第5章 刚体的定轴转动.ppt

1、第5章 刚体的定轴转动 (The rotation of a rigid body about a fixed axis),5.1 刚体的运动(The motion of rigid body),一、刚体(特殊的质点系):受力时物体的形状和体积不变,二、刚体的平动和转动,1.平动(任意两质点的连线方向始终不变),特点:刚体上每个质点的位移、速度、加速度均相等,2.转动(所有质点绕同一直线作圆周运动),转动平面垂直于转轴的平面,特点:各质点角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等,(1),平动通常用刚体质心的运动来代表。,(2),3.刚体定轴匀加速转动=C,一、力矩(moment

2、of force),1.绕定轴转动的力矩,(3),对o点的力矩:,对定轴oz转动的力矩:,大小: Mz=Fr sin,方向: 右手螺旋,注意: 是 在oz轴上的一个分量, 以后将 记为,5.2 刚体定轴转动定律 (The law of rotation of a rigid body about a fixed axis),2.对定轴的合外力矩,对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:,+,沿轴线选定力矩方向:与相同的方向为力矩的正方向,(4),二、刚体定轴转动定律,将刚体视为许许多多小质元(质点)组成,第 i个质点:,外力: , 内力:,法向力通过转动中心不产生力矩,切线方向的牛顿第二定律,(

3、5),二边同乘ri,对整个刚体,转动惯量,转动定律,意义 : 刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。,(6),M 是合外力矩,说明:,1)定律的瞬时性, 2)定律中各物理量是对同一转轴的。,三、转动惯量(moment of inertia),1.质点(m)对转动轴的转动惯量:,2.质点系对同一个转动轴的转动惯量:,3.刚体的转动惯量,(7),刚体上取质元dm, 质元对转动轴的转动惯量:,刚体的转动惯量,kg/m3体密度 dm=dV,说明:1) J与质量有关,木(J小),铁(J大),2) J与质量的分布有关 (m相同),园盘,3)

4、 J与轴的位置有关,(8),kg/m线密度 dm= dl,kg/m2面密度 dm=dS,5)迥转半径(gyroscopic radius),刚体质量(m), 转动惯量(J),(9),4)平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Jc有如下关系:,例1:质量为m,长为l 的匀质棒的转动惯量,求1)定轴在一端, 2)定轴在质心,解: 积分四大步:,(1)化整为零, 写出微分,(2)寻找对称, 选择坐标,(3)引入密度, 统一变量,(4)定上下限, 积零为整,1),(10),2)由平行轴公式,例2:园盘(m,R)绕oo 轴的转动惯量,解:,(11),问:1)园盘的回转半

5、径是多少?,2)园盘绕y轴的转动惯量?,3)园盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了, 求对过中心垂直轴的转动惯量?,四、转动定律应用举例,解题步骤:,1. 认刚体; 2. 定转轴,找运动;,3. 分析力和力矩; 4. 定转向,列方程。,注意:,1. 明确转动轴位置。,2. 选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速 度的正负。,3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。,二类问题:,第一类: 由角量运动, 求力矩(微分法),第二类: 由力矩及初始条件, 求刚体运动(积分法),(12),对轮:,对m :,解: 轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边

6、缘线速度大小相等。,例3:己知:定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳,绳一端固定在盘上,另一端挂重物m, 绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m, m=1kg, m下落时间 t =3s, v0=0, h=1.5m。求: 轮对O轴 J = ?,(13),联立解得:,(14),解:1),+,解得: a1=0.82m/s2, a2=1.63m/s2,(15),例4: 组合轮由二个匀质园盘固结而成, 己知mA=6kg rA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m, 二盘边缘绕有细绳,绳子 下端挂二个物体m1=m2=2kg, 二个物体离地面高度均为 h=2m, 求1)二物体的加速度a1,a2 ;

7、2)下降物体着地 时间, 3)绳中张力,2)h=a2t2/2 t=1.56s,3)T1=m1(g+a1)=21.2N, T2=m2(g-a2)=16.3N,A,B,例5: 如图装置, 己知木块 (m1=5kg)可在斜面上滑动 (=0.25)斜面倾角=30 定滑轮(m=20kg, R=0.2m), 重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动 求重物 m2 加速度, 绳中张力?,解:,解得,(16),例6: 如图: 二个匀质园盘(m1,R1,m2,R2), 园盘1上施一力 矩M使之由静止开始转动, 设轻质皮带不伸长不打滑, 求: 二盘的角加速度各为多少?,解:园盘1,园盘2,皮带不打滑,解得:,(1

