第三章 多维随机变量.ppt

1、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量及其分布函数,第二节 二维离散型随机变量及其分布律,第三节 二维连续型随机变量及其密度函数,第四节 相互独立的随机变量,第五节 条件分布,第六节 二维随机变量函数的分布,第一节 二维随机变量,二维随机变量分布函数的基本性质,3),对任意,有,可以证明,以上三条性质是二元函数能否成为某二维随机变量分布函数的充分必要条件.,2),由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的分布函数,并且,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,称此分布为二维指数分布,其中参数,注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须

2、将他们作为一个整体来研究.,整体大于部分之和!,第二节 二维离散型随机变量,定义 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量.,假设(X,Y)的可能取值为,并且,则称上式为(X,Y)的分布律,或称为X与Y的联合分布律.,分布律也常写成如下表格的形式:,显然有,由于,故关于X的边缘分布律为:,同理关于 的边缘概率密度为,可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式:,解 (1)有放回的情形.此时,类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:,(2)无放回的情形.此时,类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表

3、:,注:两种情形的边缘分布律是相同的!,例2 设二维随机变量 的分布律为,解 由,以及,解得,第三节 二维连续型随机变量,联合概率密度的基本性质:,2) 在 的连续点 处,有,3)若平面区域 的面积为0,则,概率密度还有如下性质:,由于,所以,关于X的边缘概率密度为:,同理,关于Y 的边缘概率密度为:,例1 设(X,Y)的概率密度为,求:1) 常数 ; 2)联合分布函数 ;,4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内概率; 5) 边缘密度函数,3),解 1),2),3),4) 设D为如图所示的单位正方形区域,则所求的概率为,5),同理,注意:在本例中,有

4、,两个重要的分布,一.二维均匀分布,设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则称 服从区域D上的均匀分布.,若 服从区域 D上的均匀分布,则对于D中任一子区域G,有,于是 落在D中任一子区域G的概率与G的面积成正比,而与G的形状和位置无关。在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。,解 由题意知,(X,Y)的概率密度为,于是，有,由对称性可知,注意此时,二.二维正态分布,称上述的 为二维正态概率密度.,第四节 相互独立的随机变量,1.若离散型随机变量(X,Y)的可能取值为,并且对任意的 和 ,事件,与,相互独立,即,则X与Y

5、相互独立.,下面给出离散型和连续型时的两个重要结论.,2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为,关于X 和Y的边缘概率密度分别为,和,如果对任意实数x和y,成立,则X 和Y相互独立.,重要结论:设,则 X,与Y相互独立的充分必要条件为 .,解 由于X与Y独立,所以有,又由分布律的基本性质,有,所以,有,例2.设随机变量 X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.,分析,定理 设X与Y是相互独立的随机变量, h(x)和g(y)均为连续或单调函数,则随机变量h(X)与g(Y)也是相互独立的.,例如,若

6、 与 是相互独立的,则,相互独立;,相互独立;,例3 若 的联合概率密度为,问X与Y 是否相互独立?,解,与 不相互独立.,第五节 条件分布,一.离散型随机变量的条件分布,设二维随机变量 的分布律为,称,为 的条件下, 的条件分布律;,为 的条件下, 的条件分布律.,例1 一射手进行射击,单发击中目标的概率为,射击进行到击中目标两次为止.以 表示,第一次击中目标所需射击的次数,以 表示总共进行的射击次数.试求 的联合分布律及条件分布律.,解 由题意知, (X,Y)的可能取值为(i, j),其中,或,并且,于是,而,解 (1) 因为,所以,（2）边缘分布为,其余完全类似,第六节 二维随机变量函数的分布,基本任务: 已知二维随机变量或(X,Y)的分布,求随机变量 Z(X,Y)的分布.,解 的可能取值为-3,-2,-1,0,并且,的可能取值为0,1,2,3,其分布律为,证明 显然 的可能取值为0,1,2,并且,即,例3 设随机变量X,Y相互独立,其概率密度分别为 试求Z=X+Y的概率密度.,解 先求分布函数,或者,以上两个公式称为卷积公式.,例4 设X,