建模说明 sars 对旅游业的影响。 由于旅游是一种龙头产业，需要“吃，住，行，购物，游览，娱乐，通讯”等， 这样旅游会形成一个满足以上需求的服务产业链。旅游人数的减少，会延伸到整 个旅游业受到冲击。但是由于具体情况过于复杂，且数据采集困难，我们就用影 响旅游经济的主要因素旅游人数来代表旅游业的状况。 图(十二)

16、 北京每年接待海外人员折线图 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 图（十三）北京每年接待海外人员总人数图 旅游业是一个受突发事件影响较大的行业， 比如： 国际盛会的召开， 战争的爆发， 流行病的流传等等，都能影响旅游业的发展。且旅游业是受到季节影响很大的行 业，在淡季人数比较少，旺季人数很多。从题目附件 3 中数据（每月旅游人数） 可看出 1997-1999 年，8，9，10 月份是旺季，从 2000-2001 年，每年 2 月份和 4 月份都有一个涨期，8，9，10 仍然是高峰期，2002 年 2，4，5 都比较高，高峰 出现在 7，8，

17、9。且从 1999 年开始每年同期海外旅游人数逐步增长，旺季时间 段增多，从图 3 可以看出年旅游人数总计增长很多。虽然旅游分为淡季和旺季， 在淡季收入增长缓慢，在旺季增长迅速，但是我们是要研究旅游业的发展，于是 可以用年平均旅游收入来描述旅游业的发展。从图（十三）看出，尽管发展的速 率是不一样的，我们可以用线性回归模型来估测它的走势。 在短期内随着旅游设施的增多，旅游宣传力度的加大，旅游系统的完善，每年旅 游总收入应该是呈指数增长，但是由 logistic 模型可知，经济也不能无限制的 增长下去，到一定的程度会逐渐趋向于饱和状态，但是我们目的是研究 sars 对 旅游业的影响，可以不必从长期

18、考虑，而认为在短期内年旅游总收入是呈指数增 长的，如图（十三）用指数函数逼进北京市去年接待海外旅游总人数。 从图 （十三） 可以看出由于出现 sars， 2003 年的旅游收入受到了严重损失。 2002 年旅游月累计人数以平均增长率 v= 28.8 增长（其中 v 定义为两月间人数变化的 斜率） 。在 2003 年前 3 个月，由于北京 sars 处于初期，旅游人数比去年同期少， 以 v=18 增长，当 4 月份北京 sars 开始高涨，旅游收入受到极大打击，以平均增 长率 v=2.18 增长，6 月份后 sars 已经差不多控制住，旅游人数开始上升，所以 采用一种线性趋向型预测经济，以 v=

19、12.5 增长。这是由于人们的心理恐惧等因 素，旅游收入不再以正常速率上升。由于数据缺乏，我们并不能做出旅游人数相 对于 sars 传播状况的同期增长模型。 而由于 sars 对于旅游人数也不是一种直接 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 影响，而是通过传媒等造成人们心理恐惧而放弃旅游，这是一种间接，和 sars 传播状况并不完全同步且有点滞后， 所以我们通过这个方法建立的关于旅游业受 到 sars 影响的程度及预测其走势的模型是有一定实际价值的。 经济预测： 到 2003 年底， 北京接待海外旅游人数若仍以 v=12.5 增长， 将达到

20、147 万人左右；若没有 sars 的影响，正常发展 2003 年底应该达到 360 万左右，可见 sars 对旅游业有重大打击。但是在人们对 sars 的心理恐惧完全消除后，旅游业 将走回正常发展轨道。特别是 2008 年的奥运会在北京召开，将大大刺激旅游业 的发展，所以我们对未来的旅游业发展还是很有信心的。 七模型的改进七模型的改进 自从北京今年 3 月 1 日发现第一例 sars 病人至今， sars 已引起人们的强烈关注， 全国各地都采取了各种预防措施。如限制人口流动、及早发现病人、隔离病人、 减少门诊交叉感染、保护医务工作者等，大大减少了 sars 病毒的平均传染率。 而且 sars