8、7),J1=m1 R12/2 J2=m2 R22/2,例7: 匀质园盘(m,R),初角速度0 不计轴承处的摩擦,如空气对园盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速 率 f=kv(k为常数)求: 1)园盘所受空气阻力矩 2)园盘停止前转数?,1)取环形质元,环形质元受阻力矩:,(18),解:,设t 时刻圆盘角速度为 用积分法求力矩。,取刚体m为对象, 为正方向,dr,d,2) 根据转动定律,(19),5.3 定轴转动中的功和能 (Work and energy about rotation of a fixed axis),一、刚体定轴转动的转动动能,刚体转动动能,(20),m1 m2 mi ,r1

9、r2 ri ,v1=r1 v2=r2 vi=ri ,12过程中Fi对刚体所作的功:,三、力矩的瞬时功率P:,(21),二、力矩的功,外力Fi对刚体所做的元功:,所有外力对刚体的功:,力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分 表示, 叫力矩的功。,刚体定轴转动动能定理,(22),四、刚体定轴转动的动能定理,二边积分,意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。,五、刚体的重力势能,各质元重力势能的总和, 就是刚体的重力势能。,刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能。,(23),六、定轴转动的功能原理,质点系功能原理对刚体仍成立:,若系统是一个包含刚

10、体、质点、弹簧等复杂系统时,七、机械能守恒定律,对于包括刚体在内的系统, 若只有保守内力作功,则系统机械能守恒:,(24),包括系统中所有物体相对于惯性系的动能,例8: 匀质园盘(m,R)在水平桌面上可绕过园心并与桌面垂直的轴转动, 它与桌面之间摩擦系数为 ; 求1)从0 到停止转了多少圈? 2)用了多少时间?,解法一: 1),(25),取环形质元dm,根据动能定理: A=Ek2 - Ek1,df=gdm,dM=-rdf,dr,取 方向为正,d,解法二: 根据转动定律:,解得:,解得:,2),(26),例9: 匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上,一端固定有一物体(m2) 求1)转动惯量, 2)从

11、图中水平位置无初速落下时的 , 3) 落到铅直位置时的角加速度, 角速度,解: 1),解得,以m1,m2,地球为系统, E守恒,(27),取 方向为正,2)由,3)竖直位置时,棒受重力矩M=0, 故此时=0,5.4 刚体的角动量 对定轴的角动量守恒定律 (The angular momentum of a rigid body and the conservation of angular momentum about a fixed axis ),一、刚体定轴转动的角动量,刚体视为许许多多质点组成,刚体定轴转动的角动量:,(28),第i个质点对定轴转动的角动量:,例10:质量为m,长为l 的

12、均匀细杆,中点有一垂直于杆 的转轴。杆绕轴旋转的角速度为 求:杆对中点的角动量。,解: 质元dm对o轴的角动量为,则杆对中点的角动量:,方向: ,(29),方向: ,二、刚体的角动量定理,刚体的角动量定理: 刚体所受合外力矩等于刚体角 动量对时间的变化率,刚体的角动量定理: 刚体所受合外力矩的冲量矩等 于刚体角动量的增量.,(30),微分形式,积分形式,注意:式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。,三、角动量守恒定律,角动量守恒定律,意义:当系统所受合外力矩为零时系统角动量守恒,(31),1. J不变, 也不变, 保持匀速转动。,2. J发生变化, 但J不变, 则 要发生改变。,3.开始不旋转

13、的物体, 当其一部分旋转时, 必引起另一部分朝相反方向转。,例11: 一匀质细棒长为l ,质量为m,可绕通过其端点o的水平轴转动,如图。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m, 它与地面的摩擦系数为, 相撞后, 物体沿地面滑行一距离s而停止; 求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解:可分为三个阶段。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时机械能守恒。把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点, 用表示棒这时的角速度, 则,(32),第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒与

14、物体相撞时,它们组成的系统对o轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度, 则,式中为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。取正 值, 表示碰后棒向左摆; 反之, 表示向右摆。,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动, 加速度由牛顿第二定律求得为,由匀减速直线运动的公式得,(33),当取负值,棒向右摆,其条件:,当取正值,棒向左摆,其条件:,棒的质心C上升的最大高度h,与第一阶段情况相似,也可由机械能守恒定律求得:,(34),例12:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一 端与弹簧相连, 另一端与质量为m的物体相连, 弹簧另一端固定在地面上, 轻绳与盘无滑动, 系统处于静止状态,