21、 病毒本身也在不断地变化，由于 sars 流行病本身的特点，以及人们对 sars 病毒的认识还不够深刻，并不是所有的能够传染他人的 sarsb 病毒携带者 都能被及时隔离，每天被病源传染的人中的可控部分，包括病源的家人、同事、 邻居以及能够通过调查追踪到的其他人，这些人将被有效隔离，但是还有一些无 法追踪到的和传染源有直接接触的人，他们将无法被隔离。病人染上病毒后是否 一定会表现出病状，潜伏者是否能靠自身免疫力抵抗病毒来直接恢复健康；病人 康复后是否具有终身免疫力并不再感染他人；或是能够被二度感染，继续携带病 毒感染他人，各个地区不同时期的人口流动率，以及检测 sars 的准确性，隔离 强度等

22、。如果加进上述一些考虑，将使模型更贴近实际。但是这中间有很多数据 是无法准确获知的，所以我们在建模过程中有一定的难度。 sars 带来的启示带来的启示 随着 sars 疫情得到有效的控制，人们的心情也随着疫情的曲线一路走低而趋于 舒缓，人们逐渐从 sars 的梦魇和阴影下走进盛夏明媚的阳光，一步步回归正常 的生活：流动人口增加，民工返城，学生返校陆续复课，旅游景点陆续开放，公 共活动重新启动，这一切使民众感觉到紧张气氛和阴霾里气氛渐渐离我们远去。 回首 sars 带来的灾难，我们是指责它给人类带来的严重危害，还是痛思人类自 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一

23、如既往的支持与关心 己本身？我们应该意识到：sars 绝不是单纯的、孤立的瘟疫灾难，而是与我们 的环境行为、生产模式和环境质量密切相关的。我们每个人都应该重新审视人与 自然，发展和环境的关系，重新审视我们以往的生活行为和生产方式。目前我们 还无法预知是否还会突发第二代sars ，这场人类瘟疫是否真的会烟消云散， 还是一个疑问。这次 sars 的全球爆发，发病人数已达 8300 余例，其中我国占了 60%多，而且集中在广东、香港、北京、蒙古等地，各地对疫情都采取了及时有 效的措施，我们对这些经历必须进行认真总结，得出科学的、实事求是的方案， 所以建立一个能够为预测、预防和控制提供可靠信息的传染病

24、数学模型尤为重 要。根据全国各地疫情的统计数据，进行拟合参数，利用统计学原理以及流行病 传播机理，建立 sars 病毒流行趋势预测的力学模型和优化控制模型，并对 sars 未来的流行趋势做了分析预测。以之，可以使民众更多的了解 sars，对它有个 健康的认识，真正作到拨云见日，迎接灿烂的明天。 参考文献 1王庚，实用计算机数学建模，安徽大学出版社，2000 年 2石耀霖，sars 传染扩散的动力学随机模型，科学通报，48 卷 13 期，2003 年 3中国科学院遥感研究所， “早发现、早隔离、早治疗”对于控制 sars 疫情的 定量分析，www.sars，2003/9/22 4张海旺等，sar

25、s 对中国经济的影响和警示，中国统计，37 页，2003 年 5王正行，北京 sars 疫情 60 天的初步分析，北大新闻网，2003/5/2 欢迎光临中国数学建模网 感谢您对网站建设一如既往的支持与关心 附件 1 bj.m function e=bj(theta) format long; x=; c= %出院人数 ; a= %累计个案 ; b=;死亡人数 y=a-b-c; s0=theta(4);n0=theta(5); t,s=ode45(feidian,0:64,s0 n0 339 51,theta); e=sum(y-s(:,3).2+(b+c-s(:,4).2)%+(c-s(:,5).2) 附件 1 bj2.m x,fval,editflag=fminsearch(bj,0.0002 0.2 0.05 1800 180); options=odeset(reltol,10(-14),abstol,10(-15); theta=x imin=fval y=zeros(65,1); b= %死亡人数 ; c= %出院人数 ; a= %累计个案 ; y=a-b-c; t,s=ode45(feidian,0:100,