15、此时一质量为m0的小物块从 h 高度处自由落下, 与m碰撞后粘在一起。求: m下降的最大位移s 。,解: m0的质量很小,整个过程分成两个阶段,第一阶段:m0与m碰撞,但碰撞过程未引起m移动;第二阶段:m0与m一起下降。,m0与m碰撞前的速度v0 :,(35),取M、m、m0为系统,第一阶段角动量守恒:,取M、m、m0、弹簧、地球为系统,只有保守力做功 第二阶段机械能守恒(取下落s处为重力势能零点):,其中x0为m下降前弹簧的伸长量, 且mg=kx0,(36),注意:易犯的两个错误: 1)不分过程,从小物块m0下落开始,到发生碰撞, 再到碰后系统下降的整个过程笼统处理, 对全 过程应用机械能守

16、恒。 2)对小物块m0与m的碰撞过程, 对M、m、m0系 统应用动量守恒。,例13: 转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为0 ,转台对此轴的转动惯量 J=510-5kgm2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴 r =0.1m,求:砂粒落在转台上使转台角速度减为0/2 所需时间?,解: 取转台和落下的砂粒为系统,守恒,(37),t 时刻落下的砂粒质量: m=0.001t kg/s,例14: 能绕oz轴旋转的静止匀质园盘(m1,R),盘底面与水平接触面之间的摩擦系数为 ,一个质量为m2的子弹以速度v射入盘边缘并嵌在盘边,求 1)子弹嵌入盘边后盘的角速度? 2) 经多少时间停下来?

17、3)盘共转多少角度?,2)子弹与盘从 到停止转动, 运用角动量定理,(38),解:1)子弹与园盘相撞, 守恒,(39),M=M1+M2,M2=-fR=-m2 gR,3)运用功能原理:,(40),方向与 方向相同,dt 时间内轴oo 转过 d 角,进动(又叫旋进): 高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。,(41),5.5 进动(Precession),重力矩: M=mgr,角动量定理:,进动的角速度:,思考:为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?,第5章 刚体的定轴转动 (The rotation of a rigid body about a fixed axis),基本要求,1

18、.理解描述刚体定轴转动的物理量,并掌握角量和线量 的关系。 2.理解力矩和转动惯量的概念,掌握刚体绕定轴转动的 转动定律。 3.理解角动量的概念,掌握刚体绕定轴转动的角动量守 恒定律。 4.理解刚体绕定轴转动的转动动能的概念,会在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。 5.能综合应用以上规律分析和解决包括质点和刚体在 内的简单系统的力学问题。,(42),知识网络,刚体力学习题课,基本思路,两大类:,1.刚体定轴转动的运动学问题,刚体的运动 = 平动 + 转动,已知(t), 求, 用导数,已知 或 , 求 (t) 用积分,2.刚体定轴转动的动力学问题,关键是分析受力(力矩), 两套

19、方法:,(44),方法一: 用转动定律解题,(1)平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程,(2)转动物体,用隔离体法, 分析力矩, 写出转动方程,(3)由角量和线量关系,将平动和转动联系起来,方法二: 用运动定理或守恒定律解题,(1)刚体定轴转动的功能问题(包括机械能守恒),(2)角动量守恒问题,3.习题的基本类型,(1)刚体的纯转动问题,(2)刚体平动与转动的综合问题,(3)质点与刚体的碰撞问题,(45),习题1: 如图所示,一根质量m、长l 的均匀细棒AB可 绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动,O轴离A端 的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O轴 转动。求: 1)棒在水平位置时刚起动

20、时的角加速度; 2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度; 3)棒转到竖直位置时,棒两端和中点的速度和加速度。,解:以棒为对象,受重力和轴的支持力,支持力不产生力矩。 选顺时针方向为正。,1)棒在水平位置时受到的合外力矩:,(46),棒对O轴的转动惯量：,由转动定律得,2)重力矩的元功:,棒从水平位置转到竖直位置过程中,重力矩作功:,由动能定理得,竖直位置时,棒受重力矩为零,此时瞬时角加速度为零。,(47),3),方向向左,方向向右,方向向左,(法向无切向)指向O点,(法向无切向)指向O点,(法向无切向)指向O点,(48),习题2: 长为l、质量为m的均匀杆,在光滑桌面上由竖直位置自然倒下,当夹角为时, 求: 1)质心的速度; 2)杆的角速度。,解: 杆在倒下的过程中,质心在水平方向合外力为零,由质心运动定理可知: 某时刻质心坐标为,设质心的速度为vc 杆的角速度为,(49),大小:,方向: 竖直向下,(50),取杆、地球为系统,有机械能守恒, 选地面为重力势能零点, 则,其中J = ml 2/12为杆绕质心的转动惯量,习题3:如图,设滑块A,重物B及滑轮C质量分别为mA,mB, mC,滑轮C是半径为 r 的均匀圆板。滑块A与桌面之间, 滑轮与轴承之间均无摩擦,轻绳与滑轮之间无滑动。 求:(1)滑块A的加速度a (2)滑块A与滑轮C之间绳